浙江省嘉兴市第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

嘉兴一中2023学年第一学期高一数学10月阶段性测试一､单选题（共8题，每题5分，共40分）1.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C错误；对于D：，D正确.故选：D.2.使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A.B.或C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意要选的是的真子集.【详解】由得，因为选项中只有，故只有C选项中的条件是使不等式成立的一个充分不必要条件．故选：C.3.的最小值为（） A.4B.7C.11D.24【答案】B【解析】【分析】采用降次、配凑，最后利用基本不等式即可.【详解】，则，，当且仅当，即时等号成立，故选：B．4.若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分和，当时，根据二次函数性质可求得a的范围.【详解】当，即时，原不等式恒成立；当时，要使原不等式对一切恒成立，则，解得.综上，实数a的取值范围为.故选：C5.若函数的单调减区间是，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的单调性可得出关于实数的等式，解之即可.【详解】因为的对称轴为且开口向上，单调减区间是，所以，所以．故选：B． 6.已知且，则的最小值为（）A.10B.9C.8D.7【答案】B【解析】【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意得，，令，则，由得，故，当且仅当，结合，即时取等号，也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选：B7.已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.【详解】∵函数为偶函数，∴，即，∴函数的图象关于直线对称，又∵函数定义域为，在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴由得，，解得.故选：D.8.已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案.【详解】由函数，显然该函数在上单调递增，由函数在上的值域为，则，等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在上恒成立，则，解得. 故选：D.二､多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分）9.下面四个条件中，使成立的充分而不必要条件的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义结合不等式的性质逐项分析即得.【详解】由，由推不出，故A正确；由推不出，故B错误；由推不出，故C错误；由，可得，由推不出，故D正确.故选：AD.10.已知奇函数在R上单调递减，则满足不等式的整数可以是（）A.1B.0C.D.【答案】CD【解析】【分析】由为奇函数得到，且在R上单调递减，从而得到当和时，，符合要求，得到答案.【详解】为奇函数，故，令得：，则，又在R上单调递减，故在R上单调递减，当时，，当时，，当时，，故，符合要求，当时，，当时，，此时，当时，， 当时，，故，符合要求，综上：满足不等式的整数可以是-3，-4.故选：CD11.狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805~1859）是德国数学家，对数论､数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.1837年他提出函数是与之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名的“狄里克雷函数”：，下列叙述中正确的是（）A.是偶函数B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题设中的狄里克雷函数的解析式，分为有理数和无理数，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数，对于A中，当为有理数，则也为有理数，满足；当为无理数，则也为无理数，满足，所以函数为偶函数，所以A正确；对于B中，当为有理数，则也为有理数，满足；当无理数，则也为无理数，满足，所以成立，所以B正确；对于C中，例如：当时，则也为无理数，满足；可得，所以C不正确；对于D中，当为有理数，可得，则，当为无理数，可得，则，所以，所以D正确.故选：ABD. 12.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，，，所以BD正确，C错误；若，则，A错误.故选：BD三､填空题（共4题，每题5分，共20分）13.函数的定义域是______.【答案】【解析】【分析】根据具体函数的形式，直接求定义域.详解】由题意可知解得：，函数的定义域是.故答案为：【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型. 14.若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【详解】问题转化为：至少存在一个，使得关于的不等式成立，令，，函数与轴交于点，与轴交于点，（1）当函数的左支与轴交于点，此时有，若，解得或，则当时，在轴右侧，函数的图象在函数的上方，不合乎题意；（2）在轴右侧，当函数的左支与曲线的图象相切时，函数左支图象对应的解析式为，将代入得，即，令，即，解得，则当时，如下图所示，在轴右侧，函数的图象在函数的上方或相切，则不等式在上恒成立，不合乎题意； （3）当时，如下图所示，在轴右侧，函数的图象的左支或右支与函数相交，在轴右侧，函数的图象中必有一部分图象在函数的下方，即存在，使得不等式成立，故实数的取值范围是.15.