安徽省桐城中学2023-2024学年高一数学上学期第一次教学质量检测试题（Word版附解析）

安徽省桐城中学2023-2024学年度上学期高一数学第一次教学质量检测（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合B，再利用并集运算求解.【详解】，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.若集合，，则集合中的元素个数为A.9B.6C.4D.3【答案】D【解析】【详解】的数对共9对，其中满足，所以集合中的元素个数共3个．3.设命题，则命题p的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合含有一个量词的命题否定，即可求解. 【详解】根据题意，易知命题p的否定为，.故选：C.4.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A.–4B.–2C.2D.4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数，，满足，． ，当且仅当时取等号，此时．，当且仅当时取等号，即的最大值是1．故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.6.已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据逆否命题的等价性先判断是充分不必要条件即可得到结论【详解】解：，，都是，则当，都是时，满足，反之当，时，满足，但，都是不成立，即是充分不必要条件，则根据逆否命题的等价性知是的充分不必要条件，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性先判断是充分不必要条件是解决本题的关键．7.设:,:,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是(   )A.B.C.D.【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由非是非的必要而不充分条件，可知是的必要而不充分条件，即是充分而不必要条件，解不等式，得，解不等式得，由题意知是的真子集，所以，即，故选A.考点：1、绝对值不等式；2、一元二次不等式；3、充分条件，必要条件.8.设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（）个.A.0B.2C.4D.6【答案】D【解析】【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．【详解】若不是孤立元，.设另一元素为，假设，此时，不合题意，故.据此分析满足条件的集合为，共有6个.故选：D二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（）A.B.C.D.【答案】ABCD【解析】【分析】结合Venn图，利用充分条件和必要条件的定义，对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确；对于B，如下Venn图， 若，则，若，则，故正确；选项C中，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确；选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故，故互为充要条件，故正确.故选：ABCD.10.下列命题中，是假命题的是（）．A.B.，，使得C.“”是“”的充要条件D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据命题的概念及不等式的性质直接判断.【详解】对于A选项，恒成立，所以A不正确；对于B选项，当时，不存在使得成立，所以B不正确；对于C选项，由可得，反之不成立，所以C不正确；对于D选项，若，则，可得，则，所以D正确．故选：ABC．11.若x，y满足，则（）A.B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．12.在中，三边长分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质，由三角形的性质，可判断A正确；利用基本不等式，可判断BC正确；由特殊值法，可判断D错. 【详解】A选项，因为，，为三角形三边，所以，则，即，故A正确；B选项，根据三角形的性质可得，，则，当且仅当时，等号成立；因此，故B错；C选项，，当且仅当，即时，等号成立，此时不满足三角形性质，故，即C正确；D选项，若，则能构成三角形，且满足，但此时，即D错；故选：ABC.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.用列举法表示集合______.【答案】【解析】【分析】根据所对应集合中元素的特点，判断出的取值，然后根据列举法得到集合.【详解】∵，，∴.此时，即.【点睛】本题考查利用列举法表示集合，难度较易.注意列举法表示集合很直观、灵活、简便，但不适用于元素多的集合.14.“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 ______．【答案】20【解析】【分析】由三元容斥原理求解即可.【详解】首先设是会打乒乓球的教师，是会打羽毛球球的教师，是会打蓝球的教师，根据题意得，，，，，再使用三元容斥原理得：，有，而中把的区域计算了3次，于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.故答案为：20.15.已知，，且，则最小值为__________．【答案】【解析】【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】，结合可知原式，且 ，当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16.若正实数x，y满足，则的最大值是________最小值是________．【答案】①.4；②.1.【解析】【分析】由基本不等式可得再利用换元法解不等式可得答案.【详解】因为x，y是正实数，所以，当x=y时取等号，令，则有，解得故最大值为，最小值是1.故答案为：①4；②1.四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合； （2）利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（3）分和两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则；（2）由知，解得，即的取值范围是；（3）由得①若，即时，符合题意；②若，即时，需或．得或，即．综上知，即实数的取值范围为．【点睛】易错点睛：在求解本题第（3）问时，容易忽略的情况，从而导致求解错误.18.已知命题：“，不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值范围；（2）若：是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先进行分离参数得，根据恒成立的条件只需满足，然后利用二次函数的性质求出，即可求出参数的取值范围.（2）首先求出中满足的取值范围，然后根据充分不必要条件确定与的推导关系，最后利用推导关系求出参数的取值范围. 【小问1详解】由题意在恒成立，所以，因为，所以，即，所以，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由得：，已知是的充分不必要条件，即，但，得是的真子集，所以，即所以实数的取值范围是.19.（1）已知，且，求的最小值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）4；（2）4【解析】【分析】（1）用将化简，利用基本不等式即可求出最小值.（2）两次应用基本不等式.【详解】（1）因为，所以原式，当且仅当，即时，等号成立故的最小值为4.（2）因，所以， 当且仅当，即时，取得等号.20.如图，将宽和长都分别为x，的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形，求y关于x的函数解析式；当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．【答案】(1)；(2)当且仅当，时，外接圆面积最小，且最小值为.【解析】【分析】根据几何图形的面积即可得到函数的解析式，并求出函数的定义域，设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知，利用基本不等式求出d的最小值，可得半径最小值，则正十字形的外接圆面积最小值可求．【详解】由题意可得：，则，，，解得． 关于x的解析式为；设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知，当且仅当，时，正十字形的外接圆直径d最小，最小为，则半径最小值为，正十字形的外接圆面积最小值为．【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用基本不等式在最值问题中的运用，其中解答中认真审题，求得函数的关系式，合理利用基本不等式求解最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．21.设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集．（1）当时，写出集合A的生成集B；（2）若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．【答案】（1）；（2）4；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；（3）假设存在集合，可得，，，，然后结合条件说明即得.【小问1详解】因为，所以，所以； 【小问2详解】设，不妨设，因为，所以中元素个数大于等于4个，又，则，此时中元素个数等于4个，所以生成集B中元素个数的最小值为4；【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集，不妨设，则集合A生成集由组成，又，所以，若，又，则，故，若，又，则，故，所以，又，则，而，所以不成立，所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.22.已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元.据评估，当待岗员工人数不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗? 【答案】16名【解析】【分析】根据题设列出企业年利润为万元关于待岗员工人数的分段函数形式，注意定义域，再由基本不等式、一次函数性质求对应区间上的最大值，并确定待岗员工人数.【详解】设重组后，该企业年利润为万元.当待岗人员不超过时，由且，则；当待岗人员超过且不超过时，由，得，则，综上，且，当且时，有，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，为；当且时，函数为减函数.所以.综上，当时有最大值8840.64万元，即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗.