突破新高考数学精选压轴题 第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题(解析版)
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第4讲利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方.若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是 A.B.C.D.2【解答】解:如图所示,设线段的中点为,连接.设椭圆的右焦点为,连接.则.又,.设,在中,,.故选:.2.如图,从双曲线的左焦点引圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若为线段的中点,为坐标原点,则与的大小关系为 ,A.B.C.D.以上三种可能都有【解答】解:将点置于第一象限.设是双曲线的右焦点,连接、分别为、的中点,.又由双曲线定义得,,.故.故选:.3.从双曲线的左焦点引圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若为线段的中点,为坐标原点,则等于 ,A.B.C.D.【解答】解:如图所示,设是双曲线的右焦点,连接.点,分别为线段,的中点,由三角形中位线定理得到:,,连接,因为是圆的切线,则,在中,,,..故选:.4.设,是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,已知是和的等差中项,且,则该双曲线的离心率为 A.1B.C.D.【解答】解:设,,由是和的等差中项,,则点在的右支上,,,即,,,,由余弦定理可知:,,整理得,由,,由,解得:,曲线的离心率为,故选:.5.已知点是椭圆上的动点,、为椭圆的左、右焦点,为坐标原点,若是的角平分线上的一点,且,则的取值范围是 A.B.C.D.【解答】解:如图,延长,,交于点,是平分线,且,,为中点,连接,为中点,为中点,在椭圆中,设点坐标为,则,,点在椭圆上,,,又当时,不成立,.故选:.6.设,是双曲线的左右焦点,点是右支上异于顶点的任意一点,是的角平分线,过点作的垂线,垂足为,为坐标原点,则的长为 A.定值B.定值C.定值D.不确定,随点位置变化而变化【解答】解:过点作的垂线,垂足为,交的延长线于,由三角形为等腰三角形,可得为的中点,由双曲线的定义可得,由三角形的中位线定理可得,故选:.,7.圆锥曲线具有丰富的光学性质,从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.直线与椭圆相切于点,椭圆的焦点为,,由光学性质知直线,与的夹角相等,则的角平分线所在的直线的方程为 A.B.C.D.【解答】解:由光学性质知直线,与的夹角相等,则的角平分线所在的直线为法线,即与直线垂直的直线,而直线,所以设所求的直线的方程为,联立,整理可得:,解得,代入直线的方程可得,可得,即,将代入所求的直线方程可得:,可得,所以的角平分线所在的直线的方程为,故选:.8.根据圆锥曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线,平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题:已知,分别是双曲线的左、右焦点,若从点发出的光线经双曲线右支上的点,反射后,反射光线为射线,则的角平分线所在的直线的斜率为 A.B.C.D.【解答】解:由已知可得,在第一象限,,将点的坐标代入双曲线方程可得:,解得,所以,,又由双曲线的方程可得,,所以,则,所以,且点,都在直线上,又,所以,所以,设的角平分线为,则,所以直线的倾斜角为,所以直线的斜率为,故选:.9.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,,若点满足,则该双曲线的离心率是 A.B.C.D.【解答】解:由双曲线的方程可知,渐近线为,分别与联立,解得,,,,中点坐标为,,点满足,,,,.故选:.10.椭圆的右焦点为关于直线的对称点在椭圆上,则椭圆的离心率是 ,A.B.C.D.【解答】解:设,由题意可得,由①②可得:,,代入③可得:,解得,可得,.即,可得解得.故选:.二.多选题(共1小题)11.已知,分别为双曲线的左、右焦点,的一条渐近线的方程为,且到的距离为,点为在第一象限上的点,点的坐标为,为的平分线,则下列正确的是 A.