湖北省宜昌市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附答案）

湖北省宜昌一中2023-2024学年第一学期期中考试试题高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数＀，其中i是虚数单位，则的虚部为()A.2B.＀C.1D.2.已知空间向量ሺͲͲͳ，ሺͲͲͳ，则向量在向量上的投影向量是()A.ሺͲͲͳB.ሺͲͲͳC.ሺͲͲͳD.ሺͲͲͳ3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是()A.A与B为互斥事件B.ሺͳሺͳC.A与B为相互独立事件D.A与B互为对立事件4.直线过点ሺͲͳ，则直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积最小值为()A.6B.12C.18D.245.贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的9倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为()A.B.C.ͻD.ͻ6.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，4，x，7，8，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则该组数据的方差是() ͻA.5B.C.D.7.已知䁨满足lnsinlnsinlnsin䁨，且两条直线方程分别为sinsin，sinsin䁨，试判断两条直线位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交且不垂直8.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点ሺͲͲͳ且一个方向向量为ሺͲͲͳሺͳ的直线l方程为，经过点ሺͲͲͳ且法向量为ሺͲͲͳ的平面方程为ሺͳሺͳሺͳ，已知：在空间直角坐标系Oxyz中，经过点ሺͲͲͳ的直线l方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为()A.B.C.D.ͻͻ二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若十个学生参加知识竞赛的得分分别为90，82，87，93，90，92，88，87，90，85，则下列说法正确的是()A.极差为11B.众数为90C.平均数为88D.中位数是9010.已知点ሺͲͳ与直线，下列说法正确的是()A.过点P且直线l平行的直线方程为B.过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直C.点P关于直线l的对称点坐标为ሺͲͳD.直线l关于点P对称的直线方程为11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，ܱܱ䁨，则下列结论正确的是() A.圆锥SO的侧面积为B.三棱锥䁨体积的最大值为C.的取值范围是ሺͲͳD.若䁨，E为线段AB上的动点，则ܧ䁨ܧ的最小值为ሺͳ12.已知ܱ的内接四边形ABCD中，，䁨ͻ，ܦ䁨ܦ，下列说法正确的是()A.四边形ABCD的面积为B.该外接圆的直径为C.ܱ䁨ܦD.过点D作ܦ䁨交BC于点F，则ܦܱܦ三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为l，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生之间随机整数的20组如下：907966191925271932812458569683431257393027556488730113237989通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.14.平行于直线，且与l的距离是1的直线方程为__________.15.已知圆柱体体积是1，设M，N分别是圆柱的上、下底面的中心，以圆柱的两底面作为圆锥体的底面，以M，N分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，则这两个圆锥体公共部分的体积是__________.16.