突破新高考数学精选压轴题 第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题（解析版）

第5讲利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点，分别为双曲线的左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于　　A．B．C．D．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的渐近线被圆，即所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为，则，，即，即，，，由正弦定理可得，，，，，故选：．,2．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：在等腰三角形中，，，可得，由双曲线的定义可得，即有．故选：．3．已知，为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，△是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为　　A．4B．C．2D．【解答】解：设，，△是等腰直角三角形，，，，由，，①由，,，②由①②可得，，由余弦定理可得，，，故选：．4．已知，分别是双曲线的左右焦点，的右支上的一动点，则的取值范围是　　A．B．，C．，D．，【解答】解：，分别是双曲线的左右焦点，，，得，双曲线的焦距为，，，点在双曲线上运动，，，，,，，当，时，，当，时，，，的取值范围是，．故选：．5．已知双曲线的一条渐近线方程，且点为双曲线右支上一点，且，为双曲线左右焦点，△的面积为，且，则双曲线的实轴的长为　　A．1B．2C．4D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，由一条渐近线方程为，可得，由双曲线定义有，两边平方得①由余弦定理，有，即为②由①②可得，△的面积为，可得，解得，，故选：．6．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，，则的长为　　A．B．C．D．【解答】解：双曲线的，在等腰三角形中，，，可得，,由双曲线的定义可得，解得，则，故选：．7．已知点和是椭圆上一动点，则的最大值　　A．B．C．D．【解答】解：为椭圆左焦点，设右焦点为，则由椭圆定义，于是．当不在直线与椭圆交点上时，、、三点构成三角形，于是，而当在直线与椭圆交点上时，在第三象限交点时有，在第一象限交点时有．显然当在直线与椭圆第一象限交点时有最大值，其最大值为．故选：．8．已知为经过抛物线焦点的弦，为抛物线的准线与轴的交点，若弦的斜率为，则的正切值为　　A．B．C．1D．不存在【解答】解：抛物线方程为，焦点坐标为，，准线方程为点坐标为，直线经过点，，的斜率为，设点的坐标为，，，代入抛物线方程可得，，可以解得，或（舍去），,，同理，可以解得，，．故选：．9．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比　　A．B．C．D．【解答】解：抛物线方程为，焦点的坐标为，，准线方程为，如图，设，，，，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，则，，把代入抛物线，得，，直线过点与方程为，代入抛物线方程，解得，，，在中，，,，故选：．二．填空题（共8小题）10．已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为　，　．【解答】解：法一：，，，，，，设，则，，，．法二：，，令，，，，，，,，，，．故答案为：，．11．设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　15　，最小值为　　．【解答】解：将的坐标代入椭圆方程可得，即在椭圆外，连结、，椭圆的，，，，，由椭圆的定义可得，，，由，，，的最大值和最小值分别为15和故答案为：15，．12．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为　　．【解答】解：．，．，当且仅当三点，，共线时取等号．故答案为：．13．已知点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为　　．,【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为，连接，设圆的圆心为，圆的方程为的圆心为，，半径，则有，若，则，，；线段与圆相切于点，则以及，则有，即，即，由双曲线的性质有，则双曲线的离心率；故答案为：．14．抛物线的过焦点的弦，为坐标原点，则以为直径的圆与轴有　1　个公共点；抛物线准线与轴交于点，若，　　．【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，由抛物线的定义可得，设的中点为，可得到准线的距离为，即有到轴的距离为，则以为直径的圆与轴相切，可得与轴有1个交点；由，可得直线的斜率为，即有直线的方程为，代入抛物线的方程，可得,，解得，即有，，，，，可得直线的斜率为，直线的斜率为，则，，由，，解得，则．故答案为：1，．15．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比　　．【解答】解：抛物线方程为，焦点的坐标为，，准线方程为如图，设，，，，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，则，，把代入抛物线，得，，直线过点与，方程为，代入抛物线方程，解得，,，在中，，，故答案为16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则　2　．【解答】解：抛物线的焦点，过，两点的直线方程为，联立可得，，设，，，，则，，，，，，，，，，，整理可得，，,，即，．故答案为：217．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于、两点，若以为直径的圆过，则　2　【解答】解：抛物线的焦点，过，两点的直线方程为，联立，可得，设，，，，则，，，，，，，，，以为直径的圆过，，，整理可得，，，即，解得．故答案为：2三．解答题（共1小题）18．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设，由得，,，可得，又，可得，，椭圆方程为：；设直线的方程为，，，，由方程组得，，解得，或，由题意可知，进而得，由（1）知，，设，则，，由题意得，，解得，直线的方程为，与直线的方程联立，可得点的横坐标，在中，由，得，得，,，解得，或，故直线的斜率的取值范围为：．