2023-2024学年高一数学上学期期中模拟试题02（北师大版2019）（Word版附解析）

2023-2024学年高一数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第一章、第二章、第三章（北师大版2019必修第一册）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断.【详解】且，则；且，则，所以.故选：A2．已知函数(是自然对数的底数)，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由求出，进而得到.【详解】，故，则.故选：D 3．若函数的定义域为，则的定义域为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据题意求出的定义域为，再由可求得的定义域.【详解】因为函数的定义域为，则，可得，所以函数的定义域为，对于函数，则，得，所以的定义域为.故选：C4．函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）A．或B．或C．D．【答案】D【分析】依题意可得关于的方程无解，分和两种情况讨论.【详解】因为函数的定义域为，即关于的方程无解，当时，显然无解，符合题意；当，则，解得，综上可得.故选：D5．已知，，使是真命题，则p是q的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由命题为真可得或，根据两个不等式的关系及充分条件、必要条件的概念可得解. 【详解】，使是真命题，则，解得或，因为成立时，能推出或成立，而或成立时推不出成立，所以p是q的充分不必要条件，故选：A6．正数m，n满足，则的最大值为（    ）A．B．C．6D．3【答案】B【分析】根据及，变形可求的最大值.【详解】因为正数m，n满足，所以，所以由可知，即，可得，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：B7．已知函数的定义域为，任取x，，当时恒有成立，且存在正数m使得，则（    ）A．B．0C．1D．2【答案】C【分析】令，判断出函数的奇偶性，再令，，求出，再求出函数的周期，根据函数的周期求解即可.【详解】令，则， 故，所以为定义域内的奇函数，令，得，解得，所以，是以，所以函数是以为周期的一个周期函数，所以.故选：C.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.8．已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解. 【详解】一方面由题意有，另一方面若有成立，结合以上两方面有，且注意到，所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，若，则只能，因此当且仅当；又已知，所以，即，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现当且仅当，从而得出，从而由基本不等式即可顺利求解.二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．设函数为一次函数，满足，则（    ）A．B．C．D．【答案】AD【分析】设，代入，通过对比系数列方程组，求得，进而求得. 【详解】设，由于，所以，所以，解得或，所以或.故选：AD10．下列说法正确的是（    ）A．命题“，”的否定是“，”B．若，则“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的充要条件D．若，，则【答案】BD【分析】对于A，由特称命题否定为全称命题分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于C，举例判断，对于D，作差法分析判断【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，所以A错误，对于B，当时，，，而当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确，对于C，若，则，所以“”不是“”的充要条件，所以C错误，对于D，因为，，所以，所以，所以，所以D正确，故选：BD11．下列说法正确的是（    ） A．函数（且）的图像恒过定点B．若不等式的解集为或，则C．函数的值域为D．函数的最小值为【答案】BC【分析】根据指数运算的性质、结合一元二次不等式解集的性质、换元法、基本不等式逐一判断即可.【详解】A：因为，所以函数（且）的图像恒过定点，因此本选项不正确；B：因为不等式的解集为或，所以有，所以本选项正确；C：，，当时，函数有最大值，所以函数的值域为，因此本选项正确；D：，令，因为，所以，函数在时，单调递增， 所以有，故函数没有最小值，因此本选项不正确，故选：BC【点睛】关键点睛：本题的关系是利用换元法求出选项C中函数的最值.12．若函数在其定义域D的某个子区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称在M上是“弱增函数”，则（    ）A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”B．若，则存在区间M使为“弱增函数”C．若，则为上的“弱增函数”D．若在区间上是“弱增函数”，则【答案】ABD【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.【详解】对于A：在上为增函数，在上是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；对于C：因为在上单调递增，则在上单调递增，，因为在单调递减， 则在上单调递增，故不是上的“弱增函数”，C错误；对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．