湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）

长郡中学2023年下学期高一期中考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，集合，，则图中阴影部分表示集合为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据Venn图表示的集合计算.【详解】由书已知，,，阴影部分集合为，故选：B.2.命题“，使得”的否定为（）A.，B.，使得C.，D.，使得【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词命题的否定形式，改量词、否结论即可判断出选项．【详解】由命题“，使得”，则命题的否定为“，”．故选：C．3.函数的图象大致为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，由，，故C错误，故选：A.4.如图，把直截面半径为的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为（单位：），面积为（单位：），则把表示为的函数的解析式为（）A.B.，C.D.，【答案】B【解析】【分析】根据题意建立函数关系即可.【详解】如图， 圆的直径，矩形的边.∵，∴由勾股定理，得，∴矩形的面积，又∵，∴故选：B.5.函数的图象如图所示，则函数的定义域、值域分别是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域和值域的定义，结合函数图象进行求解即可.【详解】自变量可取或内的任意值，∴定义域为或.函数值范围为或，即，∴值域为.故选：C.6.镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别 为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A.甲同学和乙同学B.丙同学和乙同学C.乙同学和甲同学D.丙同学和甲同学【答案】C【解析】【分析】判断出，，的大小关系即可得出答案.【详解】，．∵．∴．又∵，，∴．∴有．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.7.函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设，则，且，则函数可化为，所以函数的值域为.故选：A.8.已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，所以为定值，设，可得，又由，可得，解得或（舍去），所以，则方程，即，即，则关于的方程恰有两个实数根，即，即函数和有两个交点，设，则，即且，可得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以，且，当时，，要使得方程恰有两个实数根，可得，解得，即实数的取值范围为.故选：C.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有（）A.，B.“”是“”的充分不必要条件C.“”是“”的充要条件D.“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD 【解析】【分析】按x分类讨论去绝对值判断选项A；先求得不等式的解集再判断二者间的逻辑关系进而判断选项B；先将和化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项C；先将化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项D.【详解】选项A：当时，；当时，，故有，.判断正确；选项B：由，可得或，则由可得成立，但由不能得到.则“”是“”的充分不必要条件.判断正确；选项C：由可得且；由可得或；则“”是“”的充分不必要条件.判断错误；选项D：由可得，则“”是“”的必要不充分条件.判断正确.故选：ABD10.已知是奇函数，则（）A.B.在上单调递增C.的值域为D.的解集为【答案】ACD【解析】【分析】对于A：根据奇函数的定义分析求解；对于B：利用分离常数法结合指数函数单调性分析判断；对于B：根据指数函数值域结合不等式性质分析判断；对于D：根据的单调性分析求解.【详解】令，解得，可知的定义域为，因为是奇函数， 则，可得，故A正确；因为，可知在上单调递增，且在上恒成立，所以在上单调递减，故B错误；因为，则，即，可得所以的值域为，故C正确；因为均为正数，且在上单调递减，由，可得，解得，所以的解集为，故D正确；故选：ACD.11.若，，且，则下列说法正确的是（）A.有最大值B.有最大值2C.有最小值5D.有最小值【答案】AC【解析】【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，可得，所以有最大值，故B错误；对于选项C：，当且仅当，即时，等号成立，所以有最小值5，故C正确；对于选项D：因为，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D错误.故选：AC.12.已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.则（）A.B.是偶函数C.在上单调递减D.（注：）【答案】ACD【解析】【分析】求得的值判断选项A；利用函数奇偶性定义判断选项B；利用函数单调性定义判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】由对任意，总有，令，则，则，令，则，则有，故则是奇函数，故选项B判断错误；又由，可得，则，故选项A判断正确；设任意，，则，又，则，则，则在上单调递减.故选项C判断正确；，又由，可得则故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.集合，，，则符合条件的集合C的个数为__________.【答案】7【解析】【分析】根据，列举求解.【详解】解：因为集合，，且，所以集合C为：， 故答案为：714.若关于的不等式对恒成立，则实数的范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，分离参数可得在恒成立，结合基本不等式即可得到结果.【详解】要使不等式对恒成立，即在恒成立，因为，当且仅当时，即时取等号，所以，即实数的范围是.故答案为：15.已知，且，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式即可.【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立，令，则上式为：，即，解得或（舍），所以的取值范围为.故答案为：.16.已知函数若存在实数，使得方程有4个不同实根且，则的取值范围是_________；的值为__________. 【答案】①.②.##【解析】【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；是方程的两根，则可求得，即，，是方程的两个根，化简结合韦达定理得，进而可求的值.【详解】由，即由结合图象可知的取值范围是，是方程的两根，即，故，即，由题意得，是方程的两个根，即方程的两个根，所以，则 故答案：，.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）计算：；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）23【解析】【分析】（1）进行指数式运算可得；（2）将两边同时平方可得到的值，再将平方可求出的值，再用立方和公式将分解，代入、的值，即可求出的值.【详解】（1）原式.（2）因，所以，得.所以，得.所以，所以.18.已知全集为，集合，.（1）若，求；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或 【解析】【分析】（1）解分式不等式得集合，再根据补集与交集的运算即可得；（2）由题意知，所以∅或∅，求出取值范围.【小问1详解】若，则，由，解得，则，则，则.【小问2详解】由题意知，当，即时，∅，符合题意；当，即时，∅，要满足，可得，解得，综上，实数的取值范围为或.19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义奇函数特征，，求出的值，又，求出的值，得到的解析式，并检验.（2）利用定义法证明函数单调性.【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数，则，即有，且，则，解得，则函数的解析式：，，经检验，是奇函数.【小问2详解】证明：设，则，由于，则，，即，又，则有，则在上是增函数.20.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)（1）写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）4千克，480元﹒【解析】【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式； （2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值即可．【小问1详解】依题意，又，∴．【小问2详解】当时，，开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为．当时，，当且仅当时，即时等号成立．∵，∴当时，．∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．21.我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.（1）求函数的对称中心；（2）函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）构造函数，由列方程组，从而求得对称中心.（2）先求得在区间上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得的取值范围.【小问1详解】假设的图象存在对称中心，则的图象关于原点中心对称，因为的定义域为，所以恒成立，即恒成立，所以，解得，所以的图象存在对称中心.【小问2详解】函数在区间上单调递减，其在区间上值域为，由题可知，，即对恒成立.由得或；即或对恒成立，所以或， 故的取值范围为.【点睛】判断一个函数是否是奇函数，首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后利用定义：，或来确定函数是否是奇函数.对于存在性、恒成立问题，可以转化为值域问题来进行求解.22.已知函数，.（1）若，写出函数在上的单调区间，并求在内的最小值；（2）设关于对的不等式的解集为，且，求实数的取值范围.【答案】（1）在区间和递减，在区间递增；最小值为（2）或【解析】【分析】（1）先求得的解析式，然后求得的单调区间，并求得最值.（2）对进行分类讨论，根据不等式的解集以及，列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】若，则在区间和递减，在区间递增；，，故在的最小值为. 【小问2详解】由题可知在区间恒成立，显然，且为上的奇函数，①当时，为上的增函数，此时恒有，符合题意；②当时，令得：，所以，解得：，或者（舍去）.（i）时，，，，又，所以，令，则，，所以当时，即时，恒成立，当时，只要，得，所以.（ii）时，，， ∴，∴，显然恒成立.综上所述，的取值范围为或.