双曲线的方程为B.C.D.点到轴的距离为【解答】解:渐近线的方程为,,到的距离为,,,,双曲线的标准方程为,即选项正确;,,,由角分线定理知,,即选项正确;由双曲线的定义知,,,,在等腰△中,,,,,即选项正确;,,即选项错误.故选:.三.填空题(共7小题)12.已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则 2 ;点的坐标为 .【解答】解:椭圆的,,,设椭圆的右焦点为,连接,线段的中点在以原点为圆心,2为半径的圆,,连接,可得,设的坐标为,可得,可得,,由,,故答案为:2;,.13.已知是抛物线的焦点,、是该抛物线上的两点,,则线段的中点到轴的距离为 .【解答】解:由于是抛物线的焦点,得,,准线方程,设,,,,,解得,线段的中点横坐标为.线段的中点到轴的距离为.故答案为:.,14.抛物线的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为 .【解答】解:设,,连接、,由抛物线定义,得,,在梯形中,.由余弦定理得,,配方得,,又,得到.,即的最大值为.故答案为:.,15.设抛物线的焦点为,已知,为抛物线上的两个动点,且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为 1 .【解答】解:设,,由抛物线定义,得,在梯形中,.由余弦定理得,配方得,,又,得到.,即的最大值为1.故答案为:1,16.抛物线的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为 .【解答】解:设,,由抛物线定义,得,在梯形中,.由余弦定理得,,配方得,,又,得到.,即的最大值为.故答案为:,17.已知、分别为双曲线的左、右焦点,点,点的坐标为,为的平分线,则 6 .【解答】解:不妨设在双曲线的右支上为的平分线又解得故答案为618.如图,从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点,反射后光线经过椭圆的另一个焦点,事实上,点,处的切线垂直于的角平分线.已知椭圆的两个焦点是,,点是椭圆上除长轴端点外的任意一点,的角平分线交椭圆的长轴于点,则的取值范围是 .【解答】解:由题意知,椭圆在点,处的切线方程为,且,,切线的斜率为,而的角平分线的斜率为,又切线垂直于的角平分线,,即,.故答案为:,.四.解答题(共8小题)19.已知椭圆的左右焦点分别为:,,为椭圆上除长轴端点外任意一点,△周长为12.(1)求椭圆的方程;(2)作的角平分线,与轴交于点,求实数的取值范围.【解答】解:(1)椭圆的左右焦点分别为:,,,△周长为12,,,则,椭圆的方程为.(2)在△中,,即,为的角平分线,,由合比性质得,即,,,.,20.如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点上,片门位于该椭圆的另一个焦点上.椭圆有光学性质:从一个焦点出发的光线,经过椭圆面反射后经过另一个焦点,即椭圆上任意一点处的切线与直线、的夹角相等.已知,垂足为,,,以所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立如图的平面直角坐标系.(1)求截口所在椭圆的方程;(2)点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点.①是否存在,使得到和到直线的距离之比为定值,如果存在,求出的值,如果不存在,请说明理由;②若的角平分线交轴于点,设直线的斜率为,直线、的斜率分别为,,请问是否为定值,若是,求出这个定值,若不是,请说明理由.【解答】解:(1)设所求椭圆方程为,,则,由椭圆的性质:,所以,,所以椭圆的方程为.(2)由椭圆的方程为,则,.①存在直线,使得到和到直线的距离之比为定值.设椭圆上的点,,则,到直线的距离,所以,所以,当时,(定值).即存在,使得到和到直线的距离之比为定值.②设椭圆上的点,,则,又椭圆在点,处的切线方程为,证明如下:对于椭圆,当,,则,,所以椭圆在,处的切线方程为,又由,可以整理切线方程为:,即切线方程为,即,也即.所以椭圆在点,处的切线方程为,同理可证:当,椭圆在点,处的切线方程为,综述:椭圆在点,处的切线方程为,所以在点,处的切线的斜率为,又由光学性质可知:直线,所以,则.所以,,那么.21.在平面直角坐标系中,已知椭圆与直线,四点,,,,,中有三个点在椭圆上,剩余一个点在直线上.