安徽省芜湖市繁昌皖江中学2023-2024学年高一数学上学期第一次阶段性检测试题（Word版附解析）

皖江中学2023～2024学年高二第一学期第一次阶段性检测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（）A.6B.12C.8D.16【答案】D【解析】【分析】利用标准方程可求得，再根据长轴定义即可求出结果.【详解】根据椭圆标准方程可知，解得；所以该椭圆的长轴长为.故选：D2.已知直线的一个方向向量，且直线经过和两点，则（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】A【解析】【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可.【详解】因为，直线的一个方向向量为，所以有向量与向量为共线，所以，解得，，所以，故选：A. 3.已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的标准方程列不等式求解.【详解】由题意知，，解得，所以实数m的取值范围是.故选：D.4.两平行直线：，：之间的距离为（）A.B.3C.D.【答案】A【解析】【分析】利用两平行直线之间的距离公式求解即可．【详解】由题意得：直线，，，，两直线为平行直线，直线，两平行直线之间的距离为．故选：A5.在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间向量加法与减法的运算法则求解即可.【详解】．故选：C．6.如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q两点．若，，，则椭圆C的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的定义及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程【详解】设，有，由可知，又由椭圆的定义有， 可得，解得，可得，，，故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.7.已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（）A.5B.C.7D.8【答案】C【解析】【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论．【详解】记双曲线的右焦点为，所以，当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．故选：C．8.已知直线与圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，则实数b的所有取值之积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先设出点的坐标，然后联立直线方程与圆的方程，结合韦达定理求得的值即可．【详解】解：设，，，， 联立直线方程与圆的方程可得：，则，由于，故，所以，即，即，所以.故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆的标准方程可能为（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由题设写出椭圆参数值，再讨论焦点的位置确定椭圆方程即可.【详解】由题意，有，，，∴椭圆的标准方程可能为或.故选：BD.10.已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（）A.B.0C.1D.2【答案】BC【解析】【分析】由，可得，即可得出答案. 【详解】解：因为，所以，解得或1．故选：BC.11.已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（）A.过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点B.点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上C.若直线、的斜率分别为、，则D.过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为【答案】BC【解析】【分析】根据直线与双曲线的位置关系可判断出A选项；求出点关于双曲线的渐近线的对称点的坐标，再将点的坐标带入双曲线的方程，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；求出当直线的斜率为时的值，可判断D选项.【详解】对于A选项，过点垂直于轴的直线、平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，所以至少有条，故A错误；对于B选项，易得，双曲线的一条渐近线方程为，设点关于的对称点为，则，解得，所以，又，即点在双曲线上，故B正确；设，所以，即，所以，故C正确； 当直线的斜率为时，，故D错误．故选：BC.12.如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则（）A.当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值B.存在这样的点，使得C.当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为D.当时，点的轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A，由点P到侧面的距离为定值即可判断；对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断；对于选项C，分当点P在侧面，侧面上时以及当点P在上底面上时，和点P在侧面，上时三种情况分类讨论即可判断；对于选项D，分当P在底面ABCD上时和点在侧面上时分类讨论即可判断.【详解】对于选项A，由点P到侧面的距离相等，故四棱锥的体积为定值，故A选项正确；对于选项B，因为，而，，因此点P是的中点，所以这样的点P不在正方体的表面上，故B选项错误；对于选项C，①当点P在侧面，侧面上时（不包括正方形的边界），过点P作 平面的垂线，垂足为H，连AH，在中，由，可得；②当点P在上底面上时，过点P作平面的垂线，垂足为M，若，必有，又由，有，，此时点P的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为；③当点P在侧面，上时，点P在线段，上符合题意，此时点P的轨迹长为；由上知点P的轨迹长度为，故C选项正确；对于选项D，①当P在底面ABCD上时，点P的轨迹为以A为圆心，为半径的圆与底面ABCD的交线，记圆与相交于点，与交于点，有，可得，，则点的轨迹与底面的交线长为；②当点在侧面上时，，可得点轨迹与侧面的交线为以点为圆心，为半径的四分之一圆，交线长为．由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确．故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________.