统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点六三角函数理（附解析）

热点(六)　三角函数1．(诱导公式、二倍角公式)已知sin(α＋π)＝－，则cos2α＝(　　)A．B．－C．D．－2．[2023·成都诊断性检测](函数图象平移)已知锐角φ满足sinφ－cosφ＝1.若要得到函数f(x)＝－sin2(x＋φ)的图象，则可以将函数y＝sin2x的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度3.[2023·惠州调研](三角函数图象)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)4．(三角函数的最值)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，若f(x)在[0，t)上的函数值中没有最小值，则实数t的取值范围是(　　)A．B．C．D．5．[2023·银川市普通高中质量检测](三角函数的图象与性质)将函数f(x)＝2sinxcosx－cos2x的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　)A．函数g(x)的最小正周期为2πB．函数g(x)的图象关于直线x＝对称 C．函数g(x)的图象关于点对称D．函数g(x)在区间上单调递增[答题区]题号12345答案6.(三角函数求角)已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．7．(三角函数的周期)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．8．(三角函数的性质)已知函数f(x)＝sin(x－π)，g(x)＝cos(x＋π)，有以下命题：①函数y＝f(x)g(x)的最小正周期为π；②函数y＝f(x)g(x)的最大值为2；③将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象；④将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝g(x)的图象．其中正确命题的序号是________．9．(三角函数综合)设函数f(x)＝cos(2x－)＋2sin2(x＋).(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)当x∈时，求f(x)的值域． 10．(三角函数综合)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋a，且当x∈时，f(x)的最小值为2.(1)求a的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数y＝f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝4在区间上所有根之和．热点（六）　三角函数1．C　∵sin（α＋π）＝－sinα＝－，∴sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.故选C.2．A　因为sinφ－cosφ＝2sin＝1，所以sin＝.因为φ为锐角，所以φ－＝，所以φ＝.所以f（x）＝－sin2＝－＝cos＝sin＝－sin＝－sin＝sin＝sin＝sin＝sin，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数f（x）的图象，故选A. 3．D　由题中图象，得，即.由“五点作图法”知点为第一个零点，所以，解得，所以f（x）＝sin.由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ（k∈Z），得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），即函数f（x）的单调递减区间为（k∈Z），故选D.4．D　∵函数f（x）＝sin（ω>0）的最小正周期为π，∴ω＝2.当x∈[0，t）时，2x＋∈，∵当x∈[0，t）时，函数值中没有最小值，∴<2t＋≤，解得<t≤，故选D.5．D　方法一　f（x）＝2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin，将其图象向左平移个单位长度，得g（x）＝sin＝sin的图象．对于A，g（x）的最小正周期T＝＝π，故A不正确；对于B，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以直线x＝不是函数g（x）图象的对称轴，故B不正确；对于C，令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，所以点不是函数g（x）图象的对称中心，故C不正确；对于D，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，－≤x≤，又⊆，所以函数g（x）在上单调递增，故D正确．故选D.方法二　f（x）＝2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin，将其图象向左 平移个单位长度，得g（x）＝sin＝sin的图象．对于A，g（x）的最小正周期T＝＝π，故A不正确；对于B，因为g＝sin＝sin≠，所以函数g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B不正确；对于C，因为g＝sin＝sin≠0，所以函数g（x）的图象不关于点对称，故C不正确；对于D，当x∈时，2x＋∈，所以函数g（x）在上单调递增，故D正确．故选D.6．答案：－解析：易知tan（2α－β）＝tan.因为tan（α－β）＝，所以tan2（α－β）＝＝，故tan（2α－β）＝＝1.由tanβ＝－∈，知<β<π，由tanα＝tan＝∈，知0<α<，所以2α－β∈，故2α－β＝－.7．答案：π解析：设f（x）的最小正周期为T.由题意知≥－＝，又f＝f＝－f，且－＝，可作出示意图如图所示（一种情况）：∴x1＝·＝，x2＝·＝，∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.8．答案：①④解析：因为f（x）＝sin（x－π）＝－sinx，g（x）＝cos（x＋π）＝－cosx，所以y ＝f（x）g（x）＝（－sinx）（－cosx）＝sin2x，所以函数y＝f（x）g（x）的最小正周期为＝π，最大值为，故①对，②错；将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后得到y＝－sin＝cosx的图象，故③错；将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝－sin＝－cosx的图象，故④对．9．解析：（1）f（x）＝cos2x＋sin2x＋1－cos（2x＋π）＝cos2x＋sin2x＋1＝sin＋1，所以f（x）的最小正周期T＝π.由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋，k∈Z.（2）因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，所以－≤sin≤1.所以f（x）的值域为.10．解析：（1）由题意，知f（x）＝cos2x＋1＋sin2x＋a＝2sin＋a＋1，∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈，则f（x）min＝－1＋a＋1＝2，得a＝2，即f（x）＝2sin＋3.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.（2）由函数图象变换得g（x）＝2sin＋3，又由g（x）＝4得sin＝， ∴4x－＝2kπ＋或2kπ＋，即x＝＋或＋（k∈Z）.∵x∈，∴x＝或，故所有根之和为＋＝.