安徽省南陵中学2023-2024学年高二数学上学期第一次诊断练习试题（Word版附解析）

高二上学期第一次诊断练习（数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若一次函数所表示直线的倾斜角为，则的值为（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，化简代入计算．【详解】的斜率为即故选：D．2.某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（）A.若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大B.若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应抽取30人和20人C.采用分层抽样比简单随机抽样更合理D.该问题中的样本容量为100【答案】A【解析】 【分析】由分层抽样的特点以及它的定义判断选项A、B、C,利用样本容量的定义判断选项D.【详解】对于选项A，张三与李四被抽到的可能性一样大，故A错误；对于选项B，理学专业应抽取的人数为，工学专业应抽取的人数为，故B正确；对于选项C，因为各专业差异比较大，所以采用分层随机抽样更合理，故C正确；对于选项D，该问题中的样本容量为100，故D正确.故选：A.3.在等边中，O为重心，D是的中点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算计算作答.【详解】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，E为BC中点，则有，而D是的中点，所以.故选：D4.“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：借书数量（单位：本）5678910频数（单位：人）58131194则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（）A.8B.8.5C.9D.10【答案】C【解析】 【分析】根据百分位数的定义，结合统计表求四分位数.【详解】由，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，又，故四分位数（第75百分位数）是9.故选：C5.设为两条直线，为两个平面，则的充分条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对于选项A、B、D，可以举反例进行排除；对于选项C，可以结合空间两个平面的法向量垂直，则两个平面垂直进行判断.详解】对于A，如图1，，，则满足，平面与不一定垂直，故A错误；对于B，如图2，，，则满足，平面与不一定垂直，故B错误；C.如图3，如图，在直线上取两个向量,则分别为平面的法向量，且,则，故C正确；C.如图4，，，，则，平面与不一定垂直，故D错误； 故选：C.6.下列说法正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B.过空间内不同的三点，有且只有一个平面C.棱锥的所有侧面都是三角形D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】C【解析】【分析】根据定义逐项分析即可【详解】对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，故选：.7.在正三棱柱中，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设为的中点，证明平面，根据球的截面性质确定交线的形状，结合弧长公式求交线长.【详解】设为的中点，连接， 因为，为等边三角形，所以，因为，，，平面，所以平面，所以以为球心，为半径的球面与平面的交线为以为圆心的圆，由，可得交线即以为圆心，为半径的圆弧，设该圆弧与，分别相交于点M，N，因为，，所以，因为，所以所以，故交线长.故选：B.8.已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．若边 上中线长为，，求的面积（）A.B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】先结合正弦定理化简求出，进而求出角,再结合向量的实数化求出，则三角形的面积可求.【详解】因为，所以由正弦定理可得，因为在三角形中，所以，又因为，所以，所以或，因为边上中线长为，，设中点为，则可得，所以，又因为边上中线长为，，所以，当时，代入可得，解之可得， 则所以，即为直角三角形，与题意矛盾，故舍去.当时，代入可得，解之可得，则的面积.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.B.在方向上的投影向量为C.与共线的单位向量的坐标为D.若向量与向量共线，则【答案】AD【解析】【分析】选项A，利用向量的夹角余弦值公式即可直接求解；选项B,利用投影向量的公式即可直接求解；选项C,利用向量的共线单位向量公式即可直接求解；选项D,利用向量的共线定理即可直接求解.【详解】，则选项A正确;在方向上的投影向量,则选项B错误；与共线的单位向量为，即或，则选项C错误；若向量与向量共线,则， ，可得解得，则选项D正确；故选：AD.10.设为复数，则下列命题中正确的是（）A.B.C.若，则的最大值为2D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】设.AB选项，由复数运算法则可判断选项正误；C选项，由题可得，则，据此可判断选项正误；D选项，由题可得，则，据此可判断选项正误.详解】设，选项，，，故选项正确；选项，，，故选项错误；选项，，则，又，则当时，有最大值2，故C正确；D选项，，则.又，则，故D正确.故选：.11.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（）A.与互为对立B.与互斥C.与相互独立D.与相互独立【答案】ACD【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】先编号：红球为，白球为，不放回依次取出两个，基本事件有，共种，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.A选项，，所以与互为对立事件；B选项，，所以与不是互斥事件；C选项，事件“”，所以，所以与相互独立，所以C选项正确.D选项，事件“”，，所以与相互独立，所以D选项正确.故选：ACD12.已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（）A.点到直线的距离是B.点到平面的距离为C.平面与平面间的距离为D.点到直线的距离为【答案】AB 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，所以.设，则，.故到直线的距离，故A对.易知，平面的一个法向量，则点到平面的距离，故B对. .设平面的法向量为，则，所以令，得，所以.所以点到平面的距离.因为平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，所以平面与平面间的距离为，故C错.