求椭圆的方程;(Ⅱ)若动点在直线上,过作直线交椭圆于,两点,使得,再过作直线.证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标.【解答】解:由题意有3个点在椭圆上,根据椭圆的对称性,则点,一定在椭圆上,即①,(2分)若点,在椭圆上,则点,必为的左顶点,,而,则点,一定不在椭圆上,故点,在椭圆上,点,在直线上,(4分)所以②,联立①②可解得,,所以椭圆的方程为;(6分)(Ⅱ)证明:由可得直线的方程为,设,,,,当时,设,、,,显然,又,即为线段的中点,,代入椭圆方程相减可得直线的斜率为,(10分)又,所以直线的方程为,(13分)即,显然恒过定点,,(15分)当时,直线即,此时为轴亦过点,;综上所述,恒过定点,.(16分)22.已知椭圆的左,右焦点分别为,,上顶点为.为抛物线的焦点,且,(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过定点的直线与椭圆交于,两点在,之间),设直线的斜,率为,在轴上是否存在点,使得以,为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由已知,,,所以.(1分)在△中,为线段的中点,故,所以.(2分)于是椭圆的标准方程为.(Ⅱ)设,,,,,取的中点为,.假设存在点,使得以,为邻边的平行四边形为菱形,则.联立△.,.因为,所以..,所以.23.在①离心率,②椭圆过点,③△面积的最大值为,这三个条件,中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面两个问题.设椭圆的左、右焦点分别为、,过且斜率为的直线交椭圆于、两点,已知椭圆的短轴长为,_____.(1)求椭圆的方程;(2)若线段的中垂线与轴交于点,求证:为定值.【解答】解:(1)选择①离心率,可得,,即,解得,,即有椭圆的方程为;选②椭圆过点,即有,又,即,解得,即有椭圆的方程为;选③△面积的最大值为,可得位于短轴的端点时,取得最大值,且为,即为,又,即,,,即有椭圆的方程为;(2)证明:设直线的方程为,联立椭圆方程可得,设,,,,可得,,可得,设的中点为,可得,,由题意可得,解得,可得,,可得,即为定值.24.已知,,是椭圆上的三个点,是坐标原点.(Ⅰ)当点是的右顶点,且四边形为菱形时,求此菱形的面积;(Ⅱ)当点不是的顶点时,判断四边形是否可能为菱形,并说明理由.【解答】解:四边形为菱形,是椭圆的右顶点直线是的垂直平分线,可得方程为设,得,解之得(舍负)的坐标为,同理可得的坐标为因此,,可得菱形的面积为;四边形为菱形,,设,得、两点是圆与椭圆的公共点,解之得设、两点横坐标分别为、,可得、两点的横坐标满足,或且,①当时,可得若四边形为菱形,则点必定是右顶点;②若且,则,可得的中点必定是原点,因此、、共线,可得不存在满足条件的菱形综上所述,可得当点不是的顶点时,四边形不可能为菱形.25.已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于,和,,两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)若抛物线的准线为,焦点为,点为直线上的动点,且点的横坐标为,试讨论当取不同的值时,圆心在抛物线上,与直线相切,且过点的圆的个数.【解答】解:(1)抛物线的焦点,,准线方程为直线的方程为,代入可得,由抛物线的定义可知,,,抛物线的方程为;(2)设,则过与直线垂直的直线方程为,与联立,可得,△,△,,满足条件的圆的个数是2个;△,,满足条件的圆的个数是1个;△,,满足条件的圆的个数是0个.26.设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.(1)求的方程;(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.【解答】解:(1)方法一:抛物线的焦点为,设直线的方程为:,设,,,,则,整理得:,则,,由,解得:,则,直线的方程;,方法二:抛物线的焦点为,设直线的倾斜角为,由抛物线的弦长公式,解得:,,则直线的斜率,直线的方程;(2)由(1)可得的中点坐标为,则直线的垂直平分线方程为,即,设所求圆的圆心坐标为,,则,解得:或,因此,所求圆的方程为或.
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