江苏省扬州市2022-2023学年高三数学下学期期初考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第二学期期初考试高三数学2023.02（全卷满分150分，考试时间120分钟）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足（为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先将复数z化简为复数的标准形式，然后判断其在复平面内的所在象限即可.【详解】已知，得，所以，所以其在复平面内对应点为，在第四象限；故选:D2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式性质和充分必要条件的定义求解.【详解】如，但，所以“”推不出“”，由可得，所以“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故选:B.3.已知数列满足则其前9项和等于（）A.150B.180C.300D.360 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求解.【详解】因为所以所以其前9项和等于，故选:B.4.平面向量满足，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，故选：C5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】画出示意图，然后找出侧棱与底面所成角，计算其正切值即可.【详解】画出如图所示示意图，设底面边长为，则塔高所以侧棱与底面的角的正切值为故选：A6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先将已知等式化简得到，再利用角的关系求解即可.【详解】，因为所以，所以故选：B 7.已知一组数据的平均数是2，方差是3，则对于以下数据：，，，，，1，2，3，4，5下列选项正确的是（）A.平均数是3，方差是7B.平均数是4，方差是7C.平均数是3，方差是8D.平均数是4，方差是8【答案】D【解析】【分析】利用平均数和方差的定义计算即可.【详解】由题可知，所以有，所以其平均数为；故选：D8.在平面直角坐标系xOy中，x轴正半轴上从左至右四点A､B､C､D横坐标依次为a-c､a､a+c､2a，y轴上点M､N纵坐标分别为m､-2m（m>0），设满足的动点P的轨迹为曲线E，满的动点Q的轨迹为曲线F，当动点Q在y轴正半轴上时，DQ交曲线E于点P0（异于D），且OP0与BQ交点恰好在曲线F上，则a：c=（）A.B.C.2D.3【答案】A【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合点到直线距离公式、结合圆的性质进行求解即可.【详解】由，则，因为，所以动点P的轨迹是以A､C为焦点的椭圆，且长轴长为，因为A､B､C横坐标依次为，所以点是该椭圆的对称中心，且椭圆方程为，其中，设，因为，所以，该圆的圆心坐标为，半径为，显然原点经过该圆，当动点Q在y轴正半轴上时，此时，因为是直径，所以，即，由，所以，设，则有，因为在椭圆上，所以，代入中，得，故选：A【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义，结合椭圆的对称性得到椭圆的方程是解题的关键.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的有（）A.B.C.D. 展开式中二项式系数最大的项为第三项【答案】ABD【解析】【分析】根据组合数的性质即可判断AB；根据二项式之和即可判断C；对于D，先求出展开式的通项，不妨设第项的系数最大，则有，从而可得出答案.【详解】对于A，由组合数的性质可得，故A正确；对于B，由组合数的性质可得，故B正确；对于C，因为，所以，故C错误；对于D，展开式的通项为，不妨设第项的二项式系数最大，则，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为第三项，故D正确.故选：ABD.10.已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（）A.有最小值B.a2+b2有最小值C.4a+2b有最小值8D.lna+lnb有最小值ln2【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式、配方法，结合指数运算、对数的运算性质逐一判断即可.【详解】因为实数a，b>0，2a+b=4，所以有， 当且仅当时取等号，即当时取等号，故选项A不正确；因为2a+b=4，所以，当时，a2+b2有最小值，故选项B正确；，当且仅当时取等号，即时取等号，故选项C正确；因为实数a，b>0，2a+b=4，所以，当，时，lna+lnb有最大值ln2，因此选项D不正确，故选：BC11.