浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附答案）

绍兴一中2023学年第一学期期中考试高二（数学）试卷一､选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1．已知向量=（1，2，6），=（2，y，﹣1），若⊥，则y＝（　　）A．﹣2B．﹣1C．1D．22．已知过A(3，1)、B(1，-3)的直线与过C(-3，m)、D(n，2)的直线互相垂直，则点(m,n)有（　　）A．1个B．2个C．3个D．无数个3．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，鲁迅故里百草园中的圆弧形门洞高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（　　）A．1.2mB．1.3mC．1.4mD．1.5m4．已知抛物线y2=2px(p>0)焦点在圆x2+y2=4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（　　）A．1B．2C．4D．85．已知A-2,-2，B-2,6，C4,-2三点，直线l1：kx﹣y﹣2k＝0与直线l2：x+ky+2＝0相交于点P，则PA2+PB2+PC2的最大值（　　）A．72B．80C．88D．1006．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，M为C的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N=90°，且|F1N|＝3|F1M|，则C的渐近线方程为（　　）A．y=±33xB．y=±3xC．y=±66xD．y=±6x7．如图，由点P（﹣3，0）射出的部分光线被椭圆C:x24+y2=1挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C的“外背面”．若⊙O：（x﹣5）2+（y﹣t）2＝1位于椭圆C的“外背面”，则实数t的取值范围为（　　）A．-30+855≤t≤85+305B．30-855≤t≤85-305C．-30+55≤t≤85+55D．30-55≤t≤85-558．教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，点P0x0,y0,z0，点Px,y,z高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 ．（1）若直线l经过点P0，且以u为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：x-x0a=y-y0b=z-z0c；（2）若平面α经过点P0，且以u为法向量，P是平面α内的任意一点，求证：ax-x0+by-y0+cz-z0=0．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面a的方程为x﹣y+z﹣7＝0，直线l是平面x+2y-3＝0与x+z+1＝0的交线，则直线l与平面a所成角的正弦值为（　　）A．39B．75C．715D．1455二､选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．下列说法正确的是（　　）A．直线的倾斜角为120°B．经过点P（2，1），且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x﹣y﹣1＝0C．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）D．直线l1：x+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y﹣4＝0，若l1⊥l2，则a＝﹣110．已知点P在⊙O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（　　）A．线段AP长度的最大值是5B．满足∠PBO＝15o的点P有且仅有2个C．过直线AB上任意一点作⊙O的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点（12，1）D．2|PA|+|PB|的最小值为21011．如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（    ）A．B．C．当直线斜率为时，D．12．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方体内及表面上一点，且，其中m∈[0，1]，n∈[0，1]，则下列说法正确的是（　　）A．当n=12时，B1P与平面ABCD所成角的最大值为π3B．当m+n＝1时，A1C1⊥B1P恒成立C．存在n∈[0，1]，对任意m∈[0，1]，CP∥平面ABB1A1恒成立高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 D．当m+n＝1时，PA+PC的最小值为236三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．两条平行直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离　．14．已知a=（2，4，x），b=（2，1，2），c=（﹣2，2，1），且a，b，c共面，则x的值为　　．15．已知点A0，0，B(2，0)，圆M：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）上恰有两点Pi(i=1,2)满足，则r的取值范围是　　．16．