吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一数学上学期期中考试试卷（Word版附解析）

2023—2024学年上学期东北师大附中数学科试卷高一年级期中考试本试卷共22道题，共3页，考试时长120分钟，满分为120分.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔境涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄坡，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题共48分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，，则（）A.B.C.D.或2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下列各组函数是同一函数的是（）A.与B.与C.与D.与4.下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（）A.任一无理数的平方是无理数B.至少有一个实数，使C.，D.，使 5.已知是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（）A.－B.C.－D.6.定义域为R的函数满足条件：①，恒有；②；③，则不等式的解集是（）A.B.C.D.7.下列结论不正确是（）A.当时，B.当时，的最小值是C.当时，的最小值是D.若，，且，则的最小值是8.若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错或不选得0分）9.下列四个命题中，正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（）A.B.在区间单调递减C.最小值为D.的最大值为211.下列命题为真命题的是（） A.若，，则B.若，则C.若，，则D.若，则函数的最小值是312.已知函数，下列说法正确的是（）A.B.函数的值域为C.函数的单调递增区间为D.设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是第Ⅱ卷（非选择题共72分）三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.不等式的解集是__________________.14.已知，则的值______.15.记号表示，中取较大的数，如.记函数，则函数的最小值是______.16.已知函数对任意，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为______.四、解答题（本題共6小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数的定义域为集合，集合.（1）当时，求；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.18已知，，.（1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值.19.已知二次函数.（1）令，若函数的图象与轴无交点，求实数的取值范围；（2）设函数，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.20.2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元，每生产1万部还需另投入20万元.若该科技公司一年内共生产该款电子产品万部并能全部销售完，平均每万部的销售收入为万元，且（1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.21.设，，函数.（1）若在上的最大值为，求的取值范围；（2）当时，若，不等式恒成立，求的最大值.22.已知函数，都是定义在上的函数，且，在上单调递增.在上单调递增，，且对，，都有.（1）求的解析式；（2）解不等式. 2023—2024学年上学期东北师大附中数学科试卷高一年级期中考试本试卷共22道题，共3页，考试时长120分钟，满分为120分.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔境涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄坡，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题共48分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，，则（）A.B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】由，解得或，所以或，因为，所以.故选：A.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】 【分析】根据不等式构成的集合，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式构成的集合为，不等式的构成的集合为，此时满足集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，所以时的必要不充分条件.故选：B.3.下列各组函数是同一函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】【分析】利用函数的概念判断.【详解】A.定义域为与定义域为R，故不是同一函数；B.定义域为R，定义域为，故不是同一函数；C.与，解析式不同，故不是同一函数；D.因为，，定义域都为R，解析式相同，故是同一函数.故选：D4.下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（）A.任一无理数的平方是无理数B.至少有一个实数，使C.，D.，使【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的定义排除BD，举反例排除A，根据二次函数的性质判断C即可.【详解】对A，任一无理数的平方是无理数为全称量词命题，但可举反例的平方为2是有理数，故A 错误；对B，“至少有一个实数”表明该命题为存在量词命题，故B错误；对C，“，”为全称量词命题，且根据二次函数的判别式可得该命题为真，故C正确；对D，“”表明该命题为存在量词命题，故D错误；故选：C5.已知是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（）A.－B.C.－D.【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b【详解】∵在[a-1，2a]上是偶函数∴有：b＝0，且a－1＝－2a∴a＝∴a＋b＝故选：B【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值6.定义域为R的函数满足条件：①，恒有；②；③，则不等式的解集是（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知，利用函数的单调性、奇偶性，分类讨论解不等式.【详解】因为，恒有， 所以在上恒成立，即在上单调递增，因为，所以，即是定义在R上的偶函数，所以函数在上单调递减，又，所以，对于不等式，当时，，可得；当时，，可得；综上，不等式的解集是.故选：A7.下列结论不正确的是（）A.当时，B.当时，的最小值是C.当时，的最小值是D.若，，且，则的最小值是【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式求最值成立的前提条件是“一正、二定，三相等”判断各选项即可．【详解】A.当时，，当且仅当，即时等号成立，A正确；B.当时，，当且仅当时等号成立，但无实解，故最小值2取不到，B错误； C.当时，，最小值显然不可能是正值，C错误；D.因为，，且，则，当且仅当，即时等号成立，D正确．故选：BC8.若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由二次函数的性质得到，再利用分离常数法与反比例函数的单调性得到在上恒成立，进而得到，从而得解.【详解】因为的对称轴为，开口向下，且在上为减函数，所以，因为，且在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，综上，.