江苏省扬州市2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2021-2022学年度第二学期期末检测试题高一数学（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．1.已知向量，，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示可求得的值.【详解】由已知可得，解得.故选：A.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）．A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，即可确定的虚部【详解】，则的虚部为故选：B3.甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.【详解】甲、乙通关的事件分别记为A，B，事件A，B相互独立，，所以甲、乙两人都不通关的概率为.故选：D 4.某学习小组6名学生在一次数学小测验中的得分（单位：分）如下：82，84，86，90，97，97，则该组数据的30百分位数是（）A.82B.83C.84D.97【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.【详解】，所以该组数据的30百分位数是.故选：C5.若向量，则在上的投影向量的坐标为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的坐标公式求解即可【详解】设向量夹角为，则在上的投影向量为故选：A6.下列选项正确的是（）A.空间三点确定一个平面B.如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等C.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行D.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直【答案】D【解析】【分析】根据相关定理逐项分析即可【详解】空间中不共线的三点确定一个平面,A错如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,B错 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行,无数并不代表所有,C错过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,D对故选：D7.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理逐项判断.【详解】A.因为，由正弦定理得，则，无解；B.因为，由正弦定理得，则，又，则，有两解，故错误；C.因为，则，所以无解，故错误；D.因为，由正弦定理得，则，又，且，所以，故有一解，故正确.故选：D 8.已知，函数，若，则（）．A.B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，，从而利用即可求解.【详解】解：令，，则或，令，，则，又，，所以，，，，因，，所以，，所以，故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.所谓“民以食为天”，粮食问题就是人类生存的底线问题，是国家经济发展的底线问题，是社会维持稳定的底线问题.2021年，我国全国粮食总产量13657亿斤，连续7年保持在1.3万亿斤以上，我国2020-2021年粮食产量种类分布及占比统计图如图所示，则下列说法正确的是（）． A.2021年的粮食总产量比2020年的粮食总产量高B.2021年的稻谷产量比2020年的稻谷产量低C.2020年和2021年的薯类所占比例保持稳定D.2021年的各类粮食产量中，增长量最大的是小麦【答案】AC【解析】【分析】根据统计图逐项判定可得答案.【详解】2020年的粮食总产量为亿斤，2021年的粮食总产量高亿斤，因为，故A正确；因为，所以2021年的稻谷产量比2020年的稻谷产量高，故B错误；2020年和2021年的薯类所占比例都为，故C正确；由统计图可得2021年的各类粮食产量中，增长量最大的是玉米，故D错误.故选：AC.10.从装有个红球和个白球的袋中任意取出个球，有如下几对事件：①“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，恰好有个红球”；②“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，都是红球”；③“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，都是红球”；④“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，至少有个红球”．其中是互斥事件的有（）A.①B.②C.③D.④【答案】BC【解析】【分析】写出每个事件所包含的基本事件，利用互斥事件的定义判断可得出合适的选项.【详解】对于①，“取出个球，恰好有个白球”即为红白，“取出个球，恰好有个红球”即为红白，①中两个事件为相等事件； 对于②，“取出个球，都是红球”即为红，②中的两个事件为互斥事件；对于③，“取出个球，至少有个白球”包含：红白、白，③中的两个事件为互斥事件；对于④，“取出个球，至少有个红球”包含：红白、红，④中的两个事件不是互斥事件.故选：BC.11.在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有（）．A.三棱锥的外接球的表面积为B.异面直线和所成的角为C.直线CP和平面所成的角为定值D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对A，三棱锥的外接球即正方体的外接球，再求解外接球表面积即可；对B，根据异面直线夹角的定义可得直线和所成的角为，进而根据为正三角形求解即可；对C，举反例，当在和时直线CP和平面所成的角不相等判断即可；对D，以为顶点，为圆锥的高，为母线作圆锥，由圆锥底面圆上任意一点满足，结合两点之间线段最短求解即可【详解】对A，三棱锥的外接球即正方体的外接球，且即为外接球的直径，又，故外接球的表面积，故A正确；对B，连接，，易得异面直线和所成的角即与所成的，根据正方体的性质可得为正三角形，故，故异面直线和所成的角为，故B正确； 对C，当在时，直线CP和平面平行，所成的角为；当在时，直线和平面不平行，所成的角不为，故C错误；对D，由题意，，以为顶点，为圆锥的高，为母线作圆锥如图所示.则易得圆锥底面圆上任意一点满足，故.不妨设与四点共面，则易得当三点共线时，取得最小值.此时，故D正确；故选：ABD12.如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（）．A.B.C.D.与夹角的余弦值为【答案】AC【解析】 【分析】对A，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；对B，根据三点共线的性质，结合可得，进而得到判断即可；对C，根据余弦定理可得，再根据B中两边平方化简求解即可；对D，在中根据余弦定理求解即可【详解】对A，，故A正确；对B，设，则由A，，故，因为三点共线，故，解得，故，故，所以，即，故B错误；对C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正确；对D，在中，，，故，故D错误；故选：AC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知为虚数单位，且复数z满足：，则复数z的模为_____________．