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如已知函数，函数则下列说法中正确的有（）A.函数在区间上单调递增B.函数图象关于直线对称C.函数的值域是D.方程只有一个实数根【答案】BCD【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值可判断A，利用对称性判断B，根据的值域可判断C，根据的值域分类讨论可求D. 【详解】，所以函数在区间上不是单调递增，A错误；当为奇数时，，，此时，当为偶数时，，，此时，所以，所以函数图象关于直线对称，B正确；由题可得，所以，所以当时，当时，当时，所以函数的值域是，C正确；若，则方程，即，但，所以此时无解；若，则方程，即， 但，因为，所以，所以，满足题意，若，则方程，即，但，不满足题意，所以方程只有一个实数根为，D正确，故选:BCD.12.在四面体的四个面中，有公共棱的两个面全等，，，，二面角大小为，下列说法中正确的有（）A.四面体外接球的表面积为B.四面体体积的最大值为C.若，，则D.若，，则【答案】ACD【解析】【分析】选项A：找出四面体得外接球得外接圆圆心和半径即可；选项B：先确定底面，底面积确定，利用夹角的变化确定体积最大的时候的高即可；选项C：直接画出二面角，然后计算其夹角即可；选项D：先过点画的垂线，垂足为;过点画的垂线，垂足为，然后二面角为与的夹角，利用基底法计算长度即可.【详解】由题的示意图，画中点为，连接选项A：由题可知在中，，所以,又因为有公共棱的两个面全等,，故, 由直角三角形的性质可知，,故该三棱锥的外接球球心为点，直径为，所以外接球表面积为，故A正确；选项B：要使四面体的体积最大，则只需以为底面，在边上的高为高即可；因为公共棱的两个面全等，所以，所以有，已知，所以，所以体积最大时，该四面体的体积为，故B错误；选项C：分别过点画边的垂线，显然垂足均为，则,得示意图由选项B可知，又，，所以,由余弦定理的，因为在三角形中，所以，故C正确；选项D:如图所示，过点画的垂线，垂足为;过点画的垂线，垂足为，因为，所以,因为，所以与的夹角为， 由选项B可知，,所以,同理,由选项A可知所以，,所以得，所以，故D正确；故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记Sn为等比数列{an}前n项和.若S3=4，S6=12，则S9=______.【答案】28【解析】【分析】利用等比数列的片段和的性质求解即可.【详解】因为{an}为等比数列，所以数列,也为等比数列，所以有,得，所以，故答案为：2814.双曲线的左､右焦点分别为，，且右支上有一点，则=______.【答案】##0.2【解析】【分析】根据双曲线方程求出焦点坐标，得到，从而求出，利用余弦定理求出答案.【详解】的焦点为，故， 由题意得：，解得：，因为在右支上，所以，故，所以，故.故答案为：15.某个随机数选择器每次从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是则概率=______.【答案】##【解析】【分析】分的不同取值分类讨论即可求解概率.【详解】用随机机器选三次，共有种选法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中选3个数，，则先固定分别为0,1，则有8种选择，固定分别为0,2，则有7种选择，固定分别为0,3，则有6种选择，依此类推，当时，共有种，所以当时，共有种，当时，共有种，当时，共有种，当时，共有种，当时，共有种，当时，共有种，当时，共有1种， 综上，共有种，故，故答案为:.16.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】对进行分类讨论，结合分离常数法、函数的单调性求得的取值范围.【详解】依题意，当时，恒成立，当时，，所以.当时，由得，，，，，，其中，则；设，，所以在区间上单调递增，最大值为，则.综上所述，的取值范围是. 故答案为：【点睛】求解含参数的绝对值不等式恒成立问题，要考虑个方面，一个是题目给定的的范围，一个是绝对值不等式的解法，一个是函数的单调性和值域等知识.研究函数的单调性，可结合导数来进行求解.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和为（1）求数列的通项公式；（2）令①；②；③从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】(1)根据的关系求通项公式；(2)选①，利用错位相减法求和，选②，利用裂项相消求和，选③，利用并项求和以及等差数列前项和公式.【小问1详解】，两式相减得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，； 【小问2详解】由（1）可知，若选①：，.两式相减得：，所以.若选②：.若选③：当为偶数时，当为奇数时，.综上得：.18.已知的内角的对边分别为，，，，的内切圆的面积为.（1）求的值；（2）若点在上，且三点共线，求的值.