故选：B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错或不选得0分）9.下列四个命题中，正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】举反例排除AD，利用不等式的性质与作差法可判断BC，从而得解. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误；对于B，因为，所以，故，所以，故B正确；对于C，因为，则，，，则，所以，故C正确；对于D，取，满足，但，即不成立，故D错误.故选：BC.10.已知函数是奇函数，则下列选项正确有（）A.B.在区间单调递减C.的最小值为D.的最大值为2【答案】ABC【解析】【分析】利用函数是奇函数，可得，求出可判断A；利用函数的单调性即可依次判断B、C、D，从而得解.【详解】函数是奇函数，则，代入可得，经检验，当时，满足题意，故A正确；由A得，，对勾函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B正确；当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立； 所以，所以，所以，故C正确，D错误.故选：ABC11.下列命题为真命题的是（）A.若，，则B.若，则C.若，，则D.若，则函数的最小值是3【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式逐一判断各选项即可.【详解】对于A：，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故B正确；对于C：因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故D错误； 故选：ABC.12.已知函数，下列说法正确的是（）A.B.函数的值域为C.函数的单调递增区间为D.设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是【答案】BD【解析】【分析】根据分段函数解析式、值域、单调性、不等式恒成立等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，A选项错误.B选项，当时，；当时，，当且仅当时等号成立，所以函数的值域为，B选项正确.C选项，，所以C选项错误.D选项，不等式在上恒成立，画出的图象如下图所示，由，消去并化简得，由解得（负根舍去）.将代入得， 结合图象可知.故选：BD【点睛】分段函数就是将一个函数分成几段，在每段的解析式都不一样.需要注意的是，分段函数虽然在不同的区间内函数的解析式不同，但是分段函数是一个函数而不是多个函数，仍然是一个整体.一个分段函数可能涉及到多种类型的基本函数，增大考查的知识面，也是函数考查的常考题型.第Ⅱ卷（非选择题共72分）三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.不等式的解集是__________________.【答案】【解析】【分析】利用分式不等式的解法进行求解即可.【详解】，，解得，不等式的解集为.故答案为：.14.已知，则的值______.【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式求得正确答案.【详解】. 故答案为：15.记号表示，中取较大的数，如.记函数，则函数的最小值是______.【答案】【解析】【分析】分类讨论，与，结合函数定义及一次函数与二次函数的性质即可得解.【详解】当，即时，；当，即或时，，则在上单调递减，在上单调递增，又，；综上，，即最小值为.故答案为：.16.已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由及，可得函数为偶函数，根据函数的奇偶性与单调性解不等式即可.【详解】因为函数对任意的，有，，则，所以函数为偶函数，又函数在区间上单调递增，所以由，得， 即，则，解得，故答案为：.四、解答题（本題共6小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数的定义域为集合，集合.（1）当时，求；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出定义域，得到，进而计算出或，从而求出结果；（2）分与，根据条件列出不等式，即可求出的取值范围.【小问1详解】由，得到，所以，当时，，所以或，故或【小问2详解】因为是的充分不必要条件，故Ü，当时，此时，得到，满足题意，时，由，得到，综上，的取值范围为.18.已知，，. （1）若，求的最小值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，再利用基本不等式中“1”的妙用即可得解；（2）根据题意整理可得，结合基本不等式运算求解即可.【小问1详解】当时，则，即，又，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.【小问2详解】当，则，即，又，，所以，则，又，则，整理得：，解得或（舍去），当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.19.已知二次函数.（1）令，若函数的图象与轴无交点，求实数的取值范围； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二次函数图象的特征，得到判别式即可得解；（2）由给定条件可得在上的值域是在值域的子集，再结合二次函数与对勾函数的单调性即可得解.【小问1详解】因为，所以，又函数的图像与轴无交点，则一元二次方程无实根，所以，解得，所以实数的取值范围是.【小问2详解】因为“对任意的，总存在，使得”等价于“在上的值域是在值域的子集”，因为，开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，故，，所以在上的值域为，而对于，不妨取，则，因为，所以，所以，即，所以在上单调递减，又，， 则在上值域为，所以，则有，解得，所以实数的取值范围为.20.2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元，每生产1万部还需另投入20万元.若该科技公司一年内共生产该款电子产品万部并能全部销售完，平均每万部的销售收入为万元，且（1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）当产量为万部时，利润最大，最大利润为万元【解析】【分析】（1）利用销售收入减去成本，即可求得.（2）根据二次函数的性质、基本不等式求得正确答案.【小问1详解】依题意.【小问2详解】当时，开口向下，对称轴，万元.当时，万元，当且仅当时等号成立. 所以当产量为万部时，利润最大，最大利润为万元.21.设，，函数.（1）若在上的最大值为，求的取值范围；（2）当时，若，不等式恒成立，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性、最值求得的取值范围.（2）通过转换主参变量的方法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围，进而求得的最大值.【小问1详解】二次函数的开口向上，对称轴为，，关于直线的对称点为，由于在上的最大值为，则.【小问2详解】依题意，，，，不等式，对任意恒成立，即，对任意恒成立，整理得，对任意恒成立，整理得，对任意恒成立，由于，所以只需，即，解得，而，所以，所以的最大值为. 22.已知函数，都是定义在上的函数，且，在上单调递增.在上单调递增，，且对，，都有.（1）求的解析式；（2）解不等式.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用反证法，结合函数的单调性证得，从而得解；（2）利用赋值法证得是奇函数，从而将问题转化为解不等式，再分类讨论即可得解.【小问1详解】因为在上恒成立，则，假设存在，使得，因为在上单调递增，若，则，不满足题意；若，则，不满足题意；所以假设不成立，即，所以对任意，.【小问2详解】因为，令，则，所以，令，则，故，又是定义在上的函数，所以是奇函数，则，由（1）知，所以等价于，则，显然， 又在上单调递增，，则在上单调递增，，所以当时，，则，故；当时，，则，故；综上：或.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用反证法，结合单调性证得，从而得到，从而得解.