浙江省杭州高级中学2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

浙江省杭州高级中学2023-2024学年第一学期期中考试试题高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若，则的可能值为（）A.0，2B.0，1C.1，2D.0，1，2【答案】A【解析】分析】根据，分，，讨论求解.【详解】因为，当时，集合为，不成立；当时，集合为，成立；当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立；∴或.故选：A2.命题的否定为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定解答即可.【详解】因为命题，所以命题的否定形式为.故选：C.3.若，则下列不等式正确的是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，利用作差法，逐一验证A、B、D，对于C，利用特殊值法，可得答案.【详解】对于A，，由，则，，即，故A错误；对于B，，由，则，，即，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，，由，则，显然，即，故D正确.故选：D.4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法以及指数函数的性质进行求解.【详解】函数定义域为，所以，则有的定义域为，则函数的定义域满足，即该函数的定义域为故选：B.5.使“”成立必要不充分条件是（）A.B.C.或D.或【答案】A 【解析】【分析】解不等式，求得，根据必要不充分条件的定义即可得出结果.【详解】不等式可化为解得则成立，反之不可以.所以是成立的必要不充分条件.故选：A6.因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（）A.甲方案B.乙方案C.一样D.无法确定【答案】B【解析】【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得.【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），甲方案每次加油的量为；乙方案每次加油的钱数为，则甲方案的平均油价为：，乙方案的平均油价为：，因为，所以，即乙方案更经济．故选：B．7.已知定义在上的奇函数在上单调递减，定义在上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性，依次讨论，，，时的符号即可得答案.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，因为定义在上的偶函数在上单调递增，且，所以在上是单调递减，且.所以，当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；故满足的的取值范围是故选：B8.已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（）A.0B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先画出两个函数的图象，得到的图象，根据最小值为进行数形结合可知，交点处函数值为，计算即得结果.【详解】依题意，先作两个函数的草图， 因为，故草图如下：可知在交点A出取得最小值，令，得，故，代入直线，得，故.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于弄明白函数的图象意义，通过数形结合确定在交点处取得最值，计算即可突破.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.与是同一函数B.奇函数的图象一定过点C.对于任何一个函数，如果因变量的值不同，则自变量的值一定不同D.函数在其定义域内是单调递减函数【答案】AC【解析】【分析】A选项，定义域与对应法则均相同，为同一函数；B选项，举出反例；C选项，根据函数的定义做出判断； D选项，的单调减区间为和，故D错误.【详解】与的定义域与对应法则相同，故为同一函数，A正确；奇函数的图象不一定过点，如，故B错误；函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则的值一定不同，故C正确；的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误．故选：AC10.函数与在同一坐标系中的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A和B项中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向下，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是A，不可能是B；对于C中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是C；对于D中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是D.故选：ACD. 11.已知，则（）A.B.C.D.当【答案】AD【解析】【分析】当时，，根据递推关系以及求出对应的函数值及函数.【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确；对于B，所以，，故B错误；对于C，所以，故C错误；对于D，当时，所以，故D正确.故选：AD.12.