吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三数学上学期第一次摸底试题（Word版附解析）

2023-2024学年上学期东北师大附中（数学）科试卷高三年级第一次摸底考试注意事项：1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的运算，分析运算即可得解.【详解】解：由题意，，∴.故选：B.2.已知条件，条件，则是的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解不等式，解集分别为A，B，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由或，不妨设，或，不妨设，因为B真包含于A，所以推不出，能推出，所以是的必要不充分条件.故选：C3.方程的根所在区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将问题转化为零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求解即可.【详解】设，则方程根所在区间即为零点所在区间，与在上均为增函数，在上单调递增；对于A，，当时，，A错误；对于B，，，即，，使得，B正确；对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误.故选：B.4.函数在点处的切线斜率是（）A.B.2C.D.1【答案】A【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义求，即可得答案.【详解】由，则， 所以在点处的切线斜率为，故选：A.5.若，，，且，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊情形可判断ABC，根据不等式性质判断D.【详解】对A，当时，不成立，故A错误；对B，当时，不成立，故B错误；对C，当时，不成立，故C错误；对D，由，又，所以，故D正确.故选：D6.8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，位道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（）（参考数值：）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把两个信噪比代入，然后作商运算即可.【详解】由题意，，大约增加了， 故选：C7.下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别判断各函数的单调性和奇偶性即可.【详解】A选项，在R上单调递减，不合题意；B选项，，，当时，，单调递减，不合题意；C选项，，定义域为R，，函数为奇函数，由函数和都是R上的增函数，所以为R上的增函数，C选项正确；D选项，，当时，结合二次函数性质可知，函数单调递减，则单调递减，不合题意.故选：C.8.定义域为的函数的导函数记作，满足，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数，利用导数判断单调性，由单调性求解不等式即可.【详解】令，则，所以函数在上单调递增， 又，由可得，即，所以.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设，为正实数，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式以及其变形以及不等式性质一一判断各选项，即可得答案.【详解】对于A，，为正实数，则，故，即，故，A错误；对于B，由于，当且仅当即时取等号，，当且仅当即时取等号，故，B正确；对于C，因为，为正实数，，故，故，即，C正确；对于D，因为，为正实数，则，当且仅当时，等号成立，故，即，D错误， 故选：BC10.已知，下列说法正确的是（）A.时，B.若方程有两个根，则C.若直线与有两个交点，则或D.函数有3个零点【答案】ABD【解析】【分析】对A：分类讨论求解即可；对B：方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图得的取值范围；对C：直线是以为斜率且恒过的直线，结合的图象得到直线与有两个交点时斜率的范围；对D：分求解.【详解】对A：当时，，得满足题意；当时，，得不满足题意，故A正确.对B：作出的图象，方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图知，故B正确.对C：直线可化为，故直线是以为斜率且恒过的直线，如图，为过与两点的直线，其斜率为， 当位于时，直线与有两个交点，为过且与平行的直线，其斜率为，当位于时，直线与只有一个交点，为过的水平直线，其斜率为，当位于时，直线与只有一个交点，为过的竖直直线，其斜率不存在，当位于时，直线与只有一个交点，由图可知，要使直线与有两个交点，则位于之间或位于之间，故，所以，故C错误.对D：，即，所以或由得，由得进而得或，所以函数有3个零点，故D正确.故选：ABD11.已知，则下列不等关系正确是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】将看作的图象与直线交点的横坐标，数形结合可判断A，B；结合题意可推出，利用不等式性质可判断C；根据已知不等式的结构特征，构造函数，利用其单调性可判断D. 【详解】由可知，若，则，则不成立，又时，，故，又，则可看作的图象与直线交点的横坐标，作出与的图象如图，结合图象可知，故A错误，B正确；由，，得，故，C正确；令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，由于，故，即，故，D正确，故选：BCD12.已知函数的定义域为，并且对，都有，则下列说法正确的是（）A.的图象关于对称B.函数为偶函数C.D.若时，，则时，【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给性质，利用函数对称性判断AB，根据性质求出周期判断C，根据图象的对称性求解析式判断D.【详解】由可知函数关于直线轴对称，故A正确；由可得，又，所以，故函数为奇函数，故B错误；因为，所以，故为函数周期，又，所以，故C正确；由知函数关于成中心对称，当时，设为函数图象上任意一点，则在函数图象上，且，所以，即，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数在处的切线的方程为______.【答案】【解析】【分析】首先求出导函数，从而可求，再求出切点，利用点斜式即可求解.【详解】由，所以，所以，当时，则，所以在处的切线的方程为：，即.故答案为：【点睛】本题主要了导数的几何意义、基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题. 14.若在内存在极值，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为在内有变号零点，利用二次函数的性质求出a的取值范围．【详解】在内存在极值，则在内有变号零点，，，与同号，则有，解得，即实数的取值范围是.故答案：15.已知，，，则的最小值为__________．