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2023-2024学年高二数学上学期期中模拟试题02(人教A版2019选一第1-3章)(Word版附解析)
2023-2024学年高二数学上学期期中模拟试题02(人教A版2019选一第1-3章)(Word版附解析)
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2023-2024学年高二数学上学期期中模拟考试全解全析一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为直线,即所以,且所以,故选:D.2.若点在圆的内部,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得,解得.故选:A.3.如图,ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若P在正方体内部且满足,则P到AB的距离为()A.B.C.D.【答案】B【解析】如图,以A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,因为,所以,,,,,所以点P到AB的距离.故选:B.4.已知双曲线的焦点与椭圆:的上、下顶点相同,且经过的焦点,则的方程为()A.B.C.D.【答案】C 【解析】椭圆:,上、下顶点分别为,,上、下焦点分别为,.因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同,且经过的焦点,设双曲线方程为,则有,,,所以双曲线的方程为.故选:C5.已知向量,且,那么()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意,向量,2,,,,,且,则设,即,,,2,,则有,则,,则,,,故;故选:B.6.若直线与圆相切,则实数的值为()A.B.1或C.或3D.【答案】C【解析】由圆可化为,可圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相切,可得圆心到直线的距离等于半径,可得,解得或.故选:C.7.过直线与的交点,与直线平行的直线方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知,可设所求直线的方程为:,即,又因为此直线与直线平行,所以:,解得:,所以所求直线的方程为:,即.故选:D.8.已知,是椭圆的左、右焦点,是椭圆上任意一点,过引的外角平分线的垂线,垂足为,则与短轴端点的最近距离为()A.1B.2C.4D.5【答案】A【解析】因为P是焦点为,的椭圆上的一点,为的外角平分线,,设的延长线交的延长线于点M,所以, ,所以由题意得是的中位线,所以,所以Q点的轨迹是以O为圆心,以5为半径的圆,所以当点Q与y轴重合时,Q与短轴端点取最近距离故选:A.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.直线的倾斜角为120°B.经过点,且在轴上截距互为相反数的直线方程为C.直线恒过定点D.直线,,则或0【答案】AC【解析】对于A中,设直线的倾斜角为,由直线,可得斜率为,即,因为,所以,所以A正确;对于B中,当直线过原点时,此时过点直线方程为,即,满足题意;当直线不过原点时,要使得直线在轴上截距互为相反数,可得所求直线的斜率,所以点的直线方程为,即,所以B错误;对于C中,直线,可化为,由方程组,解得,所以直线恒过点,所以C正确;对于D中,由直线,若,可得且,解得,所以D不正确.故选:AC.10.已知实数x,y满足方程,则下列说法正确的是()A.的最大值为B.的最小值为0C.的最大值为D.的最大值为【答案】ABD【解析】由实数x,y满足方程可得点在圆上,作其图象如下,因为表示点与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为,则,解得:或, ,,,A,B正确;表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为,所以最大值为,又,所以的最大值为,C错,因为可化为,故可设,,所以,所以当时,即时取最大值,最大值为,D对,故选:ABD.11.如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中不正确的是()A.B.平面C.向量与的夹角是60°D.直线与AC所成角的余弦值为【答案】AC【解析】对于,,所以,选项错误;对于,所以,即,,所以,即,因为,平面,所以平面,选项正确;对于:向量与的夹角是,所以向量与的夹角也是,选项错误;对于,所以,,同理,可得,, 所以,所以选项正确.故选:AC.12.已知抛物线的焦点为F,A,B是抛物线上两动点,且的最小值为1,M是线段AB的中点,是平面内一定点,则()A.B.若,则M到x轴距离为3C.若,则D.的最小值为4【答案】ABD【解析】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1,则有,解得,A正确;抛物线的方程为,焦点,准线,设,对于B,点,由抛物线的定义知,,有,所以M到x轴距离,B正确;对于C,,由得:,即,又,即,则,解得,于是得,C不正确;对于D,抛物线中,当时,,因此点在抛物线上方,过点P作于,交抛物线于点Q,连QF,过A作于,连AF,AP,,如图,显然,当且仅当点A与Q重合时取等号,所以,D正确.