对于定义在D函数若满足：①对任意的，；②对任意的，存在，使得；则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】对于A，直接代入验证①，任意的R，存在R，使得②成立；对于B，分段代入验证①，任意的，存在使得②成立；对于C，直接代入验证①，对任意的 ，存在使得②成立；对于D，定义域是，不满足①，【详解】对于A，，所以，满足①；对任意的R，存在R，使得，满足②，故A正确；对于B，当时，，，，当时，同理可得，即满足①；对任意的，存在，，满足②，故B正确；对于C，，所以，满足①；对任意的，存在，使得，满足②，故C正确；对于D，定义域是，对于任意的x，当时，没有对应的使得成立，不满足①，故D错误；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简求值：__________.【答案】8【解析】【分析】根据分数指数幂、负数指数幂以及零指数幂进行运算.【详解】. 故答案为：8.14.函数的单调递减区间为__________，值域为__________.【答案】①②.【解析】【分析】空①，根据复合函数的单调性进行讨论即可;空②，由结合指数函数的单调性求解结果.【详解】函数的定义域为R，，，值域为设，，在区间上单调递减，在区间1，上单调递增，为减函数，在区间上单调递增，在区间1,上单调递减.故答案为：；15.已知函数，，若对于任意实数x，与至少有一个为正数，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】当，，时，分别进行讨论，在时，分成，，三种情况讨论二次函数的的值域情况.【详解】当时，；当时，；当时，；因为对于任意实数x，与至少有一个为正数，故当时，恒成立，当时，显然不成立，当时，对时恒成立，满足题意，当时，函数图象开口向上，对称轴， ①若，即时，函数在上单调递减，，故对时恒成立，满足题意；②若，即时，，解得，所以.综上，故答案为：.16.已知函数，若实数a、b满足，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】令，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，得出的关系及范围，再分成，两种情况讨论的最值.【详解】令，因为，故为奇函数，，即，可知，即成立，则，当时，恒小于或等于0，当时， 当时，有最大值.综上的最大值为故答案为：.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合，，或．（1）若，求实数m的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；（2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.【小问1详解】因为，所以．①当时，由，得，解得；②当，即时，成立．综上，实数m的取值范围是．【小问2详解】因为中只有一个整数，所以，且，解得，所以实数m的取值范围是． 18.已知函数，为非零常数．（1）当时，试判断函数的单调性，并用定义证明；（2）当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数在定义域上为单调增函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1），进而结合指数型复合函数判断，再根据函数单调性的定义判断即可；（2）结合（1）得在为单调增函数，再判断函数的奇偶性得为奇函数，再根据单调性与奇偶性得对恒成立，进而根据二次不等式恒成立求解即可.【小问1详解】解：因为，所以，由指数型复合函数单调性可判断：函数在定义域上为单调增函数．证明：时，对恒成立，函数的定义域为，任取且，，，，   ，，，，，∴，，，， ，∴函数在为单调增函数．【小问2详解】解：当时， ，∴由（1）知函数在为单调增函数，∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，函数为上的奇函数，∴不等式对恒成立等价于 对恒成立，对恒成立，对恒成立，，解得 ．实数的取值范围是 ．19.老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究，预测第一年鱼重量增长率，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为个单位，含氧量y与年份x的函数模型为，当含氧量少于个单位，鱼虽然依然生长，但会损失的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.（1）试求出含氧量模型函数关系式；（2）试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失；（3）求出第年鱼的总重量与第n年鱼的总重量的关系式不用证明关系式，n为整数，并求出签合同适宜的最短时间是多少年? 【答案】（1）（2）从第6年开始生长缓慢并出现损失（3）；7年【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数关系式；（2）根据题意列出不等关系进行求解即可；（3）分成，两种情况并结合数列的单调性进行讨论.【小问1详解】含氧量y与年份x的函数模型为，由已知条件知，，即【小问2详解】，可得，即，所以从第6年开始生长缓慢并出现损失.【小问3详解】由题意和（2）可知，当时，当时，，即.当时，显然是递增，当时，即：，，则，即，，故签7年. 20.对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”．（1）判断函数（）和函数（）是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）（2）如果是函数（）的一个“优美区间”，求的最大值．【答案】（1）存在“优美区间”，“优美区间”是；不存在“优美区间”（2）【解析】【分析】（1）根据定义，结合函数的单调性，列出方程，求出相应的优美区间；（2）对变形得到，结合函数单调性列出方程，得到两根之和，两根之积，结合根的判别式求出或，表达出，求出最大值.小问1详解】在上单调递增，由得或1，存在“优美区间”是；是增函数，若存在优美区间，则无解，不合题意，因此，不存在优美区间．【小问2详解】在和上都是增函数，因此优美区间或，由题意所以有两个同号的不等实根， ，,，解得或，，同号，满足题意，，因为或．所以当，即时．．