【答案】##4.5【解析】【分析】根据条件消去，再利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解即可.【详解】由可得，解得，又，所以，则，当且仅当，即时等号成立. 故答案为：16.不等式对都成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值.【详解】由可得，令，则，故在上单调递增，因为，，则，则，可得，即对恒成立，令，则，由可得，故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增,所以，得.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题将不等式变形为是解题的关键，这样就可以构造函数利用单调性求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.函数的定义域为，对于，，，且当时，．（1）证明：为减函数； （2）若，求不等式的解集．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义及当函数中时，的性质即可证明；（2）由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解.【小问1详解】设，且，则，，因为，所以，即为减函数.【小问2详解】因为，所以，令，则，即，所以，又因为在上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为. 18.已知各项均为正数的数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，两边同除从而得到，则得到其通项；（2）根据正弦型函数的周期性，再进行分组求和，最后利用等比数列前项和公式即可.【小问1详解】因为各项为正数，，所以上式两边同时除以，得，令，则，即，解得（负值舍去），所以，又，所以是以，的等比数列，故.【小问2详解】，当时，，当时，，当时，，当时，，根据三角函数周期性知的周期为4，则 19.吉林省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人），该校为了解高一年级学生对物理、历史的选科情况，采用比例分配的分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，其中选择历史的男生有40人，选择物理的女生有30人．（1）利用以上信息完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与选择科目有关？性别选择物理选择历史总计男生女生总计（2）某个外语学习小组共有7人，其中有3人选择了历史，4人选择了物理，随机抽取4人进行对话练习，用表示抽中的4人中，选择历史的同学人数，求的分布列及期望．附：，其中0.1000.0500.02500100.00500012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析；能认为学生性别与选择科目有关（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样得到抽取男生和女生的人数，进而得到列联表，求出的值比较即可；（2）根据排列组合的知识求出各值时的概率即可，写出分布列，求出期望即可. 【小问1详解】根据采用比例分配的分层抽样得其中抽取男生的人数为人，则抽取女生人数为人，则列联表如下：性别选择物理选择历史总计男生7040110女生306090总计100100200则，能认为学生性别与选择科目有关；【小问2详解】可能取值为，，，，，，则的分布列如：.20.长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）． （1）求证：；（2）点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）由已知条件，先证明，再利用平面平面，可证平面，得到，又，可得平面，从而可证；（2）由题意，建立空间直角坐标系，由向量法求出平面和平面的法向量，进而求出点坐标，确定点位置，求出四棱锥的体积.【小问1详解】证明：在长方形中，，为中点，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，平面，.小问2详解】如图，取的中点，的中点，连接，由题意可得两两互相垂直， 以为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，设平面的一个法向量为，则，，令，得，，又平面，是平面的一个法向量，，令，解得或（舍）.即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为，平面，且，到平面的距离为，又四边形的面积为3，四棱锥的体积21.椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；（2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可.【小问1详解】因为该椭圆的离心率为，所以有，在方程中，令，解得，因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，所以有，由可得：，所以椭圆的方程为；【小问2详解】当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，于是有，因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，化简，得，设，于是有，因为，所以，代入中，得， 于是有，化简，得，代入中，得.【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式得到.22.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数，求证：当时，．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，由正负确定单调性；（2）通过分析法将所证不等式转化为；当，由可知不等式成立；当 时，采用放缩法将所证不等式转化为，构造函数，利用导数，结合零点存在定理的知识，可求得单调性和最小值，由此可得结论.【小问1详解】由题意知：的定义域为，；①当时，在上恒成立，在上单调递增；②当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增；在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.【小问2详解】要证，只需证，又，，则只需证；①当时，，，恒成立；②当时，，，，则只需证，即证，令，则， 令，则，令，则，在上单调递增，即在上单调递增，，，，使得，且当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，，又，当时，，即；当时，，即；在上单调递减，在上单调递增，，即；综上所述：当时，恒成立，即.【点睛】关键点点睛：本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够通过分析法将所证不等式进行转化，再利用放缩法去除变量，将问题进一步转化为函数最值的求解问题.