安徽省芜湖市第二中学2023-2024学年高二数学上学期开学评价试题（Word版附解析）

高二入学学情评价数学第Ⅰ部分（选择题，共36分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出的结果.【详解】因为，所以，所以，所以又因为，所以，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零）.2.命题“，使.”的否定形式是（）A.“，使”B.“，使”C.“，使”D.“，使”【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，使”的否定形式为：，使．故选：D． 3.已知复数,则的共轭复数A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数.【详解】因为，所以，所以的共轭复数故选A项.【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.4.下列各组函数中表示同一个函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项B：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项C：的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，不是同一个函数；对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数； 故选：D.【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.5.已知函数，则的图象大致为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据特殊值的函数值符号排除A、C，利用函数的单调性判断B、D.【详解】因为，所以A错误；因为，所以C错误；因为，所以D错误；排除了ACD，而B选项中的图像又满足上述性质，故B正确.故选：B6.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数诱导公式及二倍角公式进行化简计算.【详解】 .故选：A【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.7.2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示，根据折线图，下列结论正确的个数为（　　）①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额，变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据折线图的数据得到结果.详解】2011-2012年,营收额减少,故①错误;由折线图可知营收额增长最快的一年为2013-2014年,故②正确;,故③正确;经过计算,得2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳,故④正确.即②③④正确.故选：C.8.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（　　）A.1：3B.3：1C.2：3D.3：2 【答案】D【解析】【分析】设圆柱的底面半径为，利用圆柱侧面积公式与球的表面积公式建立关系式，算出球的半径，再利用圆柱与球的体积公式加以计算，可得所求体积之比．【详解】设圆柱的底面半径为，轴截面正方形边长，则，可得圆柱的侧面积，再设与圆柱表面积相等的球半径为，则球的表面积，解得，因此圆柱的体积为，球的体积为，因此圆柱的体积与球的体积之比为．故选D．【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积和体积公式，以及球的表面积和体积公式的应用，其中解答中熟记公式，合理计算半径之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）9.已知，，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】A、B、D选项可直接利用基本不等式判断是否正确，C选项可通过基本不等式进行计算并判断出是否正确.【详解】A．因为，所以，所以，取等号时，故正确；B．因为，取等号时，故正确；C．因为，取等号时，故错误；D．因为，所以，取等号时，故正确.故选：ABD 【点睛】本题考查基本不等式链的简单运用，难度一般.当时，，当且仅当时取等号.10.如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的是（　　）A.++B.（）·C.（+）·=·+·D.|+|=|+|【答案】BC【解析】【分析】由平面向量的运算对选项逐一判断．【详解】对于A，，故A错误，对于B，，而，而，故B正确，对于C，由平面向量数量积的运算律知C正确，对于D，，而，，故D错误，故选：BC11.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（　　） A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1【答案】AD【解析】【分析】A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误，∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误，其余选项正确.【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1CD∥平面A1ABB1，所以D1C∥平面A1ABB1，所以A选项正确；A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误；∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误；因为BC⊥平面A1ABB1，BC包含于平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D选项正确.故选：AD12.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象最小正周期为C.函数的图象在上单调递增D.函数的图象关于直线对称【答案】AC【解析】 【分析】先根据函数图像的变换求得的解析式，再求其函数性质即可.【详解】由题可知，.因为，故正确；因为的周期为，故错误；因为，故可得，故正确；因为正切函数不是轴对称函数，故错误.故选：AC.【点睛】本题考查函数图像的变换以及正切型函数的性质，属综合基础题.三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.将答案填在题中的横线上）13.函数的定义域是____________．【答案】【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据两向量夹角为钝角列不等式，求解的取值范围即可.【详解】因为与的夹角为钝角，所以，解得且，即实数的取值范围是. 故答案为：15.从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中，任取两张，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为________．【答案】【解析】【分析】基本事件总数n，利用列举法求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有4种情况，由此能求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率．【详解】从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中，任取两张，基本事件总数n，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4种情况，∴这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为p．故答案为．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式______；将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则______.【答案】①.②.1【解析】【分析】由图象可得函数的最小正周期，进而得出的解析式；利用平移求出函数，代值计算可得答案． 【详解】设函数的最小正周期为，由图知，解得，所以，因为函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则，因为，所以.故答案为：；1.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查周期的求法，考查图象的平移，属于中档题．四、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.已知函数，.（1）判定函数在的单调性，并用定义证明；（2）若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增,证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）先根据求得的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可.（2）构造函数.根据（1）中函数单调性,结合的单调性,可判断的单调性,求得最小值后即可求得的取值范围.【详解】（1）函数,代入可得,则所以函数在上单调递增.证明:任取满足,则 因为,则所以,即所以函数在上单调递增.（2）若在恒成立则,令由（1）可知在上单调递增,在上单调递增所以在上单调递增所以所以即可满足在恒成立即的取值范围为【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.18.某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示. （1）估计在这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率.【答案】（1）30（2）平均数为54；中位数55（3）.【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得样本的平均数，根据中位数的定义可求得样本的中位数；（3）计算出抽取的人中，位于的有人，记为，数学成绩位于的有人，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为.所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为.【小问2详解】40名读书者年龄的平均数为.设40名读书者年龄的中位数为，则，解得：，即40名读书者年龄的中位数为55岁.【小问3详解】 由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有2人，分别记为，年龄在区间上的读书者有4人，分别记为.从上述6人中选出2人，则有，共种情况；其中恰有人在的情况有，共种情况；所以恰有人在的概率.19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，．（1）求的值；（2）若，求b的值．【答案】（1）##0.75（2）【解析】【分析】在第1问中，由和对原式化简即可.在第2问中，由面积公式可求，进而根据条件可求出.【小问1详解】在中，由三角形面积公式得，由余弦定理得：．因为，所以，整理可得．又，所以，故，所以．【小问2详解】 ，且，．，，解得．因为，所以．20.已知向量满足.（1）求关于的解析式；（2）求向量与夹角的最大值;（3）若与平行，且方向相同，试求的值.【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）由，根据向量的数量积的运算公式，求得，即可求解；（2）设向量与的夹角为，得到，结合基本不等式，即可求解；（3）根据题意，得到，结合向量的数量积，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由题意知，可得，因为，所以，所以，所以；【小问2详解】设向量与的夹角为，则，因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，又因为，所以的最大值为；【小问3详解】解：由向量与平行，且方向相同，且，所以，所以，可得，解得或.21.如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，AC与BD交于点O，，，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)﹒【解析】【分析】(1)证面面垂直只需证一个平面内有一条直线和另一个平面垂直(2)通过作图需找二面角的平面角即可【详解】（1）证明：由平面ABCD，有;由四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD：又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，（2）过O作于E，连结BE，由（1）知平面，所以， 又因为，，所以平面BDE，从而；由，，所以∠OEB为二面角平面角.由为等边三角形且O为BD中点，有，，，由，有，由，有，从而.在中，，所以，即.综上，二面角的大小为﹒【点睛】面面垂直可通过线面垂直进行证明，二面角的平面角有正有负，解题时要注意结合题设关系进行正确判断