江苏省扬州市扬州中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附解析）

江苏省扬州中学2022-2023学年度第二学期月考试题高一数学2023.05一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.若复数(为虚数单位)，则（）.A.1B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意先求出，然后再求出模.【详解】因为，化简得，故，所以故选：2.设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.【详解】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，，则或相交，故B错误；对于C，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C正确；对于D，若，，，当，不一定垂直于，故D错误.故选：C.3.在中，若，，，则此三角形解的情况是（）A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定 【答案】B【解析】【分析】由，根据作圆法结论可得结果.【详解】，，有两解.故选：B.4.设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（）.A.B.C.3D.6【答案】A【解析】【分析】表示出在上投影向量，结合已知条件即可求得答案.【详解】由题意可知：在上投影向量为，故在上投影向量的模为，故选：A5.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）A.16B.C.D.21【答案】D【解析】【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，故.故选：D6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用和差角公式展开，得到，即可得到，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，所以.故选：A．7.已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（）A.B.C.D.-1【答案】C【解析】【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点E在边上 的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值.【详解】如图所示，因为，且，所以垂直且平分，则为等腰三角形，又，所以为等边三角形,则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时，只需考虑点E在边上的运动情况即可，因为，，知，即，则，①当点E边上运动时，设，则，则,当时，最小值为；②当点E在边上运动时，设,则,则，当时，的最小值为；综上，的最小值为；故选：C． 【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解.8.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得，推出，则,结合锐角三角形确定B的范围，继而将不等式恒成立转化为恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.【详解】由可得，结合,可得，即，由于在锐角中，，故，则,则,又，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，因为，故，令，则函数在内单调递增，故，即， 故，故选：C【点睛】方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ）A.的虚部为B.在复平面内对应的点在第二象限C.的共轭复数为D.若，则的最大值是【答案】CD【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项.【详解】因为，则.对于A选项，的虚部为，A错；对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，B错；对于C选项，的共轭复数为，C对；对于D选项，因为，，由复数模的三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D对.故选：CD.10.关于函数,下列说法正确的有（） A.的最大值为，最小值为B.的单调递增区间为C.的最小正周期为D.的对称中心为【答案】ABD【解析】【分析】根据三角函数恒等变换化简，结合正弦函数的性质可求得的最值，判断A；同理结合正弦函数的单调性、周期以及对称中心可判断B，C，D..【详解】由题意得，则最大值为，最小值为，A正确；令，即，故单调递增区间为，B正确；的最小正周期为，C错误；令，故的对称中心为，D正确，故选：ABD.11.如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的是（） A.四边形的面积为B.该外接圆的半径为C.D.过作交于点，则【答案】BCD【解析】【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A，连接，在中，，，由于，所以，故，解得，所以，，所以，故，，故四边形的面积为，故A错误； 对于B，设外接圆半径为，则，故该外接圆的直径为，半径为，故B正确；对于C，连接，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：，由于，所以，即，解得，所以，所以，且，所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，故，故C正确；对于D，由C选项可知：，故，且，因为，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，故，由A选项可知：，显然为锐角，故，， 所以，所以，故D正确.故选：BCD12.如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE､AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B､C､D三点重合于点S，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（）A.平面平面SAFB.四面体的体积为C.二面角正切值为D.顶点S在底面AEF上的射影为的垂心【答案】BD【解析】【分析】（１）作辅助线，证为平面SAF与平面AEF的二面角的平面角，显然为锐角，从而判断A选项．（２）先证平面AEF，从而得到锥体高，计算出所需长度，算出体积即可． （３）证为平面SEF与平面AEF的二面角的平面角，计算的正切值．（４）先证O为S在平面AEF上的射影，由于AM，只需证，即可．【详解】如图，作EF的中点M，连结AM、SM，过S作AM的垂线交AM于点O，连结SO，过O作AF的垂线交AF于点N，连结SN由题知AE=AF=，所以AM，SE=SF=1，所以，为平面SEF与平面AEF的二面角的平面角又平面ASM，平面ASM，SO，作法知，，平面AEF，所以SO为锥体的高．所以O为S在平面AEF上的射影.平面AEF，所以，由作法知，平面SON，平面SON，为平面SAF与平面AEF的二面角的平面角，显然为锐角，故A错．由题知，，又AS＝２，，SE＝１， ，四面体S−AEF的体积为，故B正确．在直角三角形ASM中：故C不正确．因为，，所以，，由对称性知，又AM故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________．【答案】【解析】【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.【详解】设圆锥的母线为,则,所以,则圆锥的侧面积为.故答案为：. 14.已知，则的值是__________．【答案】5【解析】【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将代入即可.【详解】因为，所以，故答案为：5.15.已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果.【详解】作出的图象，如下图所示：∵关于的方程有且仅有一个实数根， ∴函数的图象与有且只有一个交点，由图可知，则实数的取值范围是.故答案为：.16.已知锐角的内角所对的边分别，角．若是的平分线，交于，且，则的最小值为________；若的外接圆的圆心是，半径是1，则的取值范围是________．【答案】①.②..【解析】【分析】(1)由已知利用，可得，然后利用“”的代换，基本不等式即可得出结果.(2)根据锐角三角形的角度范围，表示出，进而得出结果.【详解】(1)由是的平分线，得，又，即，化简得，，当且仅当，即，时，取等号． (2)，=，是锐角三角形，，，．故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数，，，i为虚数单位．（1）若是纯虚数，求实数m的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据复数的运算法则求出，根据复数的概念列式可求出；（2）根据求出，再根据复数的乘法法则求出结果即可.【小问1详解】，，所以，因为是纯虚数，所以，得.【小问2详解】由（1）知，，因为，所以，得，所以，，所以.18.如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．（1）求证：平面；（2）求点D到平面ABE的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】（1）通过证明，，得证平面．（2）由，利用体积法求点D到平面ABE的距离．【小问1详解】证明：∵，D，E分别为AC，的中点，∴，且，又平面，∴平面，又平面，∴，又，且，平面，∴平面．【小问2详解】∵，，，∴，∴，，．在中，，，∴边上高为．∴．设点D到平面ABE的距离为d，根据，得，解得，所以点D到平面ABE的距离为．19.在中，，，，为的三等分点（靠近点）． （1）求的值；（2）若点满足，求的最小值，并求此时的．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果；（2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.【小问1详解】因为为的三等分点（靠近点），所以，所以，所以.【小问2详解】因为，所以，因为，所以，所以当时，取得最小值.20.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）若，求C；（2）求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先由题给条件求得，进而求得；（2）先利用正弦定理和题给条件求得和，再构造函数，求得此函数值域即为的取值范围【小问1详解】由，可得，则整理得，解之得或又，则，则，则【小问2详解】A，B为的内角，则则由，可得，则均为锐角又，则，则，则则令，则又在单调递增，，可得，则的取值范围为， 则的取值范围为21.如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，（1）求证：平面；（2）若二面角，求与面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，通过证平面平面，可得面.（2）利用二面角的平面角的定义先找出二面角的平面角即为，再利用面面垂直的性质定理找到平面的垂线，从而作出与面所成的角，计算可得答案.【小问1详解】证明：取的中点，连接，为线段的中点，，平面，平面，平面，又，，四边形为平行四边形，则平面，平面，可得平面，又，，平面，可得平面平面，平面， 则面【小问2详解】取中点，中点，连接，，，由，，为边的中点，得，所以为等边三角形，从而，，又，为的中点所以，又是等边三角形，所以，所以为二面角的平面角，所以，过点作，过作交于，连接，是等边三角形，所以可求得，，所以，，，，，，所以，，又，，面，所以面，又，所以面，平面，所以面面，由，在中易求得，又，所以，，面面，面，所以面，所以为与平面所成的角，在中可求得，所以，与面所成角的正弦值为22.已知向量，，若函数 的最小正周期为.（1）求的单调递增区间：（2）若关于的方程在有实数解，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到，然后求解函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间；（2）化简方程为：，令，原方程化为，整理，等价于在有解，利用参变量分离法可知在上有解，利用双勾函数的单调性可求得实数取值范围.【小问1详解】解：因为，，，因为且函数的最小正周期为，则，解得，所以，，由可得，所以，函数的单调递增区间为. 【小问2详解】解：，，，方程，即方程，因为，则，设，，，原方程化为，整理，方程等价于在在有解，设，当时，方程为得，故；当时，在上有解在上有解，问题转化为求函数上的值域，设，则，，，设，任取、且，则 ，当时，，，则，当时，，，则，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，的取值范围是，在上有实数解或.