如图，已知䁨为等边三角形，点G是䁨的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点ܧ设ܦ，ܧ䁨，且设ܦܧ的周长为，䁨的周长为，设，记ሺͳ，则__________，ሺͳ的值域为__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知坐标平面内两点ሺͲͳ，ሺͲͳ ሺͳ当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围;ሺͳ若直线MN的方向向量为ሺͲͳ，求m的值.18.在䁨中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscoscosሺͳ求ሺͳ若，BD为角B的平分线，点D在䁨上，且ܦ，求䁨的面积.19.某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了60名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照ͲͳͲͲͻͳͲͻͲͳͲͲͳͲͲͳͲͲሾ分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.ሺͳ求图中a的值，以及该组数据的众数和中位数;ሺͳ若采用分层随机抽样的方法，从成绩在ͻͲͳͲͲͳ和Ͳሾ的三组中抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率.20.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为ͻ，我们将这种坐标系称为“斜ͻ坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜ͻ坐标系”下向量的斜ͻ坐标：＀，j，坐标系”下三条数轴ሺ轴，y轴，z轴ͳ正方向上的单位向量，若向量＀j，则分别为“斜ͻ与有序实数组ͲͲሾ一一对应，称向量的斜ͻ坐标为ͲͲሾ，记作ͲͲሾሺͳ若ͲͲሾ，ͲͲሾ，求的斜ͻ坐标; ሺͳ在平行六面体䁨ܦ䁨ܦ中，ܦ，，ܦܦͻ，建立“空间斜ͻ坐标系”如下图所示.①若ܧܧ，求向量ܧܦ的斜ͻ坐标;②若ͲͲሾ，且䁨，求21.如图，由直三棱柱䁨䁨和四棱锥ܦ䁨䁨构成的几何体中，䁨，，䁨，ܦ䁨ܦ䁨，平面䁨䁨ܦ平面䁨䁨ሺͳ为三角形ܦ䁨䁨内ሺ含边界ͳ的一个动点，且ܦ䁨，求M的轨迹的长度;ሺͳ在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面ܦ所成角的正弦值为若存在，求的值;若不存在，䁨说明理由. 22.如图所示，P是以AB为直径的圆的下半圆弧上的一动点ሺ异于A、B两点ͳ，C、D分别为A、B在过点P的直线l上的射影ሺ、B在直线l的上方ͳ，记，ܦ，且＀直线ሺͳ若，求面积S的最大值及S取得最大值时的值;ሺͳ若，用m表示向量、在向量＀方向上的投影向量的模长之和，试问、满足什么条件时，m有最大值?ሺͳ若䁨，ܦ，，求的值. 湖北省宜昌一中2023-2024学年第一学期期中考试试题高二数学参考答案1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的概念，共轭复数的定义，属于基础题.由题意，先求出，进而可得其虚部.【解答】解：＀，的虚部是2.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量的投影向量，属于基础题.利用投影向量的定义即可求解.【解答】解：由题意，得ͻ，则向量在向量上的投影向量是ሺͲͲͳ3.【答案】C【解析】【分析】本题考查事件的判断，考查古典概率的计算，属基础题.确定全部事件和A，B，AB事件，再逐个判断即可.【解答】解：抛掷两枚质地均匀的硬币的全部事件：ሺ正，正ͳ，ሺ正，反ͳ，ሺ反，正ͳ，ሺ反，反ͳ，共4个，事件“第一枚硬币反面向上”包括ሺ反，正ͳ，ሺ反，反ͳ，共2个，事件“第二枚硬币正面向上"包括ሺ反，正ͳ，ሺ正，正ͳ，共2个，事件AB包括ሺ反，正ͳ，共1个，因为A与B有公共事件ሺ反，正ͳ，故A与B为不是互斥事件，也不是对立事件ሺͳͲሺͳͲሺͳ 满足ሺͳሺͳሺͳ，故A与B为相互独立事件故选䁨4.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线的截距式方程的应用，利用基本不等式求最值，属中档题．根据已知可得，l与x、y正半轴围成的三角形的面积为，利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件.