故选:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若方程表示的曲线为椭圆,则m的取值范围为.【答案】【解析】由椭圆方程的标准形式可知方程表示椭圆方程的充要条件为,又由题意方程表示的曲线为椭圆, 所以,解不等式组得且,因此m的取值范围为.14.设是空间两个不共线的非零向量,已知,,,且三点共线,则实数k的值为.【答案】【解析】因为,,则有,又三点共线,于是可设,即,而不共线,因此,解得,所以实数k的值是.15.已知点,则点M关于直线的对称点的坐标是.【答案】【解析】设点关于直线的对称点的坐标为,则,解得,,故点M关于直线的对称点的坐标是.16.若方程有两个不等的实根,则实数b的取值范围为.【答案】【解析】令,即,两边平方得到,即,又由,易知,,所以曲线表示以为圆心,为半径的半圆,如图所示,令,当与圆相切时,,得到(舍去)或,当过点时,,又因为方程有两个不等的实根,由图知,故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)若直线的方程为.(1)若直线与直线垂直,求的值; (2)若直线在两轴上的截距相等,求该直线的方程.【答案】(1)1;(2),.【解析】(1)直线与直线垂直,,解得.(2)当时,直线化为:.不满足题意.当时,可得直线与坐标轴的交点,.直线在两轴上的截距相等,,解得:.该直线的方程为:,.18.(12分)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,平面ADE⊥平面ABCD,AB=2AD=2EF=4,.(1)求证:;(2)求直线AE与平面BCF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)因为四边形为矩形,所以,又平面,平面,所以平面,又平面平面,平面,所以;(2)取的中点,的中点,连接,则,由,得,且,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,由平面,得,建立如图空间直角坐标系,,则,设为平面的一个法向量,则,令,得,所以,,设直线与平面所成角为,则.所以直线与平面所成角的正弦值为. 19.(12分)已知圆,圆.(1)求圆与圆的公共弦长;(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.【答案】(1);(2)【解析】(1)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程,即,化简得,所以圆的圆心到直线的距离为,则,解得,所以公共弦长为.(2)解法一:设过两圆的交点的圆为,则;由圆心在直线上,则,解得,所求圆的方程为,即.解法二:由(1)得,代入圆,化简可得,解得;当时,;当时,;设所求圆的圆心坐标为,则,解得;所以;所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为20.(12分)已知圆:的圆心为,圆:的圆心为,动圆与圆和圆均外切,记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程;(2)若是上一点,且,求的面积.【答案】(1);(2)24【解析】(1)设动圆的半径为,因为圆与圆和圆均外切,所以,,则,根据双曲线的定义可知,的轨迹是以,为焦点的双曲线的一支.设方程为,由,又,所以,所以的方程为.(2)设,则.因为.所以,即,解得或(舍去).故的面积为:.21.(12分)如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,为棱上的点,且.(1)求证:平面.(2)求二面角的平面角的余弦值.(3)若点在棱上(不与点,重合),直线能与平面垂直吗?若能,求出的值;若不能,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)不能,理由见解析【解析】(1)因为平面,所以,又则以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,,,,所以,,,所以,,所以,,且,平面所以平面.(2)由(1)知是平面的一个法向量.,.设平面的一个法向量为,所以,即令,则,,所以,所以.又由图可知二面角的平面角为锐角所以二面角的平面角的余弦值为.(3)由(1)得,,,.设,则,可得,所以.由(2)知是平面的一个法向量.若平面,可得则,该方程无解,所以直线不能与平面垂直.22.(12分)已知抛物线的焦点为,点在上,.(1)求;(2)过点作直线,与交于,两点,关于轴的对称点为.判断直线是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理出.【答案】(1);(2)过定点【解析】(1)因为点在上,所以①,因为,所以由焦半径公式得②,由①②解得(负值舍去),所以.(2)由(1)知抛物线的方程为, 依题意直线的斜率存在,设直线的方程为,,,则,由消去得,,则,所以,,所以,则直线的方程为,即,即,即,令,可得,
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高中 - 数学
发布时间:2023-11-06 08:05:02
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