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1、F2，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则1e12+1e22的值为　　．四､解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，．设，，．（1）试用表示向量；（2）若∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．18．（本题满分12分）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），D为线段AB上的动点．（1）当D运动到AB中点时，求直线CD的一般式方程；（2）求线段CD的中点M的轨迹方程．高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 19．（本题满分12分）已知圆C过点A（8，1），且圆C与两坐标轴均相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若半径小于6的圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，____，求m的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB＝120°；条件②：|AB|=53．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．20．（本题满分12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，点A3，5在双曲线上．（1）求双曲线C的方程；（2）双曲线C上是否存在点B，使得对双曲线C上任意一点P（其中），都有为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．（1）求MN长度的最小值；（2）在（1）的条件下，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 22．（本题满分12分）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e=12，且过点P(-1，32)．点P到抛物线C2：y2＝﹣2px（p＞0）的准线的距离为32．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）如图过抛物线C2的焦点作F作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线C2于A，B两点（点A在x轴下方），直线PF交椭圆C1于另一点Q．记△FBQ，△APQ的面积分别记为S1、S2．当PF恰好平分∠APB时，求S1S2的值．高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 高二数学期中考答案一、单选题题号12345678答案DDBCCBBA二、多选题题号9101112答案ACDADABCBCD三、填空题13．2131314．515．3<r<716．2四、简答题17．（Ⅰ）由图形知MN→=MA1→+A1B1→+B1N→=13BA1→+AB→+12B1C1→=13(c→-a→)+a→+12(b→-a→)=16a→+12b→+13c→．（Ⅱ）由题设条件∵|MN|→2=(16a→+12b→+13c→)2=136(a→2+9b→2+4c→2+6a→⋅b→+12b→⋅c→+4a→⋅c→)=136(1+9+4+3+6+2)=2536，∴|MN→|=|16a→+12b→+13c→|=56．18．（1）∵C（1,3），D（72，32），kCD=-35．∴CD所在直线方程一般式是3x+5y﹣18＝0．（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，3），∵M是线段CD的中点，∴x=x0+12，y=y0+32，于是有x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣3，∵点D在线段AB上运动，∴3x0﹣y0﹣9＝0，（3≤x0≤4），∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9＝0即6x﹣2y﹣9＝0，（2≤x≤52）．（也可以用相似三角形直接得出）19．（1）设圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（0＜r＜6），高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 因为圆C过点A（8，1），所以（8﹣a）2+（1﹣b）2＝r2，又因为圆C两坐标轴均相切，所以得a＞0，b＞0且a＝b＝r，则（8﹣r）2+（1﹣r）2＝r2，解得r＝13或r＝5，即a＝b＝r＝5，或者a＝b＝r＝13所以C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣13）2+（y﹣13）2＝169．（2）因为圆C的半径小于6，所以C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25．如果选择条件①：由∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝5，得∠CAB＝∠CBA＝30°，过点C作CD⊥AB于点D，则|CD|=12|AC|=52，所以圆心C到直线l的距离d=52，则d=|5-5+m|2=52，解得m=±522；如果选择条件②：|AB|=53，在△ABC中，|CA|＝|CB|＝5，由余弦定理得cos∠ACB=|AC|2+|BC|2-|AB|22|AC||BC|=52+52-(53)22×5×5=-12，所以∠ACB＝120°，过点C作CD⊥AB于点D，则|CD|=12|AC|=52，所以圆心C到直线l的距离d=52，则d=|5-5+m|2=52，解得m=±522．