安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高一数学上学期第一次阶段性检测试题（Word版附解析）

2023-2024学年安徽省安庆一中高一年级上册数学第一次阶段性检测（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.若关于x的不等式的解集是或，则（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】利用根与系数关系求得，进而求得.【详解】依题意，关于x的不等式的解集是或，所以关于x方程的根为或，所以，所以.故选：A2.已知集合，，则（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】解不等式得到，或，求出交集.【详解】，等价于，解得或，故或，所以.故选：B 3.设，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求解一元二次不等式，再由集合的包含关系得出结果.【详解】设，或，所以Ü，所以是的充分不必要条件.故选：A.4.命题“，是奇函数”的否定是（）A.，是偶函数B.，不是奇函数C.，是偶函数D.，不是奇函数【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“，是奇函数”的否定是：，不是奇函数.故选：B.5.已知，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令求，再利用不等式的性质求的取值范围.【详解】令，∴，即， ∴，故.故选：D6.若a，R，记，则函数(R)的最大值为（）A.0B.C.1D.3【答案】C【解析】【分析】根据题意作出函数的图象，进而求出函数的最大值.【详解】比较函数与函数值的大小，取较小值，得到如图所示的图像：当时，令，则解得，；当时，令，则，解得，所以函数与的交点坐标为，，由图可知时，函数有最大值1.故选：C.7.已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题知当时，，进而结合递推即可得当时，．【详解】解：当时，，易知当时，，因为，所以，所以当时，；当时，，综上，当时，．故选：D．8.已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】确定函数单调递减，计算，题目变换为，即，解得答案.【详解】取，则，即，故在上单调递减，，解得，从而，即，则，解得 所以原不等式的解集是．故选：D.二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已知，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误.【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误；对于B，显然，则，则，故B正确；对于C，因为，所以，所以，同理可得，即，故C正确；对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误．故选：BC10.“方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】求出“方程没有实数根”时，实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若方程没有实数根，则，解得，因为Ý，Ü，Ü， ，所以，“方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是、，故选：BC.11.已知函数为R上的单调函数，则实数的取值可以是（）A.B.C.D.4【答案】AC【解析】【分析】由已知在上单调，讨论，并确定的可能范围，结合一次函数性质，分段函数的单调性列不等式求的范围.【详解】因为函数为R上单调函数，所以函数在上单调，当时，在单调递增，又在上单调递减，与已知矛盾；当时，由函数在上单调，可得，且函数在上单调递增，所以函数为R上的单调递增函数，所以，所以，故选：AC.12.下列说法正确的是（）A.函数的定义域可以是空集B.函数图像与y轴最多有一个交点C.函数的单调递增区间是D.若，则定义域、值域分别是， 【答案】BD【解析】【分析】根据函数的概念、单调性、定义域与值域，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，函数的定义域为非空数集，不能为空集，A错误；对于B，由函数的定义，函数的图像与直线（轴）最多有一个交点，B正确；对于C，函数的单调递增区间是和，C错误；对于D，若，则定义域满足，解得，即函数定义域为，又，，所以，即函数的值域为，D正确；故选：BD．三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.已知，则____________.【答案】【解析】【分析】利用换元法，令，则，然后代入即可求解.【详解】令，则，，所以，，所以，故答案为：14.若的定义域为，则函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】结合抽象函数定义域的求法可得答案. 【详解】由已知可得，解得，则函数的定义域为,故答案为：,15.设,则的最大值为________．【答案】【解析】【详解】由两边同时加上得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），从而有（当且仅当,即时，“=”成立）故填：.考点：基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.16.若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=，则（1）是E的第____个子集；（2）E的第211个子集是_______【答案】5，【解析】【详解】（1）由题意新定义知，中，，，故第一空应填5；（2）因为，所以E的第211个子集包含，此时211-128=83；又因为，，所以E的第211个子集包含，此时83-64=19；又因为，，所以E的第211个子集包含，此时19-16=3；又因为，，所以E的第211个子集包含， 此时3-2=1；因为，所以E的第211个子集包含；故E的第211个子集是．故第二空应填．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将代入，求出集合，，再根据并集的定义求解即可；（2）根据题意，列出不等式组求解即可.【小问1详解】解：当时，，所以或，所以或=或；【小问2详解】解：因为，当，即，时，因为，不满足题意；当时，则有，解得；综上所述，实数m取值范围为. 18.已知（1）函数的值域；（2）用定义证明在区间上是增函数；（3）求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）最大值，最小值【解析】【分析】（1）对函数化简变形后利用分式的性质可求得答案，（2）任取，，且，然后作差变形，判断符号，从而可证得结论，（3）由在上递增，可求得其最值.【小问1详解】由题意，函数，因为，所以，所以的值域为．【小问2详解】任取，，且，则，，，，，即，故函数在区间上是增函数．【小问3详解】由知函数在区间上是增函数， ，．19.某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔t满足：，其中．（1）求，并说明的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．【答案】（1），的实际意义为发车时间间隔为5分钟时，载客量为35（2）当发车时间间隔为5分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元【解析】【分析】（1）代入计算，实际意义即题设中的说明；（2）求出净收益函数，分段说明函数的单调性得最小值，比较后即得结论．【小问1详解】．实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．小问2详解】，∴当，，，对，，设，，，，，在上是增函数，因此是减函数， ∴t＝5时，y的最大值为．当，时，，该函数在区间上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值18.8．综上，当发车时间间隔为5分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元．20.设函数最小值为.（1）求的值；（2）若，，为正实数，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，先求出的分段函数，画出函数图象，结合图象进行分类讨论，即可得出结果；（2）根据已知条件，结合基本不等式求解即可.【小问1详解】，画出函数的图象，如下图： 当时，，当时，，当时，，所以当时，取最小值.【小问2详解】由（1）可知，因为，，为正实数，则当且仅当，即，，时取等号，所以的最小值为.21.已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．（1）分别求函数和的解析式；（2）设，，求的最小值．【答案】（1），；（2）． 【解析】【分析】（1）通过构造方程组的方法求得，设，根据已知条件可得的解析式；（2）求出，分、、讨论可得答案.【小问1详解】定义在上的函数满足①，可得②，由①②可得；设二次函数，因为的最小值为，且，所以，解得，可得；【小问2详解】，当时，在上单调递增，所以，当时，在上单调递减，所以，当时，所以， 所以．22.1.若函数f（x）满足：存在整数m，n，使得关于x的不等式的解集恰为[m，n]，则称函数f（x）为P函数．（1）判断函数是否为P函数，并说明理由；（2）是否存在实数a使得函数为P函数，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）不是P函数，理由见解析（2）存在，a=1【解析】【分析】（1）先根据函数特征为第一象限的双曲线的一支，且m，n为整数，得出，mn＞1，再根据函数单调性，得出mn＝1，推出矛盾，从而作出判断；（2）由二次函数的图象特点可知，要想函数为P函数，整数m，n是方程的两个根，且，从而得到m（1－n）＝1，从而得到m，n的值，a的值【小问1详解】函数不是P函数，理由如下：因为m，n为整数，由题意可知，即mn＞1，令，即，解得，若函数为P函数，则，即mn＝1，而mn＞1，所以不存在这样的m，n，所以函数不P函数；【小问2详解】 因为关于x的不等式的解集恰为[m，n]所以，即将①代入③得，m（1－n）＝1又m，n为整数，m＜n，所以，解得，此时a＝1，满足题意，综上所述，存在实数a使得函数为P函数，a＝1