故选：ABD．第Ⅱ卷三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知幂函数在为增函数，则实数a的值为.【答案】4【分析】利用幂函数的定义以及幂函数的单调性，列式求解即可.【详解】因为为幂函数，所以，解得或，又在为增函数，所以；故答案为：4.14．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有92%的学生喜欢足球或游泳，54%的学生喜欢足球，74%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是.【答案】36%/0.36【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可．【详解】由题可得如下所示韦恩图：   既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是.故答案为：36%.15．已知函数为上的奇函数，当时，，则时，．【答案】【分析】由奇函数性质可得时，，由条件求可得结论.【详解】因为函数为上的奇函数，所以对任意的，，所以当时，，，因为当时，，，所以，所以，故答案为：.16．函数的定义域为，为奇函数，其中a为正实数，且当时，．若对于任意，不等式恒成立，则实数b的取值范围为．【答案】【分析】根据题意得到为奇函数，进而求出，然后得到函数的解析式和单调性，将所求不等式进行等价转化得到恒成立，根据一次函数的性质列出不等式组，解之即可求解. 【详解】∵为奇函数，即为奇函数，∴关于中心对称．故，且为正实数，∴．∴，根据二次函数的性质易知在上单调递增．而，故恒成立等价于恒成立，∴，也即．由一次函数的性质可知，解得，故答案为：.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．化简求值：(1)；(2)若，求，的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用指数幂的计算公式逐步计算，即可解得本题答案；（2）利用完全平方公式逐步计算，即可得到本题答案.【详解】（1）；（2），， ，又，.18．已知集合,.(1)当时，求；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别求两个集合的解集，再求并集；（2）根据题意可知，，再分情况讨论求集合，根据子集关系，求实数的取值范围.【详解】（1），即，解得：，所以，时，，即，得，则，所以；（2）若是的充分条件，则，当时，，得，，此时，当时，，得，，若，则，得；若，则， 当时，即，不等式的解集为或，，若，则，得，当时，即，不等式的解集为或，恒成立，得，当时，，不等式的解集为，此时，综上可知，的取值范围为.19．设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立.(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可；（2）分类讨论结合集合的关系计算即可.【详解】（1），由题意可知，解得；（2）当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，在区间上有，则，故，成立等价于，即， 若命题真假，结合（1）可知且，故，若命题真假，结合（1）可知且，故，综上，.20．已知定义在上的奇函数，当时，．  (1)求函数在上的解析式；(2)在坐标系中作出函数的图象；(3)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)见解析(3)或或【分析】（1）根据函数是奇函数，求函数的解析式；（2）根据函数的解析式，作出函数的图象；（3）根据函数的图象，结合函数的单调性，转化为子集问题，即可求解.【详解】（1）当时，，因为函数是奇函数，所以，且， 所以函数在上的解析式为;（2）根据函数的解析式，作出函数的图象，  （3）函数在区间上是单调函数，根据图象可知，，或，或，解得：或或.21．已知关于的不等式的解集为或.(1)求，的值；(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由不等式的解集为或，得到1和是方程的两个实数根求解.（2）根据，由，利用基本不等式求得最小值即可.【详解】（1）解：因为不等式的解集为或，所以1和是方程的两个实数根，且， 所以，解得，即，.（2）由（1）知，于是有，故，当且仅当，结合，即时，等号成立，依题意有，即，得，即，所以的取值范围为.22．麻城市某社区为鼓励大家节约用电，与供电公司约定两种电费收取方案供用户选择：方案一：每户每月收取管理费元，月用电量不超过度时，每度元；超过度时，超过部分按每度元收取：方案二：不收取管理费，每度元．(1)彭湃家上月比较节约，只用了90度电，分别按照这两种方案，计算应缴多少电费？并比较那种方案更合适．(2)求方案一的收费元与用电量度间的函数关系．若徐格拉底家九月份按方案一缴费60元，问徐格拉底家该月用电多少度？(3)该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？【答案】(1)第一种方案：元；第二种方案：元.应选择第一种方案．(2)度．(3)该月用电量在度到度不含度与度范围内，选择方案一比选择方案二好．【分析】（1）分别按两种方案计算，比较后选择费用较少的方案即可； （2）方案一的收费元与用电量度间的函数关系为分段函数，分段求出函数的各段解析式，再应用求解实际问题；（3）两种方案的费用作差比较，判断符号即可.【详解】（1）第一种方案：元，第二种方案：元，由，故应选择第一种方案．（2）当时，；当时，.综上，.当时，令，解得舍去．当时，令，解得．答：徐格拉底家该月用电度．（3）令，当时，令，即，解得，．当时，令，即，解得，．综上可得：．即该月用电量在度到度不含度与度范围内，选择方案一比选择方案二好．