20．（1）由题意得ca=29a2-5b2=1c2=a2+b2，解得a=2b=2c=22，故双曲线C的方程为x24-y24=1；（2）存在点B(-3，-5)，使得对双曲线上任意一点P（其中），都有为定值1，证明如下：高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 设P（xp，yp）在双曲线x24-y24=1上任意一点P（其中），则xp24-yp24=1，即xp2-yp2=4∴kPB⋅kPA=yp+5xp+3⋅yp-5xp-3=yp2-5xp2-9=yp2-5yp2-5=121．1）如图建立空间直角坐标系，，，，，，，．|MN|=12a2+(1-22a)2=a2-2a+1=(a-22)2+12，所以当a=22时，MN最小为22．（2）由（1）可知，当，为中点时，最短，则，0，，，，，取的中点，连接，，则，，，，，，，是平面与平面的夹角或其补角．，，．平面与平面夹角的余弦值是．方法二高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 由（1）可知，当MN最小时，M(12，0，12)，N(12，12，0)，所以AM→=(-12，0，12)，AN→=(-12，12，0)，设平面AMN的一个法向量为m→=(x，y，z)，则m→⋅AM→=-12x+12z=0m→⋅AN→=-12z+12y=0，令x＝1，则y＝1，z＝1，所以m→=(1，1，1)，又BM→=(12，0，12)，BN→=(12，12，0)，设平面BMN的一个法向量为n→=(x，y，z)，则n→⋅BM→=12x+12z=0n→⋅BN→=12z+12y=0，令x＝1，则y＝-1，z＝-1，所以m→=(1，-1，-1)，cosα=|cos＜m→，n→＞|=|m→⋅n→||m→||n→|=13，平面与平面夹角的余弦值是．22．（1）由于椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e=12，则a2：b2：c2＝4：3：1，故设C1：x24+y23=λ（λ＞0），由于椭圆C1经过点P(-1，32)，从而λ=14+34=1，故椭圆C1的方程为C1：x24+y23=1；由于点P到抛物线C2：y2＝﹣2px（p＞0）的准线x=p2的距离为32，则1+p2=32，故p＝1，从而抛物线C2：y2＝﹣2x；（2）由于F(-12，0)，设AB：y=k(x+12)，A(-2t12，2t1)，B(-2t22，2t2)，设直线PA，PB的斜率为k1，k2，由于P(-1，32)，则k1=2t1-32-2t12+1=4t1-3-4t12+2，k2=4t2-3-4t22+2，高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 由于kAB=2t1-2t2-2t12+2t22=1-(t1+t2)，kAF=2t1-2t12+12，且A，F，B共线kAB＝kAF，故1-t1-t2=2t1-2t12+12，从而t1t2=-14，t12+t22=(t1+t2)2-2t1t2=(t1+t2)2+12，从而k1+k2=4t1-3-4t12+2+4t2-3-4t22+2=-4t1t2(t1+t2)+3(t12+t22)+2(t1+t2)-34t12t22-2(t12+t22)+1=12(t1+t2)2+12(t1+t2)-6-8(t1+t2)2+1，k1k2=4t1-3-4t12+2⋅4t2-3-4t22+2=16t1t2-12(t1+t2)+916t12t22-8(t12+t22)+4=-12(t1+t2)+5-8(t1+t2)2+1，由于P(-1，32)，则直线PF的斜率k0=32-1+12=-3，当PE平分∠APB时，则k0-k11+k0k1=k2-k01+k0k2，即(k1+k2)k02+(2-2k1k2)k0-(k1+k2)=0，即9×12(t1+t2)2+12(t1+t2)-6-8(t1+t2)2+1-3×[2-2×-12(t1+t2)+5-8(t1+t2)2+1]-12(t1+t2)2+12(t1+t2)-6-8(t1+t2)2+1=0，即6(t1+t2)2+(t1+t2)-1=0，从而t1+t2=-12或t1+t2=13，从而k=kAB=1-(t1+t2)=2或﹣3，由于k＞0，故k＝2，由此直线AB：y＝2x+1，PQ：y=-3x-32，由于t1+t2=-12，t1t2=-14，|AF||BF|=-t1t2，考虑到t1t2+t2t1=(t1+t2)2-2t1t2t1t2=14+24-14=-3，从而t1t2=-3+52，从而|AF||BF|=3+52，联立PQ：y=-3x-32C1：x24+y23=1，即13x2+12x﹣1＝0，从而xQ=113，则yQ=-3xQ-32=-4526，从而|PF||QF|=yP-yQ=324526=1315，高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 因此S△APFS△AFQ=|PF||FQ|=1315=2630，S△AFQS△QFB=|AF||BF|=3+52=23-5=3015(3-5)，从而S△APF：S△AFQ：S△BFQ=26：30：15(3-5)，从而S1S2=S△FBQS△APQ=S△FBQS△APF+S△AFQ=15(3-5)26+30=15(3-5)56．高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司 高二（数学）试卷第12页，共12页学科网（北京）股份有限公司