因为，所以又，则，所以点到的距离，故D错.故选：AB.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______．【答案】20 【解析】【分析】根据斜二测画法的公式，画出复原图即可求解.【详解】因为斜二测直观图为矩形，,则，可得原图中，,,,四边形的周长.故答案为：20.14.已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_________．【答案】且【解析】【分析】根据向量与向量的夹角为钝角，可得，且向量与向量不共线，即可求得答案.【详解】由题意得，向量与向量的夹角为钝角，即，且向量与向量不共线，则，且，故，且，解得且，故答案为：且 15.已知直线l：，一条光线经直线的定点T射入，先后被x轴、反射回T点，求光线在这个过程中走过的路程为______．【答案】【解析】【分析】先求直线l的必过点，再利用点关于直线对称求解即可.【详解】直线l：即为，令可得所以直线过定点，因为一条光线经定点T射入，先后被x轴、x+y=0反射回T点，如图所示：T关于轴的对称点为,T关于的对称点为,则解得可得，则，故答案为：．16.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，平面，， 与平面所成的角为，则球O的表面积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，取中点，可知，结合平面可证平面，则为与平面所成的角为．继而可求各边长，发现三角形为直角三角形，继而作出球心，算出半径再用公式得到球的表面积.【详解】取中点，连接，则．因为平面，平面，所以．又，,所以平面，故为与平面所成的角为．因为平面，平面，所以则，又直角三角形中所以,,则在直角三角形中,所以，则,故．球心在平面的投影为的外心，由可知，,故,故球的表面积为． 故答案为：.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线：，：，则（1）若两直线平行，求a的值．（2）若两直线垂直，求a的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用两直线平行的充要条件，列出方程，解之即可；(2)利用两直线垂直的充要条件，列出方程，解之即可.【小问1详解】直线：与直线：互相平行，所以，即，解得.故两直线平行，则.【小问2详解】直线：与直线：互相垂直，所以，即，解得或.故两直线垂直，则或.18.如图所示（单位：cm），四边形是直角梯形，求图中阴影部分绕旋转一周所成几何体的表面积和体积. 【答案】表面积为，体积为．【解析】【分析】由三视图作出原几何体，确定结构尺寸，然后计算表面积和体积．【详解】由三视图知原几何体是一个圆台，挖去一个半球，如图，圆台上下底面半径分别为2和5，高为4，因此母线长为5，几何体表面积为，体积为．19.在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.（1）求的值；（2）若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.【答案】（1）（2）能够拦截成功拦截，时间为2小时【解析】【分析】（1）设1小时后两船相遇于点C，根据关于y轴对称，且 ，即可求解；（2）设t小时后两船相遇于点D，利用余弦定理列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由题意，直线的倾斜角为，若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，如图所示，则轴，，且关于y轴对称，所以，所以.【小问2详解】解：若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，则，，，，因为可得整理得，解得或（舍去），所以能够拦截成功拦截时间为2小时.20.法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求a；（2）根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.【答案】（1）（2）74.4分钟（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求出；（2）根据频率可判断中位数位于区间，设为，列出方程即可求出；（3）求出5人中任取3人的所有情况，再求出满足条件的情况即可求出.【小问1详解】因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，解得.【小问2详解】因为，.则中位数位于区间内，设中位数为x，则，解得，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.【小问3详解】由题意，阅读时间位于的人数为， 阅读时间位于的人数为，阅读时间位于的人数为，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有2人，设为，，位于区间有2人，设为，.则从5人中任取3人，样本空间.含有10个样本点.设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”，，含有3个样本点.所以，所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为.21.如图，在梯形中，，．（1）若，求周长最大值；（2）若，，求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即得出周长的最大值；（2）利用正弦定理可得出、，两式相除可得出关于的等式，即可求得的值. 【小问1详解】解：在中，，因此，当且仅当时取等号．故周长的最大值是．【小问2详解】解：设，则，．在中，，在中，．两式相除得，，，因为，，，故．22.如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，.（1）证明：平面； （2）若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设的交点为，连接，可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）取的中点为，连接，由面面垂直的性质定理可证得则平面，以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.【小问1详解】设交点为，连接，已知为的重心，所以，，所以在中，，所以，所以平面，平面，则平面.【小问2详解】因为所以所以为等边三角形，所以，又因为，所以，所以，取的中点为，连接，则，平面平面，平面平面，则平面，以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为与平面所成的角为，所以，设菱形的边长为，所以，所以，因为，所以， ，设平面，，令，所以，设平面，，令，所以，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.