【答案】（1）（2）105【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，然后利用等面积法求出内切圆的半径，然后求出即可；（2）显然平分，然后利用角平分线的性质可得，然后得，最后计算即可.【小问1详解】在中，由余弦定理得：，即设内切圆的半径为，则【小问2详解】在中，由（1）结合余弦定理得，平分点到的距离相等，故，而19.在三棱柱中，侧面是菱形，，，.（1）求证：； （2）已知，，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)取中点为,连接,然后证明垂直平分即可；（2）先证明两两垂直，然后建立空间直角坐标系计算即可.【小问1详解】取中点为,连接，在三棱柱中，侧面是菱形，，则为正三角形，取中点为，则，又平面，所以平面，因为平面，所以，因为是中点，所以.小问2详解】在边长为2正中，，在中，，则，又，所以，所以，所以两两垂直. 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.则，，设平面的法向量为，则，令，则设直线与平面所成角为，则，所以，直线与平面所成角的正弦值为.20.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y/亿元692962133420913229经计算得：=36.33，=112.85.（1）根据以上数据，建立y关于x的回归方程（为自然对数的底数）. （2）云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中m为单件产品的成本（单位：元），且=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差.若保持单件产品的成本不变，则将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，.若，则，，【答案】（1）（2），成本下降3元.【解析】【分析】(1)将非线性回归模型转化为线性回归模型求解；(2)利用真态分布的概率模型求解，并结合特殊概率值求解.【小问1详解】因为，所以，所以，所以，所以.【小问2详解】 未引入云算力辅助前，，所以，又，所以，所以.引入云算力辅助后，，所以，若保持产品成本不变，则，所以若产品质量不变，则，所以，所以单件产品成本可以下降元.21.已知为抛物线的弦，点在抛物线的准线上.当过抛物线焦点且长度为时，中点到轴的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若为直角，求证：直线过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线弦长公式，以及中点到轴的距离公式，计算出即可；（2）先设，直线的方程：，联立方程组，由韦达定理可得，又因为为直角可得，化简求解可得，所以得出直线过定点.【小问1详解】设，则由题意得， 解得，所以抛物线的方程为【小问2详解】直线过定点，证明如下：设，直线的方程：，将代入得，则，得，由韦达定理可得，所以，因为，所以，即，即，即，所以，所以直线过定点.22.已知函数，.（为自然对数的底数，）.（1）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（2）是否存在直线l同时与的图象相切？如果存在，判断l的条数，并证明你的结论；如果不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，一条，证明见解析 【解析】【分析】(1)根据函数的单调性可得，再构造函数，讨论最值即可求解；(2)利用导数和切线的关系，求出切线方程，进而可得，再根据导数讨论单调性，结合单调性与函数零点的关系求解.【小问1详解】.因为在上单调减，所以恒成立，所以恒成立.设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.【小问2详解】存在且仅有一条直线同时与的图象相切. 设直线与的图象分别相切于点，其中，且，则在处的切线方程为：，即；在处的切线方程为：，即.所以……①……②因为，所以，则.可得，于是有，整理得.法1：两边同除以得，要证有且仅有一条直线同时与的图象都相切，只需证函数，在上有且仅有一个零点.当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，所以在上无零点.取，则， ，所以函数在上有且仅有一个零点，综上，函数在上有且仅有一个零点，所以有且仅有一条直线同时与的图象都相切.法2：要证有且仅有一条直线同时与的图象都相切，只需证函数在上有且仅有一个零点.，设，则，因，所以，所以，所以在上单调递增，所以，又，所以，所以在上单调递增，所以，取则，其中， 所以，所以函数在上有且仅有一个零点，所以有且仅有一条直线同时与的图象都相切.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用且点坐标表示出切线方程，再根据等量代换可得，构造函数，结合函数的单调性与零点之间的关系即可证明.