【解答】解：因为直线l：过点ሺͲͳ，则，即，则直线l与x、y正半轴的交点坐标分别为ሺͲͳ，ሺͲͳ，且ᦙ，ᦙ，直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积为，因为，当且仅当ሺ即，ͻͳ时等号成立，所以直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积最小值为5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了棱柱与棱台体积求解，属于中档题.设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3m，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.【解答】解：设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3m，由上到下的三个几何体体积分别记为ͲͲ，则，ሺͳ，ͻሺͳ，ͻ所以ͻ故选：D 6.【答案】B【解析】【分析】本题考查一组数据的百分位数、方差和众数，考查运算求解能力，是基础题．该组数据的第60百分位数是众数的倍，求出，从而该组数据的平均数为，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，4，x，7，8，该组数据的第60百分位数是众数的倍，，解得，该组数据的平均数为ሺͳ，该组数据的方差是ሺͳሾሺͳሺͳሺͳሺͳሺͳሺͳͻ故选7.【答案】B【解析】【分析】本题考查判断两条直线位置关系，涉及正弦定理，属于基础题.由对数运算得sinsinsin䁨，且sin，sin，sin䁨ᦙ，再利用正弦定理判断两直线的位置关系.【解答】解：因为䁨满足lnsinlnsinlnsin䁨，则lnsinlnሺsinsin䁨ͳ，则sinsinsin䁨，且sin，sin，sin䁨ᦙ直线：sinsin与直线：sinsin䁨的方程分别化为：＀sin，sinsin䁨sin䁨sin即直线和直线的斜率分别为sin，sin䁨Ͳ又由正弦定理知sinsin䁨此两条直线重合．8.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了直线与平面成角问题，属于中档题．根据题意，求出平面的法向量，直线l的方向向量，再计算直线l与平面所成角的正弦值即可．【解答】解：由题意知，平面的方程为ሺͳ，直线l方程为，所以平面的法向量为ሺͲͲͳ，直线l的方向向量为ሺͲͲͳ，所以直线l与平面所成角的正弦值为ͻͻͻ故选9.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了极差、中位数、众数和平均数的知识，掌握各知识点的概念是解题的关键.根据极差、中位数、众数和平均数的概念分别进行求解，即可得出答案.【解答】解：A、这组数据的极差是，正确;B、这组数据的众数是90，正确;C、这组数据的平均数是，错误;D、将这组数据从小到大排列：82，85，87，87，88，90，90，90，92，93，这组数据的中位数是，错误.10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查利用待定系数法求直线方程，训练了点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的方程的求法，属中档题．【解答】解：对于A：过点P且直线l平行的直线方程为，则，则，即直线方程为，故A正确；对于B：当直线不过原点时，过点P且截距相等的直线为，则，即，此时与直线l一定垂直，当直线过原点时，此时直线为，不与直线l垂直，故B错误；对于C：设点P关于直线l的对称点坐标为ሺͲͳ，可得，① 斜率，②．由①②解得：，则点P关于直线l的对称点坐标为ሺͲͳ，故C正确；对于D：直线l关于点P对称直线方程为，由题意，，得或ሺ舍去ͳ直线方程为，故D正确．