浙江省金华第一中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

金华一中2023学年第一学期期中考试高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.过点且与直线垂直的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设出该直线的方程，由点在该直线上，即可得出该直线方程.【详解】设该直线方程为由点在该直线上，则，即即该直线方程为故选：C【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题.2.已知数列,,,则的值为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将n=1和n=2代入递推关系式，求解即可．【详解】数列{an}，a2＝1，，可得a1+a2＝2，a2+a3＝4，解得a1＝1，a3＝3，a1+a3＝4．故选A．【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力.3.若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形边长相等的性质，建立的关系，从而求出离心率.【详解】如图，若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则，所以椭圆的离心率为.故选：D.4.“点到直线距离相等”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用点到直线的距离公式，并结合充分条件、必要条件的定义即可解答.【详解】若点到直线的距离相等，则，解得或.∴点到直线的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则圆心为到直线的距离等于1，∴，解得.故选：B.6.已知数列是公差不为0无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（）A.在中最大的数是B.在中最大的数是C.在中最大的数是D.在中最大的数是【答案】A【解析】【分析】根据题意，由条件可得，由是以为首项，为公差的等差数列，即可判断AB，由可得在中最大的数是不确定的，即可判断CD.【详解】设等差数列的公差为，则，由存在最大值可知，，因为，则，所以数列是以为首项，为公差等差数列，且，则是递减数列，所以在中最大的数是，故A正确，B错误；在中最大的数是不确定的，比如，由，可得，所以，即为最大值，故CD错误；故选：A 7.设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由题意,根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由得：，因为到直线的距离小于，所以，即，所以双曲线渐近线斜率，故选A．8.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】连接，得出点在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点关于直线到直线的距离，从而可得结果.【详解】如上图示，连接则，点在平面中，且，，，在△中，以为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，如下图示，则，，， 设点关于直线的对称点为，而直线为①，所以，故直线为②，联立①②，解得，故直线与的交点，所以对称点，则，最小值为到直线的距离为.故选：A.【点睛】关键点点睛：将立体几何问题转化为平面问题，结合将军饮马模型，求点到直线上动点距离最小.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知双曲线，则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为B.双曲线的焦距为4C.双曲线的虚轴长为1D.双曲线的渐近线方程为【答案】BD【解析】【分析】根据双曲线方程可确定的值，即可求得双曲线离心率、焦距、虚轴长以及渐近线方程，即得答案. 【详解】由题意知双曲线，设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，焦距为2c，则，故双曲线的离心率为，A错误；双曲线焦距为，B正确；双曲线的虚轴长为，C错误；双曲线的渐近线方程为，即，D正确，故选：BD10.已知直线，则下列说法正确的是（）A.直线过定点B.直线与直线不可能垂直C.若点与点关于直线对称，则实数的值为D.直线被圆截得的最短弦长为【答案】AC【解析】【分析】对于A，当时，,对于B，当时，结合直线的平行条件，即可判断，对于C，求出点与点的直线方程，根据对称，即可求出，对于D，直线被圆截得的最短弦长，根据几何关系和勾股定理，即可求出【详解】解：对于A，当时，，故A正确，对于B，当时，直线与直线互相垂直,故B错误，对于C，由题意知直线AB与直线垂直,且线段AB的中点在直线上，所以，且，解得，故C正确，对于D，圆的圆心为，半径为，当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦长最短，此时圆心到直线的距离，解得， 所以直线被圆截得的最短弦长为，故D错误.故选：AC11.已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点．则（）A.抛物线的方程为B.直线一定过抛物线的焦点C.线段长的最小值为D.【答案】ACD【解析】【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线的方程，可判定A正确；设，得出和的方程，联立方程组，结合，得到是方程的两个不等式的实数根，再由韦达定理和，可判定D正确；由，得出直线，结合直线的点斜式的形式，可判定B不正确，再由圆锥曲线的弦长公式，结合二次函数的性质，可判定C正确.【详解】由抛物线，可得焦点坐标，准线方程为，因为抛物线上存在一点到其焦点的距离为，由抛物线的定义可得，可得，所以抛物线的方程为，所以A正确；设，显然直线的斜率存在且不为0，设斜率为，可得的方程为，联立方程组，整理得，因为是抛物线的切线，所以，即，且点的纵坐标为，代入抛物线方程，可得横坐标为，即，设直线的斜率存在且不为0，设斜率为， 同理可得：，且，所以是方程的两个不等式的实数根，所以，因为，所以，所以D正确；由，且，可得，则直线的方程为，即，又由，可得，所以，即，所以直线一定过定点，该点不是抛物线的焦点，所以B不正确.由直线的斜率不为0，设直线的方程为，且，联立方程组，整理得，所以，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以C正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线有关问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系， 合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.12.在正方体中，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（）A.当时，平面B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，△PBD的面积为定值D.当时，直线与所成角的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围.