湖南省株洲市第八中学2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

2023年下期高一年级数学学科期中考试试题时间：120分钟分值：150分一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解一元一次不等式可得，即可求得.【详解】解不等式可得，即，又，所以.故选：D2.已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】C【解析】【分析】根据函数奇函数可得，再根据已知区间函数解析式即可得解.【详解】解：因为函数为R上的奇函数，当时，，所以.故选：C.3.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为(　　)A.42，12B.42，－C.12，－D.无最大值，－【答案】D【解析】 【详解】因为对称轴为x=，所以x=时取最小值－，由于为开区间，端点值取不到，无最大值，选D.4.如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作直线分别与曲线相交，结合函数的单调性即可判断.【详解】因为函数为增函数，所以，所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为，由图可知，曲线相应n值为.故选：A5.下列函数中与函数是同一个函数的是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；对于D中，函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：B.6.“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的解集为，可得出，可求出的取值范围，结合集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若关于的不等式的解集为，则，解得，因为Ü，，Ý，因此，“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是“”.故选：D.7.已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据条件①可知函数在上单调递减，再根据偶函数性质即可得出函数的单调性，结合条件②并对进行分类讨论即可解出不等式.【详解】由对任意的，且，都有成立可得，函数在上单调递减，又是定义在上的偶函数，根据偶函数性质可知，在上单调递增，且；由不等式可知，当时，，根据在上单调递减可得；当时，，根据在上单调递增可得；综上可知，不等式的解集为.故选：A8.在上定义运算，时，不等式有解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】转化条件得在上有解，利用基本不等式求得在的最大值即可得解.【详解】由题意可得在上有解，所以即在上有解，又，当且仅当时，等号成立， 所以在的最大值为，所以实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查了基本不等式的应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.二､多选题（本大题共4小题，共20分，在每小题有多项符合题目要求，少选一个得2分，多选或错选得0分）9.已知，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】CD【解析】【分析】利用特殊值代入法排除AB，利用不等式的基本性质可判断CD，得出结论．【详解】对于A，不妨令，，，，尽管满足，，但显然不满足，故错误；对于B，不妨令，，显然满足，但不满足，故错误；对于C，由不等式的性质知，若，则，故正确；对于D，若，则，，故正确.故选：CD.10.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：我不会获奖，丙获奖；乙预测说：甲和丁中有一人获奖；丙预测说：甲的猜测是对的；丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，则获奖者可能是（）.A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.乙和丁【答案】C【解析】 【分析】从四人的描述语句可以看出，甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再对乙、丁的说法进行判断.【详解】∵“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”∴甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对，这与“，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误；若甲和丙的说法与结果不符，则乙、丁的预测成立所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖，乙不获奖.故选：C【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，进行有效论证.11.函数的图象可能是　　A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，分、以及三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．【详解】解：根据题意，当时，，，其图象与选项对应，当时，，在区间上，，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项对应， 当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项对应，故选：．12.定义在上的函数满足，当时，，则满足（）A.B.是偶函数C.在上有最大值D.的解集为【答案】CD【解析】【分析】赋值法可以求出，，判断出B选项；利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而判断AC；利用函数的单调性进行解不等式，判断D.