若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为______．【答案】【解析】【分析】分、、三种情况讨论，当时即可求出的值，同理求出时参数的值，即可得解.【详解】解：对于不等式，当时，解集为显然不合题意，当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素，则恒成立且方程有两个相等的实数根，即且，显然时，由，解得，所以， 当时，不等式等价于，因为不等式组解集中只有一个元素，则恒成立且方程有两个相等的实数根，即且，显然时，由，解得，所以，综上可得.故答案为：16.已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为________.【答案】或【解析】【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，利用韦达定理可求得的值；在第二种情况下，求出、的值，结合复数的模长公式可求得实数.综合可得出实数的值.【详解】分以下两种情况讨论：（1）当时，即当时，由韦达定理可得，，；（2）当时，即当时，由可得，解得，，，解得.综上所述，或.故答案为：或.四､解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分） 17.设集合，.（1）当时，求.（2）若，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入相应集合，并结合交集与并集的概念即可求解.（2）由题意，这里要注意对集合分两种情形讨论：集合为空集或者集合不为空集，然后相应去求解即可.【小问1详解】当时,,又因为，所以小问2详解】若,则分以下两种情形讨论：情形一：当集合为空集时，有，解不等式得.情形二：当集合不为空集时，由以上情形以可知，此时首先有，其次若要保证，在数轴上画出集合如下图所示：由图可知，解得；结合可知.综合以上两种情形可知：m的取值范围为.18.已知函数，. （1）证明：函数在上单调递增；（2）若，求实数t的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）按函数单调递增的定义去证明即可；（2）依据函数的奇偶性和单调性把已知条件转化为具体不等式，解之即可.【小问1详解】证明：设，且，则，∵，，，，∴，即，∴函数在上单调递增.【小问2详解】因为，则为奇函数.由，得.又因为在上单调递增，则，解得.故实数t的取值范围为.19.已知函数是定义在上的减函数，且满足，.（1）求；（2）若，求x的取值范围. 【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】（1）根据对、进行赋值即可得到答案；（2）利用赋值法得，然后结合转化已知不等式为，最后根据单调性求出所求.【详解】（1）令，得，得.（2）令，有，即又又已知是定义在上的减函数∴有，解得.【点睛】关键点点睛：解决抽象函数问题，主要考查利用赋值法求解抽象函数的函数值，利用单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用，属于中档题.20.已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）将代入，利用绝对值三角不等式即可求出最小值； （2）设，，求出的取值范围，根据，得出，根据绝对值三角不等式求解即可．【小问1详解】当时，，当且仅当时，即时，等号成立，所以最小值为2．【小问2详解】设，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，又因为，所以，所以，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即或，解得或，故．21.已知函数．（1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求的取值范围；（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，且，，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案；（2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案；（3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案．【小问1详解】解：当时，，，即，解得或，∴不等式的解集为；【小问2详解】，则二次函数图象的开口向上，且对称轴为，∴在上单调递增，，在上恒成立，转化为，∴，解得，故实数的取值范围为；【小问3详解】关于的方程有两个不相等的实数根，∵，，， ∴且，解得，，令（），在上单调递减，，，故的取值范围为．22.已知函数，.（1）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围；（2）对于，求函数在上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）构造函数，由题设条件可得在上单调递增，结合二次函数的性质即可求得的取值范围；（2）先将表示成分段函数，当时，利用二次函数的性质可求得的最小值，当时，利用轴动区间动分类讨论端点与对称轴的大小关系，给合二次函数的性质求得在的最小值，从而求得在上的最小值.【小问1详解】 因为对任意，，恒成立，即，令，则，所以在上单调递增，当时，，显然在上单调递减，不满足题意，舍去；当时，由二次函数的性质可知开口向上，对称轴，即，所以，即.【小问2详解】由题意得，，①当时，，因为，所以开口向上，对称轴，所以在单调递增，故；②当时，，则开口向上，对称轴为，当，即时，在上单调递增，故，又由①可知，所以在上，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，， 若，即时，；若，即时，.综上：.