【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动，又平面，所以平面，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，同理可证平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正确； 对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动，三棱锥的体积为定值，B正确；对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点，则，其大小随着的变化而变化，C错误；对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线，因为且,所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角是直线与所成角，在正中，取值范围为，D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知等差数列满足，则______． 【答案】5【解析】【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为，且，所以，解得.故答案为：14.已知是椭圆的两个焦点，点在该椭圆上，若，则的面积是______．【答案】【解析】【分析】利用椭圆定义结合题设求得，可判断，即可求得的面积.【详解】由题意知是椭圆的两个焦点，则，不妨取，则，又，结合可得，则，即，故，故答案为：15.已知球是直三棱柱的内切球（点到直三棱柱各面的距离都相等），若球的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为______．【答案】##【解析】【分析】由题意求出直棱柱内切球半径，即可求得棱柱的高，将直棱柱分割为5个小棱锥，根据等体积法求得棱柱的底面积，再根据棱锥的体积公式即可求得答案. 【详解】设直三棱柱的高为h，设，内切球的半径设为r，则，球的表面积为，则，则；又的周长为4，即，连接，则直三棱柱被分割为5个小棱锥，即以内切球球心为顶点，以三棱锥的两个底面和三个侧面为底面的5个棱锥，根据体积相等可得，即，即得，故三棱锥的体积为,故答案为：16.设经过抛物线焦点且斜率为1的直线，与抛物线交于两点，抛物线准线与轴交于点，则______．【答案】【解析】【分析】得到直线的方程为，联立抛物线方程，求出的坐标，得到，利用余弦定理求出答案.【详解】由题意得，，直线的方程为，联立得，，设，不妨设在第一象限， 解得，故，故，故，，，由余弦定理得.故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知动圆：.（1）当时，求经过原点且与圆相切的直线的方程；（2）若圆与圆：内切，求实数的值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）时圆心为，半径为2．当过原点的直线斜率不存在时恰好与此圆相切，此时切线方程为；当过原点的直线斜率存在时设直线方程为，当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径2，可求得的值，从而可得切线方程．（2）圆的圆心，半径为；圆的圆心，半径为4．当两圆内切时两圆心距等于两半径的差的绝对值，从而可得的值．【详解】（1） 当直线的斜率不存在时，方程为,当直线的斜率存在时,设方程为，由题意得所以方程为.（2）,由题意得，两边平方解得.18.如图，为平行四边形，是边长为1的正方形，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证，转化只需证明平面，只需证明、即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和向量的坐标，转化为利用向量和法向量所成的角，即可求解直线与平面所成角的正弦值．【小问1详解】因为，由余弦定理得，从而，∴，又，故．又，平面，所以底面，而底面，可得，因为平面，∴平面，平面，故. 【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，可取，设直线与平面所成的角为．故.19.如图，已知抛物线与轴相交于点两点，是该抛物线上位于第一象限内的点．（1）记直线的斜率分别为，求证：为定值；（2）过点作，垂足为，若平分，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设点的坐标为，再利用两点间的斜率公式即可证明.（2）由平分，可知，再由求出，再利用相交求出，即可求出的面积. 【小问1详解】由题意得点的坐标分别为．设点的坐标为，且，则，所以为定值．【小问2详解】由直线的位置关系知：．因为，所以，解得，因为是第一象限内的点，所以，则．联立直线与的方程，解得．所以的面积．20.正项数列中，，对任意都有．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）设，试问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出所有满足要求的；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）存在，或或【解析】【分析】（1）利用平方差公式得到，从而判断得是等差数列，从而利用公式法即可得解；（2）假设存在，利用中等中项公式即可得解. 【小问1详解】因为，所以，因为，所以，又，数列是以1为首项，2为公差的等差数列．所以的通项公式为，前项和.【小问2详解】存在正整数，使得成等差数列，由（1）得，假设存在正整数，传得成等差数列，则，即，当时，得，显然不成立，所以，得，为整数，，故，即，对应的，所以存在满足要求的，或或.21.在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）若直线与平面的交点为，且，求截面与底面所成锐二面角的大 小．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）先利用中位线判定四边形是平行四边形，得到线线平行，再利用线面平行的判定定理即证结果；（2）先找到点，利用线面平行的性质定理，再建立空间直角坐标系写点坐标，计算两个平面的法向量，计算夹角余弦即得结果.【详解】解：（1）取的中点，连接、，∵是的中点，∴且，∵底面为直角梯形，，，即，且，∴且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．（2）方法一：取的中点，连接、、、，，连接并延长交于，已知．∵平面，且平面平面，∴，又，∴，建立如图所示直角坐标系， ，，，，，，则平面的法向量为，，，设平面的法向量为，则有，即，即，则，，即．∴设两个法向量、的夹角为，则，即两个法向量的夹角为．∴截面与底面所成锐二面角的大小为．【点睛】本题考查了空间中线面平行的判定和二面角的向量求法，属于中档题.22.已知点与定点的距离和它到定直线的距离的比是．（1）求点的轨迹的标准方程；（2）设点，若点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意设，然后根据题中的几何条件得出方程，从而求解出轨迹方程；（2）根据题意设出直线，求出直线与椭圆相交弦长，并结合点到直线距离知识从而求解. 【小问1详解】依题意，得，整理化简得，，所以：点的轨迹的方程为：.【小问2详解】设为坐标原点，连接，延长交椭圆于点，连接，由椭圆对称性可知：，又，所以为为平行四边形，所以：，则：，且三点共线，所以：四边形的面积，设直线，由，得：，所以：，又，所以：点到直线的距离即为点到直线的距离，因为：点到直线的距离，所以，设：，则：，所以：，又因为：，所以当时，即时，四边形面积取得最大值，最大值为． 【点睛】方法点睛：本题（2）中对面积的求解转化为对的面积求解，然后设出直线与椭圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值.