【详解】∵定义在R上的函数满足，令得：，解得：，令得：，因为，所以，故是奇函数，B错误；任取，，且，则令，，代入得：，因为当时，，而，所以，故，即，从而在R上单调递减，所以，A错误；所以函数在上有最大值为，C正确；由，在R上单调递减，故，解得，故的解集为，D正确. 故选：CD.三､填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知幂函数的图象过点，则函数__________;【答案】【解析】【分析】设出幂函数的解析式，把点代入求的值.【详解】设幂函数，因为函数过点，所以，解得：，所以.14.已知，则的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】利用拼凑法结合均值不等式即可求解.【详解】，当且仅当即即时等号成立，所以的最小值为4，故答案为：4.15.已知函数是上是减函数，则a的取值范围___________【答案】【解析】【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值.【详解】函数是上减函数， 所以，解得.故答案为：.【点睛】易错点睛：分段函数在上是单调函数，除了保证在各段内单调性一致，还要注意在接口处单调.16.对于任意实数，表示不小于的最小整数，如，定义在上的函数，若集合，则集合中所有元素的和为_______【答案】-4【解析】【分析】讨论，，三种情况，分别计算得到得到答案.【详解】当时：当时：，，当时：，，故，集合中所有元素的和为故答案为【点睛】本题考查了集合的元素和，分类讨论是一个常用的技巧，可以简化题目，易于计算.四､解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合，.（1）当时，求，；（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），（2） 【解析】【分析】（1）当时，求出，再根据集合的并集，交集的运算求解即可．（2）根据题意可得Ü，再求得，列出方程组求出的取值范围即可得答案．【小问1详解】解：当时，，，，．【小问2详解】解：是成立的充分不必要条件，Ü，，，，则，，经检验知，当时，，不合题意，实数的取值范围．18.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求出函数在上的解析式，并补出函数在轴右侧的图像；（2）①根据图像写出函数的单调递减区间；②若时函数的值域是，求的取值范围.【答案】（1），图象答案见解析；（2）①减区间为：和；② .【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求得解析式，根据对称性作出图象．（2）由图象的上升与下降得增减区间，解出方程的正数解，可得结论．【详解】（1）当，，则因为为奇函数，则，即时，所以，图象如下：（2）如图可知，减区间为：和，令∵∴故由图可知．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查图象的应用，由图象得单调区间，得函数值域．是我们学好数学的基本技能．19.已知函数. （1）求函数的定义域；（2）求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由根号下的式子为非负，解不等式即可得函数的定义域；（2）利用换元法和二次函数单调性即可求得函数的值域.【小问1详解】由题意可得，解得，所以函数的定义域为【小问2详解】易知；令，可得，所以，由二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减；所以，可得函数的值域为.20.已知定义在区间上两个函数和，，，，．（1）求函数的最大值： （2）若对于任意，总存在，使恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由二次函数图像性质，由对称轴与区间的关系，分别讨论、即可；（2）原命题恒成立等价于，为对勾函数，可得，由（1）的结论分类讨论即可【小问1详解】，开口向下，对称轴为，当，最大值；当，最大值∴【小问2详解】由题意，原命题恒成立等价于，为对勾函数，在单调递减，故；由（1）得，当，，符合当，，由得，，∴.综上，实数a的取值范围为21.随着经济的发展，人们越来越注重生活的品质，对产品提出了更高的要求．产品质量作为一个重要的因素，与价格共同对产品的销售量产生影响．某企业加大科研投入，提高产品质量，增加利润．去年其旗下一产品的年销售量为1万只，每只销售价为6元，成本为5元，今年计划投入科研，进行产品升级，预计年销售量P（万只）与投入科研经费x（万元）之间的函数关系为，且当投入科研经费为20万元时，销售量为1.5万只，现每只产品的销售价为“原销售价”与“ 年平均每只产品所占科研经费的倍”之和．（1）当投入科研经费为15万元时，要使得该产品年利润W不少于20万元，则的最小值是多少？（2）若，则当投入多少万元科研经费时，该产品可获最大年利润？最大年利润是多少？（，精确到0.1万元）【答案】（1）（2）当投入约9.2（万元）科研经费时，该产品可获最大年利润，最大年利润约为0.8万元．【解析】【分析】（1）根据已知条件，先求得，代入，可得销售量，根据年利润=销售价销售量产品成本投入科研经费，可构造不等式求得；（2）根据已知条件结合基本不等式的公式即可求解.【小问1详解】当投入科研经费为20万元时，销售量为1.5万只，，解得，∴，则当时，；∴现每只产品的销售价为，∴，解得：，即的最小值为．【小问2详解】由（1）知：∴；当时，现每只产品的销售价为，∴（当且仅当，即时取等号），所以当投入约9.2（万元）科研经费时，该产品可获最大年利润，最大年利润约为0.8万元． 22.给定函数．且用表示，较大者，记为．（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；（2）若函数的最小值为，试求实数的值．【答案】（1），；（2）或．【解析】【分析】由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.【详解】由题意，当时，，当时，，∴（1）当时，，∴当时，，此时，当时，，此时，. （2），且对称轴分别为，①当时，即时，在单调递减，单调递增；，即，（舍去），②当，即时，在单调递减，单调递增；，有，故此时无解.③当，即时，在单调递减，单调递增；，即，（舍去）综上，得：或.