【答案】【解析】【分析】根据复数模的性质求解即可【详解】，则，故故答案为：14.的值为_____________． 【答案】##【解析】【分析】根据，结合两角和的正切公式求解即可【详解】故答案为：15.已知平面四边形ABCD中，，，，且是正三角形，则的值为_____________．【答案】2【解析】【分析】根据图形由数量积的运算律直接求解即可.【详解】由已知可得故答案为：216.已知样本数据的平均数和方差分别为77和123，样本数据的平均数和方差分别为m和n，全部70个数据的平均数和方差分别为74和138，则_____________，_____________．【答案】①70②.130【解析】【分析】根据平均数与方差的公式列式求解即可 【详解】由题意，，，故，故.又，即，，即，故，故故答案为：70；130四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数．（1）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；（2）若z是纯虚数，求m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据第四象限的复数实部为正，虚部为负求解即可；（2）根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求解即可【小问1详解】由题意可得，解得；的取值范围为；【小问2详解】由题意可得，解得．的值为． 18.如图，三棱柱中，E为中点，F为中点．（1）求证：平面ABC；（2）若平面，求证：平面ABC．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC中点M，连接AM，EM，证明四边形EFAM为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）易得，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证.【小问1详解】证明：取BC中点M，连接AM，EM，因为中，E为中点，M为BC中点，所以且，三棱柱中，且，因为F为中点，所以且，所以四边形EFAM为平行四边形，所以，又因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC； 【小问2详解】证明：因为，由（1）知，所以，因为平面平面，所以，又因为，平面ABC，所以平面ABC．19.某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：、、、、、．（1）求这名学生成绩的平均值；（2）若采用分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取人进行调查分析，求这人中恰好有人成绩在内的概率．【答案】（1）分（2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，再将矩形直方图中每个矩形的底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出这名学生成绩的平均值；（2）分析可知抽取的人中，成绩在内的有人，成绩在内的有人，记成绩在 内位同学为、、、，成绩在的位同学位、、，列举出所有基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：，．这名学生的成绩的平均值为，因此，这名学生成绩的平均值为分.【小问2详解】解：设“抽取人中恰好有人成绩在内”为事件．由题设可知，成绩在和内的频率分别为和，则抽取的人中，成绩在内的有人，成绩在内的有人．记成绩在内位同学分别为、、、，成绩在的位同学分别为、、．则从人中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，其中事件所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共种，故.20.在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____________．（1）求A；（2）若，求面积的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）（2）【解析】 【分析】对于条件①：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得；对于条件②：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得；对于条件③：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得.【小问1详解】（1）若选①：因为，根据正弦定理得，所以，所以．则，因为，所以，又，所以．若选②化简得：，则，又，所以．若选③：因为，根据正弦定理得，所以．即，因为，所以．【小问2详解】（2）因为，由，则，，又，所以， 则取值范围为．21.如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，平面平面ABCD，平面平面．（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作，垂足为M，显然PM，PA不重合，作，垂足为N，由平面平面ABCD，得到平面ABCD，再由平行四边形ABCD为矩形，且面积为48，利用锥体的体积公式求解；（2）由平面PCD，平面平面，得到，结合（1）得到平面PAD，则二面角的平面角求解．【小问1详解】解：如图所示：作，垂足为M，显然PM，PA不重合，作，垂足为N． 在中，，所以N为PD中点，且，所以，解得：；因为，所以，则；因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又平面PAD，则平面PAD，又平面PAD，所以，则平行四边形ABCD为矩形，且面积为48；所以四棱锥的体积为；【小问2详解】因为底面ABCD为平行四边形，所以，又因为平面PCD，位平面PCD，所以平面PCD．又因为平面PAB，平面平面，所以．由（1）知平面PAD，所以平面PAD，又因为平面PAD，所以且，所以二面角的平面角即．在中，，由余弦定理得．所以二面角的余弦值为．22.已知函数．（1）求方程在上的解集； （2）求证：函数有且只有一个零点，且【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可（2）根据三角函数的性质分区间研究函数，然后再进行隐零点代换，换元即可证明【小问1详解】所以.所以或当时,,则,又,所以当,则,又.所以或,所以所以方程在上的解集为【小问2详解】设当,则,此时在单调递增在也单调递增,所以在单调递增所以在时有唯一零点 当,所以所以在没有零点当时,,所以,所以所以在没有零点综上,在有唯一零点所以,且,所以所以令,因,所以又,则所以【点睛】方法点睛：含有三角函数、指数对数的零点问题，一般要根据三角函数图像特点划分区间，分段研究