2023-2024学年高二数学上学期期中模拟试题02（新高考地区专用，测试范围：第1-2章）（Word版附解析）

2023-2024学年上学期期中模拟考试高二数学试题（考试时间：150分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第1-2章（人教版选择性必修一）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·湖北武汉第十七中学高二期中）直线在x轴上的截距是（    ）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】将代入直线方程，可得，解得，故选C.2．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以，故选A.3．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ）A．B．C．或D．与的位置关系不能判断【答案】B 【解析】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，显然它们共线，所以．故选B．4．（2023·福建厦门高二期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为点在圆的外部，所以，解得，故选C．5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，因此，故选D.6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，P为的中点，则（    ） A．B．1C．D．【答案】A【解析】如图，由已知可得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，，，，，.所以，，所以.故选：A.7．（2023·福建师大附中高二期中）正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱上的任意一点，则直线与直线所成的角为A．B．C．D．与点的位置有关【答案】C【解析】如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，，，，∴，，∴，即，故夹角为，故选C. 8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，化简得，即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆，则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即，点到直线的距离最小值为.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2023·四川省武胜烈面中学校高二期中）对于直线，下列说法正确的有（    ）A．直线l过点B．直线l与直线垂直C．直线l的一个方向向量为D．直线l的倾斜角为45°【答案】AB【解析】直线化成斜截式为，所以当时，，A对；直线l的斜率为﹣1 ，倾斜角为135°，D错；直线的斜率为1，，所以两直线垂直，B对；直线l的一个方向向量为，C错．故选AB．10．已知空间三点，，，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】AC【解析】因为，，，所以所以，，，所以不共线，故选AC11．（2023·江苏盐城高二期中）圆和圆的交点为，，则（    ）A．公共弦所在直线的方程为B．线段中垂线的方程为C．公共弦的长为D．两圆圆心距【答案】ABD【解析】①，②，用①减去②即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确；把圆化为标准方程得，圆心为，半径为，把圆化为标准方程为，圆心为，，线段中垂线即为圆心与圆心两点构成的直线为，故B正确；圆心到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的长为，故C错误；   圆心到圆心的距离，故D正确.   故选ABD.12．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ）A．直线与直线所成的角为B．直线与平面所成角的余弦值为C．平面D．点到平面的距离为【答案】ABC【解析】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，对于A：，，因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；对于C：因为，，，所以，，所以，，因为，所以平面，故选项C正确；对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确； 对于D：因为，平面的一个法向量，，，故，令，则，故，所以点到平面的距离，故D不正确，故选ABC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线与平行，则它们的距离是【答案】【解析】直线可化为直线，又，且，所以它们的距离.14．求过点且与圆相切的直线方程为.【答案】x＝4或3x+4y＝0【解析】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，由题意得，解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4 此时圆心到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.15．（2023·黑龙江实验中学高二月考）已知点在直线上，则的最小值为．【答案】2【解析】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.16．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为.【答案】【解析】以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，，，设平面ABC1的法向量为，则，即，令，则，故，所以点B1到平面ABC1的距离为. .四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2023·浙江省镇海高中高二期中）已知的顶点，重心．(1)求线段BC的中点坐标；(2)记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标．【解析】（1）设中点，因为为的重心，且，所以，即所以，所以中点（2）因为的方程为，且为的垂心所以即，所以所以直线的方程为：，即所以设点，又因为的中点，设则即又因为点在直线上，即，所以所以，所以，则边上的高线为而点也在直线：上，所以点的坐标即为与的交点即. 18．（2023·江苏扬州高二期中）已知一条动直线，(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标，并求出点到动直线的最大距离.(2)若直线与x．y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为12；②的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将直线方程变形为，由，可得，因此，直线恒过定点.当垂直与直线时，点到直线的距离最大，因为，所以直线的斜率为，所以，故，所以直线的方程为，点到直线的距离为，所以点到动直线的最大距离为；（2）假设存在点和点满足要求，则，解方程可得或，所以直线的方程为或，故存在直线或.19．（2023·河南省开封高中高二期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②过点；③与直线平行.问题：已知直线过点，且___________.（1）求直线的一般式方程； （2）若直线与圆相交于点，，求弦的长.【解析】方案一选条件①.（1）因为直线的斜率为，又直线与直线垂直，所以直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即.（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.方案二选条件②.（1）因为直线过点及，所以直线的方程为，即.（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.方案三选条件③.（1）因为直线的斜率为，直线与直线平行，所以直线的斜率为依题意，直线的方程为，即.（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.20．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．(1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）证明：由于，，所以，由于，，、平面，所以平面，平面，由平面，得.取的中点，连接，因为底面是直角梯形，且，，故四边形为矩形，且且，，所以在中，，，，即，由于，、平面，所以平面.（2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，.所以，直线与平面所成角的正弦值为.21．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点，是的中点. (1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.【解析】（1）取中点，连接，分别为的中点，，，因为四边形是矩形，是的中点，所以且，故且，则四边形为平行四边形，，又面，平面，所以平面.（2）设，则，因为，所以由勾股定理得，则是等腰直角三角形，又平面，故以中点为原点，过点和平行的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，则，，，设是面的一个法向量，则有，取，则，故，设是面的一个法向量，则有，取，则，故，记平面与平面夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值.22．已知正四棱柱中，，，点为棱的中点．(1)求二面角的余弦值；(2)连接，若点为直线上一动点，求当点到直线距离最短时，线段的长度．【解析】（1）解：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，则，，，设平面的法向量为，则，取，则， 设平面的法向量为，则，取，可得，，由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.（2）解：设，其中，则，令，设点到直线的距离为，则，故当时，取最小值，此时.