2023-2024学年高一数学上学期期中模拟试题02（人教A版2019第1-3章）（Word版附解析）

2023-2024学年高二数学上学期期中模拟考试全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为直线，即所以，且所以，故选:D.2．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得，解得.故选：A.3．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，因为，所以，，，，，所以点P到AB的距离．故选：B.4．已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，.因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点，设双曲线方程为，则有，，，所以双曲线的方程为.故选：C5．已知向量，且，那么（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，向量，2，，，，，且，则设，即，，，2，，则有，则，，则，，，故；故选：B．6．若直线与圆相切，则实数的值为（）A．B．1或C．或3D．【答案】C【解析】由圆可化为，可圆心坐标为，半径为，因为直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或.故选：C.7．过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，可设所求直线的方程为：，即，又因为此直线与直线平行，所以：，解得：，所以所求直线的方程为：，即．故选：D．8．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（）A．1B．2C．4D．5【答案】A【解析】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以， ，所以由题意得是的中位线，所以，所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角为120°B．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为C．直线恒过定点D．直线，，则或0【答案】AC【解析】对于A中，设直线的倾斜角为，由直线，可得斜率为，即，因为，所以，所以A正确；对于B中，当直线过原点时，此时过点直线方程为，即，满足题意；当直线不过原点时，要使得直线在轴上截距互为相反数，可得所求直线的斜率，所以点的直线方程为，即，所以B错误；对于C中，直线，可化为，由方程组，解得，所以直线恒过点，所以C正确；对于D中，由直线，若，可得且，解得，所以D不正确.故选：AC.10．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（）A．的最大值为B．的最小值为0C．的最大值为D．的最大值为【答案】ABD【解析】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或， ，，，A，B正确；表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，所以最大值为，又，所以的最大值为，C错，因为可化为，故可设，，所以，所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，故选：ABD.11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．平面C．向量与的夹角是60°D．直线与AC所成角的余弦值为【答案】AC【解析】对于，，所以，选项错误；对于，所以，即，，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；对于：向量与的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；对于，所以，，同理，可得，， 所以，所以选项正确．故选：AC．12．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（）A．B．若，则M到x轴距离为3C．若，则D．的最小值为4【答案】ABD【解析】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则有，解得，A正确；抛物线的方程为，焦点，准线，设，对于B，点，由抛物线的定义知，，有，所以M到x轴距离，B正确；对于C，，由得：，即，又，即，则，解得，于是得，C不正确；对于D，抛物线中，当时，，因此点在抛物线上方，过点P作于，交抛物线于点Q，连QF，过A作于，连AF，AP，，如图，显然，当且仅当点A与Q重合时取等号，所以，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为.【答案】【解析】由椭圆方程的标准形式可知方程表示椭圆方程的充要条件为，又由题意方程表示的曲线为椭圆， 所以，解不等式组得且，因此m的取值范围为.14．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为．【答案】【解析】因为，，则有，又三点共线，于是可设，即，而不共线，因此，解得，所以实数k的值是.15．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是．【答案】【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，，故点M关于直线的对称点的坐标是.16．若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为．【答案】【解析】令，即，两边平方得到，即，又由，易知，，所以曲线表示以为圆心，为半径的半圆，如图所示，令，当与圆相切时，，得到（舍去）或，当过点时，，又因为方程有两个不等的实根，由图知，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）若直线的方程为.（1）若直线与直线垂直，求的值； （2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【答案】（1）1；（2），．【解析】（1）直线与直线垂直，，解得．（2）当时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，．直线在两轴上的截距相等，，解得：．该直线的方程为：，．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，AB＝2AD＝2EF＝4，．（1）求证：；（2）求直线AE与平面BCF所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为四边形为矩形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以；（2）取的中点，的中点，连接，则，由，得，且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由平面，得，建立如图空间直角坐标系，，则，设为平面的一个法向量，则，令，得，所以，，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（12分）已知圆，圆.（1）求圆与圆的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即，化简得，所以圆的圆心到直线的距离为，则，解得，所以公共弦长为.（2）解法一：设过两圆的交点的圆为，则；由圆心在直线上，则，解得，所求圆的方程为，即.解法二：由（1）得，代入圆，化简可得，解得；当时，；当时，；设所求圆的圆心坐标为，则，解得；所以；所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为20．（12分）已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程；（2）若是上一点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）24【解析】（1）设动圆的半径为，因为圆与圆和圆均外切，所以，，则，根据双曲线的定义可知，的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支.设方程为，由，又，所以，所以的方程为.（2）设，则.因为.所以，即，解得或（舍去）.故的面积为：.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的平面角的余弦值.（3）若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不能，理由见解析【解析】（1）因为平面，所以，又则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，所以，，，所以，，所以，，且，平面所以平面.（2）由（1）知是平面的一个法向量.，.设平面的一个法向量为，所以，即令，则，，所以，所以.又由图可知二面角的平面角为锐角所以二面角的平面角的余弦值为.（3）由（1）得，，，.设，则，可得，所以.由（2）知是平面的一个法向量.若平面，可得则，该方程无解，所以直线不能与平面垂直.22．（12分）已知抛物线的焦点为，点在上，．（1）求；（2）过点作直线，与交于，两点，关于轴的对称点为．判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．【答案】（1）；（2）过定点【解析】（1）因为点在上，所以①，因为，所以由焦半径公式得②，由①②解得（负值舍去），所以.（2）由（1）知抛物线的方程为， 依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则，由消去得，，则，所以，，所以，则直线的方程为，即，即，即，令，可得，