11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查圆锥的几何性质，空间几何体中的最值问题，属于中档题解题时根据圆锥侧面积公式可判断A，根据三棱锥体积公式判断B，利用特殊值判断C，通过翻折计算判断ܦ【解答】解：易知圆锥母线长为A：圆锥SO的侧面积，故A错误；B：因为三棱锥䁨高为定值，所以底面三角形ABC面积最大时，体积最大，即此时B到AC距离最大，BO与AC垂直时最大，此时䁨，故B对；C：当ሺ可取ͳ时，三角形SAB为正三角形，则，故C错误；D：䁨，则三角形ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，䁨，䁨此时三角形SAB为正三角形，将平面SAB翻折到与平面ABC重合，连接SC，则ܧ䁨ܧ的最小值为SC，此时䁨，ͻ根据余弦定理可知䁨ͻ故D对；故选ܦ12.【答案】AC【解析】【分析】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角平方关系，三角形面积公式及向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．由已知结合向量数量积的性质，余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式分别检验各选项即可判断．【解答】解：对于A，连接AC，䁨䁨ͻ由题意得cosܦ䁨cos䁨，解得䁨，所以cosܦ䁨，cos䁨，所以sin䁨，故䁨ͻ，ܦ䁨ܦܦ䁨sinܦ䁨，故四边形ABCD的面积为，A正确；ͻ䁨对于B，设外接圆半径为R，则ᦙ，sin䁨故该外接圆的半径ᦙ，B错误；对于C，连接BD，过点O作ܱ䁨ܦ于点G，过点B作ܧ䁨ܦ于点E，则由垂径定理得䁨䁨ܦ，ͻܦͻͻܦ由题意得cosܦcos䁨ܦ，即，ͻ解得ܦ，所以cos䁨ܦ，所以䁨ܦ，且䁨ܧ䁨cos䁨ܦͻ，所以ܧ，即ܱ在向量䁨ܦ上的投影长为1，且ܧ与䁨ܦ反向，故ܱ䁨ܦܧ䁨ܦ，C正确；对于D，由C选项可知䁨ܦ，故ܦ䁨ܦsinͻ，因为ܦ䁨ܦ，，且䁨ܦ由题意得DO为ܦ䁨的平分线，故ܱܦܦ䁨， 由A可知cosܦ䁨，显然ܦ䁨为锐角，cosܦ䁨故cosܦ䁨，sinܦ䁨，所以cosܱܦcosሺ，ܦ䁨ͳcosܦ䁨cossinܦ䁨sin所以ܦܱܦܦܱܦcosܱܦ，D错误．故选：䁨13.【答案】【解析】【分析】本题考查随机模拟方法估计概率，属于基础题．在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的共6组，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，利用计算器产生了如题中所给的20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，237共6组随机数，ͻ所求概率为故答案为14.【答案】或【解析】【分析】本题考查直线方程的相关知识，属于基础题.先设一下所求直线方程，再根据两条平行直线间的距离公式，求出常数项即可.【解答】解：设所求直线方程为ሺͳ，则，或，即所求直线方程为或15.【答案】【解析】【分析】本题考查圆柱与圆锥的体积计算，属于中档题.解题时先理解题目意思，知道两个圆锥的公共部分是2个小圆锥的组合体，设圆柱的底面半径和高为r和h，可得小圆锥的底面半径和高为和，即可求解. 【解答】解：易知以M，N分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，则这两个圆锥体公共部分是两个小圆锥组合体，设圆柱的底面半径和高分别为r和h，可得小圆锥的底面半径和高分别为和，因为圆柱体体积是1，所以，则2个小圆锥组合体体积为ሺͳ16.【答案】3；Ͳሾͻ【解析】【分析】本题考查了向量的线性运算法则，平面向量基本定理等知识，也考查了二次函数的性质，属于较难题.连接AG并延长，交BC于F，可得ሺ䁨ͳ，变形可得ܦܧ，根据D，G，E三点共线，即可得的值；设䁨的边长为1，求出ܦܧ与䁨周长之比，故得ሺͳ的表达式，根据的范围，利用二次函数性质，即可得答案.【解答】解：连接AG并延长，交BC于点F，则F为BC中点，ሺ䁨ͳ，又G为重心，ሺ䁨ͳሺܦܧͳܦܧ，又ܦͲͲܧ三点共线，，设䁨的边长为1，则ܦͲܧ，在ܦܧ中，ܦܧܦܧܦܧcosͻ䁨ܦܧ，ܦܧܦܧ䁨， ሺͳሺͳ，ሺͳ，ሺͳ.Ͳ，Ͳ，又䁨，，ሺͳͲͲhͲሾ，ሺͳhͲሾͻ故答案为3；Ͳሾͻ17.【答案】解：ሺͳ直线MN的倾斜角为锐角，则tanᦙ，又ᦙ，ሺͳሺͳ即ሺͳሺͳ，解得ሺͳ直线MN的方向向量为ሺͲͳ，所以，解得【解析】本题考查直线斜率公式、倾斜角与斜率关系，属于基础题.ሺͳ若倾斜角为锐角，则斜率大于0，从而求出m的取值范围；ሺͳ由直线MN的方向向量可得斜率，故可得m的值.18.