【答案】 【解析】【分析】首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可.【详解】因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为，又因为点B的坐标为，所以．故答案为：.14.已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程.【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为，所以，故该双曲线的渐近线方程为.故答案为：15.直线的倾斜角的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】首先求直线的斜率，分和两种情况，结合基本不等式，求斜率的取值范围，可得倾斜角的取值范围.【详解】直线的斜率为，①当时，；②当时，，可得且． 由①②，有，可得直线的倾斜角的取值范围是．16.在平面直角坐标系中，轴被圆心为的圆截得的弦长为，直线：与圆相交于，两点，点在直线上，且，那么圆的方程为________，的取值范围为_________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据圆的垂径定理、直线与圆相交的性质，结合等腰三角形的性质进行求解即可.【详解】设圆标准方程为，因为轴被圆心为圆截得的弦长为，所以，可得，所以圆方程为；由直线与圆相交，有，解得或．由，，可得直线与直线垂直，有，有，解得，可得，又由或，，或，由反比例函数的性质可得或，所以的取值范围为，故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用等腰三角形的性质、反比例函数的性质.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知直线经过直线与的交点.（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）由题意求出交点P的坐标，利用两直线垂直求出的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）根据题意设直线方程，分别求出直线与坐标轴的截距，列方程，解之即可求解.【小问1详解】由解得即.因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即；【小问2详解】显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，令，解得，令，解得，所以，解得或，所以直线的方程为或.18.已知圆：，圆：. （1）证明：圆与圆相交；（2）若圆与圆相交于A，B两点，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）写出两圆的标准方程，进而确定圆心坐标、半径，判断圆心距离与两圆半径之间的关系即可证结论.（2）根据（1）的结论，将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系求即可.【小问1详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为2，圆的标准方程为，圆心为，半径为，∴圆和圆的圆心之间的距离为，由，可知：圆和圆相交，得证.【小问2详解】由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为，圆的圆心到直线AB的距离为，∴.19.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）由题设，设，应用数量积的坐标表示及椭圆的有界性求范围；（2）由椭圆定义及余弦定理求得，利用三角形面积公式求面积即可.【小问1详解】由题设，则，设，故，所以，又，且，则.【小问2详解】由题设，，由，且，所以，综上，.20.如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，． （1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，根据题意，证得，，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；（2）由（1）和等腰可知，，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接，在直角中，由，且为的中点，可得，因为，，所以，且，又因为，，，可得，所以，因为，，且平面，，所以平面.【小问2详解】解：由（1）和等腰可知，，，两两垂直，以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示可得，，，，，则，又由，可得点的坐标为，设平面的法向量为， 由，，则，取，可得，，所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为，由，，则，取，可得，，所以平面的一个法向量为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21.已知双曲线的渐近线方程为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2），或或.【解析】 【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案；（2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方程联立得线段中点为，再结合题意得，进而再分和两种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点，所以，，解得所以，双曲线的标准方程为【小问2详解】解：由（1）知双曲线的右焦点为，当直线的斜率不存在时，方程为，此时，，所以，直线的斜率存在，设方程为，所以，联立方程得所以，且，所以， 设，则所以，所以，线段中点为，因为，所以，点在线段的中垂线上，所以，所以，当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意；当时，，所以，，整理得，解得或，满足.综上，直线方程为，或或.22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据短轴长和离心率得到，，，得到椭圆方程.（2）确定各点坐标，设点P的坐标为，，计算各直线的方程，得到的横坐标， 作差为0得到证明.【小问1详解】设椭圆C的焦距为2c，由题意有：，解得，，，故椭圆C的标准方程为.【小问2详解】点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，设点P的坐标为，，有，可得，直线BD的方程为，整理为；直线AD的方程为，整理为；直线AP的方程为；联立方程，解得，M的横坐标为，直线BP的方程为，联立方程，解得：，N的横坐标为，， 故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直.