2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第34讲等差数列及其前n项和（达标检测）（Word版附解析）

第34讲等差数列及其前n项和（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•张家界期末）5与11的等差中项是　　A．7B．8C．9D．10【分析】由题意利用等差中项的定义，求得结果．【解答】解：5与11的等差中项为，故选：．2．（2020春•田家庵区校级期末）在等差数列中，，，则　　A．8B．10C．14D．16【分析】利用等差数列通项公式列方程，求出，由此能求出．【解答】解：在等差数列中，，，，解得，．故选：．3．（2020春•湛江期末）已知等差数列的前项和为，若，则　　A．3B．4C．5D．6【分析】由等差数列的前项和公式分析可得，计算可得答案．【解答】解：，；故选：．4．（2020春•绵阳期末）在等差数列中，若，则数列的前7项和　　A．15B．20C．35D．45【分析】先利用等差数列的前项和公式表示出，再利用等差数列的性质化简后把前7 项之和用第四项来表示，将的值代入即可求出值．【解答】解：因为，所以．故选：．5．（2020春•宣城期末）已知等差数列中，前项为偶数）和为126，其中偶数项之和为69，且，则数列公差为　　A．B．4C．6D．【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解．【解答】解：由题意可得，，，，，解可得，．故选：．6．（2020春•珠海期末）已知等差数列，公差，为其前项和，，则　　A．B．C．D．【分析】利用等差数列前项和公式推导出，再由，能求出结果．【解答】解：等差数列，公差，，，解得，．故选：．7．（2020春•太原期末）已知等差数列满足，，．其前项和为，则使成立时最大值为　　 A．2020B．2019C．4040D．4038【分析】差数列的首项，，，可得，．再利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：等差数列的首项，，，，．于是，．使成立的最大正整数是4038．故选：．8．（2020春•张家界期末）已知是等差数列的前项和，若，，则　　A．2020B．2019C．0D．【分析】推导出，解得，由此能求出．【解答】解：是等差数列的前项和，，，设数列的公差为，，解得，．故选：．9．（2020•黑龙江二模）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为　　A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出立夏的日影子长． 【解答】解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，解得，．，立夏的日影子长为15.5尺．故选：．10．（多选）（2020春•龙岩期末）等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是　　A．B．当或10时，取最大值C．D．【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的性质，得出结论．【解答】解：等差数列的前项和为，，，求得．故，故正确；该数列的前项和，它的最值，还跟有关，不能推出当或10时，取最大值，故错误．，，故有，故错误；由于，，故，故正确，故选：．11．（多选）（2020春•宁德期末）公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有　　 A．B．C．中最大D．【分析】推导出，，，由此能求出结果．【解答】解：公差为的等差数列，其前项和为，，，，解得，，解得，故错误；，故正确；，，中最大，故错误；，，，，，故正确．故选：．12．（2020春•宜宾期末）在等差数列中，，，则　　．【分析】由题意利用等差数列的性质，求得公差的值，可得结论．【解答】解：等差数列中，，，故，则，故答案为：7．13．（2020春•河南期末）记为等差数列的前项和，若，，则　　．【分析】由为等差数列的前项和，，，利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出，，由此能求出．【解答】解：为等差数列的前项和，，，，解得，，．故答案为：14． 14．（2020•十堰模拟）等差数列中，，，则　　．【分析】利用等差数列的性质求出公差，进而求出结论．【解答】解：因为等差数列中，，，故；；．故答案为：135．15．（2020春•乐山期末）在等差数列中，，其前项的和为，若，则的值为　　．【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式即可求解．【解答】解：由等差数列的性质可知，为等差数列，设公差为，，，，，，则故答案为：202016．（2020春•怀化期末）已知是等差数列的前项和，若，，则　　．【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式即可直接求解．【解答】解：是等差数列的前项和，是等差数列，设公差为，因为，所以即，因为，， 则．故答案为：201617．（2020春•沙坪坝区校级期中）等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）设，记为数列前项的和，若，求．【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式即可求解，，然后结合等差数列的通项公式即可求解；（2）由（1）结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：（1）等差数列中，，．，即，，（2）由题意可得，，，所以，故18．（2019秋•怀柔区期末）已知等差数列满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？【分析】设等差数列的公差为，由，．可得，，联立解得：，．即可得出．（Ⅱ）设等比数列的公比为，由，，联立解得：，．即可得出．【解答】解：设等差数列的公差为，，．，， 联立解得：，．．（Ⅱ）设等比数列的公比为，，联立解得：，．．，解得．．与数列的第31项相等．19．（2020•海淀区二模）已知是公差为的无穷等差数列，其前项和为．又___，且，是否存在大于1的正整数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【分析】分别选择①②，然后结合等差数列的求和公式及已知条件进行求解即可判断．【解答】解：若选①，，因为是等差数列，所以，故，，，由可得可得或（舍，故不存在使得；若选②，，因为是等差数列，由，可得，，因为，所以，解可得或，因为，存在在使得； 20．（2020春•青羊区校级期中）已知，，都是各项不为零的数列，且满足，，其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．（1）若数列，的通项公式分别为，，求数列的通项公式；（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；（3）若为常数，，．对任意，，求出数列的最大项（用含式子表达）．【分析】（1）根据题意得，所以，当时，，两式做差，可得；当时，满足上式，则．（2）因为，当时，，两式相减得：，即，即，又，代入得，又，当时，，两式相减得：，得数列是从第二项起公差为得等差数列．当时，得，当时，由，得，故数列是公差为的等差数列．（3）由（2），当时，得，因为，所以，进而得，即，即，故从第二项起数列是等比数列，得当时，，，由已知条件可得，又，，，所以，因而，令，则，得对任意的时，，恒成立，得时，，单调递减，进而得中最大项．【解答】解：（1）因为，，所以，由，得， 当时，，两式做差，可得，当时，满足上式，则．（2）证明：因为，当时，，两式相减得：，即，，即，又，所以，又，所以当时，，两式相减得：，所以数列是从第二项起公差为得等差数列．又当时，由，得当时，由，得，故数列是公差为的等差数列．（3）解：由（2），当时，，即，因为，所以， 即，所以，即，即，故从第二项起数列是等比数列，所以当时，，，另外，由已知条件可得，又，，，所以，因而，令，则，故对任意的时，，恒成立，所以时，，单调递减，中最大项为．[B组]—强基必备1．（2019春•昌江区校级期中）数列是等差数列，，数列满足，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于　　．【分析】由，可得，，．又，，时，．可得，，又由，，，．比较与大小关系即可得出．【解答】解：，，，． 又，，时，．，，，，，．时，．．，．故，所以中最大．故答案为：15，2．（2020•宿迁模拟）已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．（1）若数列的通项为，则是否属于？（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项：若不存在，说明理由．【分析】（1）直接利用数列的通项公式的应用和前项和公式的应用求出结果．（2）利用等差数列的性质的应用求出首项的取值范围．（3）利用假设法的应用，建立不等量关系，进一步求出结果．【解答】解：（1）因为，所以，所以，所以，即．（2）设的公差为，因为， 所以特别的当时，，即，由得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，又，所以，于是，即，所以，即，（3）由得，所以，即，所以，从而有，又，所以，即，又，，所以有，所以，假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为为常数），则存在，，使得，即，设，，，则，即（3），于是当时，，从而有：当时，即，于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，