【答案】解：ሺͳ由正弦定理可得sincossincossin䁨cos，所以sinሺͳsin䁨cos，在䁨中，sinሺͳsin䁨，sin䁨，所以sin䁨sin䁨cos，cos因为，所以ሺͳ由䁨ܦ䁨ܦ，得，sinͻܦsinܦsin即ሺͳ①由余弦定理得cos，所以② 由①②得ͻ或ሺ舍去ͳ，所以䁨sin【解析】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，属于中档题.ሺͳ由已知正弦定理化简可得cos，可求得ሺͳ由䁨ܦ䁨ܦ可得ሺͳ再由余弦定理可得ac，可求得䁨的面积.19.【答案】解：ሺͳ由图可知：ሺͳ，所以，众数为85，设中位数为x，由图象可知hͲͳͲ则ሺͳ，ͻ，即中位数为76；ሺͳ由图可知分数在ͻͲͳ的频率为，分数在Ͳͳ的频率为，分数在Ͳሾ的频率为，所以若按分层抽样从这三组中抽6人，则分数在ͻͲͳ的人数为2人，分数在Ͳͳ的人数为3人，分数在Ͳሾ的人数为1人，抽取的6人中分数在ͻͲͳ内的有2人，记这2人分别为a，b，分数在Ͳͳ内的有3人，记这3人分别为c，d，e，分数在Ͳሾ内的有1人，记这1人分别为f，从6人中随机抽取2人的情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，，ef共15种，其中2人均在ͻͲͳ内的情况为ab，2人均在Ͳͳ内的情况为cd，ce，de，2人的成绩在同一区间的情况共4种，所以2人的成绩在同一区间的概率为【解析】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，属于中档题．ሺͳ根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，结合众数定义和中位数公式，即可求解．ሺͳ根据已知条件，结合分层抽样的定义，求得从ͻͲͳͲͲͳͲͲሾ中分别抽取2人，3人，1人，分析即可得到答案.20.【答案】解：ሺͳͲͲሾͲͲͲሾ，ሺ＀jͳሺ＀jͳjͲͲሾ，坐标为ͲͲሾ的斜ͻሺͳ设＀ͲjͲ分别为与ͲܦͲ同方向的单位向量，则＀ͲܦjͲ，①ܧܦܦܧሺܦͳሺͳܦ＀jͲͲሾ；②由题䁨ܦ＀j，由ͲͲሾ，知＀j， 由䁨，知：䁨ሺ＀jͳሺ＀jͳͻ＀jሺͻͳ＀j＀jͻሺͻͳ，解得，则＀j＀j＀j【解析】本题考查向量的运算，考查向量的斜ͻ坐标，向量运算法则，向量数量积的运算，向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力．ሺͳ由ͲͲሾͲͲͲሾ，利用新定义能求出的斜ͻ坐标；ሺͳ设＀ͲjͲ分别为与ͲܦͲ同方向的单位向量，则＀ͲܦjͲ，①ܧܦܦܧሺܦͳሺͳ，由此能求出结果；②由题䁨ܦ＀j，由ͲͲሾ，知＀j，由䁨，能求出t，进而求出结果.21.【答案】解：ሺͳ作䁨ܦ䁨交ܦ䁨于H，连接AH，由题意知䁨䁨平面ABC，䁨平面ABC，所以䁨䁨䁨，因为平面䁨䁨ܦ平面䁨䁨，平面䁨䁨ܦ平面䁨䁨䁨䁨，且䁨平面䁨䁨，所以䁨平面ܦ䁨䁨，又ܦ䁨平面䁨䁨ܦ，所以䁨ܦ䁨，因为䁨ܦ䁨，且䁨䁨䁨，䁨Ͳ䁨平面䁨，所以ܦ䁨平面䁨，则M的轨迹为线段CH，又三角形ܦ䁨䁨中，ܦ䁨ܦ䁨，䁨䁨， 所以等腰三角形ܦ䁨䁨底边上的高为，所以䁨；ሺͳ存在.证明：以A为坐标原点，䁨，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则ሺͲͲͳ，䁨ሺͲͲͳ，䁨ሺͲͲͳ，ܦሺͲͲͳ，ሺͲͲͳ，ሺͲͲͳ，所以ሺͲͲͳ，ܦሺͲͲͳ，设平面ܦ的法向量ͲͲ，则，令，则，ͲͲ，设䁨ͲhͲ，所以ܦܦ䁨ͲͲ，所以＀ܿܦͲ，解得或ሺ舍ͳ，ͻ所以䁨【解析】本题主要考查的是线面垂直与面面垂直的判定与应用及线面角的求法，属于中档题．ሺͳ结合线面垂直与面面垂直的判定与性质判断出轨迹再求长度；ሺͳ以A为坐标原点，䁨，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量求出直线DP与平面ܦ所成角的正弦值，进而求出的值即可．䁨22.【答案】解：ሺͳ由AB为直径得圆周角，ሺsinͳሺcosͳsin， hͲ，hͲ所以当，即时，maxሺͳሺ法一ͳ由ᦙ䁨与ᦙܦ相似得䁨，又ܦ，所以cosͲ＀cosͲ＀cosͲ＀cosͲ＀cosͲ䁨ܦcosͲ䁨ܦsincoscossinsinሺͳ，ܦhͲ，所以当时，m的最大值等于ሺ法二ͳ显然所求投影向量也等于向量在向量䁨ܦ方向上的投影，所以cosͲ䁨ܦcosͲ䁨ܦcosͲ䁨ܦ当cosͲ䁨ܦ即向量Ͳ䁨ܦ共线时，m有最大值2，此时ሺͳ由相似三角形得ܦ䁨，由直角三形得＀Ͳܿ，所以cossinሺcossinͳsincoscossinsincosሺsincoscossinͳsinሺͳsinsinsinsin