2023-2024学年高二数学上学期期中模拟试题02（北师大版2019选一第1-3章）（Word版附解析）

2023-2024学年高二数学上学期期中模拟考试全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．直线过点，且方向向量为，则（    ）A．直线的点斜式方程为B．直线的斜截式方程为C．直线的截距式方程为D．直线的一般式方程为【答案】D【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为2．因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，其一般式为．故A错误，D正确；化为斜截式：，故B错误；化为截距式：，故C错误.故选：D2．已知直线：过定点，直线：过定点，与相交于点，则（    ）A．10B．12C．13D．20【答案】C【详解】由直线过定点，直线可化为，令，解得，即直线恒过定点，又由直线和，满足，所以，所以，所以.故选：C.3．已知直线，其方程分别为：，：，其中，，则 的最小值为（    ）A．2B．C．D．8【答案】D【详解】∵直线：和：平行，∴且它们的斜率相等，在轴上的截距不相等，∴，且，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值是8.故选：D.4．“”是“直线与圆相交”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】直线与圆相交，显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件.故选：B.5．如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（    ）  A．B．C．D．【答案】B【详解】因为,所以， 故选:B.6．已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，.因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点，设双曲线方程为，则有，，，所以双曲线的方程为.故选：C7．已知：，：，则下列说法中，正确的个数有（    ）（1）若在内，则；（2）当时，与共有两条公切线；（3）当时，与的公共弦所在直线方程为；（4），使得与公共弦的斜率为.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】因为：，：，所以：，：，则，，，，则，由在内，可得，即，故（1）错误；当时，，，，，所以，所以两圆相交，共两条公切线，故（2）正确；当时，：，：，两圆相交由，得：，即故（3）正确； 公共弦所成直线的斜率为，令，无解，故（4）错误.故选：B.8．已知椭圆的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（    ）A．1B．C．2D．【答案】B【详解】由题意得，则，，所以椭圆方程为，因为，所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点，因为，所以点为线段的中点，设，则，，所以，所以，所以，即，所以，所以直线为，即，因为M为直线上任意一点，所以的最小值为点到直线的距离，故选：B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（    ）A．圆的圆心为B．点在圆内C．圆的半径为5D．点在圆内【答案】ABC【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确；由，得点在圆内，B正确；由，得点在圆外，D错误.故选：ABC10．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（    ）A．B．13C．D．19【答案】BD【详解】由题知，或，解得或.故选：BD11．已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ）A．直线恒过点B．C．直线被圆截得的最短弦长为D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称【答案】ABD【详解】直线，恒过点，所以A正确；圆的圆心坐标为，，，所以B正确；圆的圆心坐标为，圆的半径为2．直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．故选：ABD．12．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（    ）   A．平面B．到平面的距离为C．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是D．平面与平面夹角余弦值为【答案】ABD【详解】以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，  ，，，，，则，，，，，则平面，故A正确；向量为平面的法向量，且，，所以到平面的距离为，故B正确；作中点，的中点，的中点，连接，，，，，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C错误；平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 设两个平面夹角为，，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是.【答案】【详解】两直线方程联立，得，所以交点为设与直线垂直的直线方程为，把代入中，得，故答案为：14．已知，，，若，，，四点共面，则．【答案】5【详解】解：因为，，，且，，，四点共面，所以，则，解得，故答案为：515．已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则.【答案】【详解】解：椭圆得，，，设，，则，，，，，，即.故答案为：   16．若点在曲线：上运动，则的最大值为.【答案】/【详解】曲线方程化为，是以为圆心，3为半径的圆，表示点与点连线的斜率，不妨设即直线：，又在圆上运动，故直线与圆有公共点，则，化简得解得，故的最大值为.故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知两条不同直线：，：．(1)若，求实数a的值；(2)若，求实数a的值；并求此时直线与之间的距离．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由，得，解得；（2）当时，有，解得，∴：，：，即，∴两直线与的距离为．18．（12分）设直线l的方程为(1)求证：不论a为何值，直线必过定点M； (2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值．【答案】(1)当不论a为何值，直线恒过定点；(2)直线l的方程为或.(3)6【分析】（1）将原直线方程变形为，由求解；（2）分截距是否为0两种情况，求得参数，即可得答案.（3）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）直线l的方程为，整理可得：，当时不论a为何值，，即，，可证当不论a为何值，直线恒过定点；（2）当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为.当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为，故，解得，可得直线l的方程为：.综上所述，直线l的方程为或.（3）由题意知，令，解得，解得；令，解得，解得或.综上有.∴， 当且仅当，即时取等号.∴（为坐标原点）面积的最小值是6，此时直线方程，即.19．（12分）已知圆经过，两点，且圆的圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线与圆相交于，两点，为坐标原点，求.【答案】(1)(2)1【详解】（1）因为，，所以，线段的中点坐标为，则的中垂线方程为，即，故圆的圆心在直线上.联立方程组，解得，故圆圆心的坐标为，圆的半径，则圆的标准方程为.（2）设，，联立方程组，整理得，，则，.故.20．（12分）设抛物线：的焦点为，是抛物线上横坐标为的点，．(1)求抛物线的方程；(2)设过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出p值作答.（2）求出直线的方程，与的方程联立，再求出三角形面积作答.【详解】（1）抛物线：的准线方程为，依题意，，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，，则直线的方程为， 由消去y得：，解得，，所以的面积.  21．（12分）如图，内接于⊙O，为⊙O的直径，，，，为的中点，且平面平面．  (1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为是⊙O的直径，所以，因为，，所以，又因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面ACD，，所以平面（2）因为，，，所以，所以，因为平面，平面， 所以，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，  则，，，．显然，是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则令，则，所以，设二面角所成角为，，则，所以二面角的正弦值为22．（12分）如图，经过点，且中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的弦所在直线交轴于点，且.求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）椭圆的标准方程为：，，即，，将点，代入即可求得和的值，求得椭圆的方程；（2）联立直线的方程与椭圆方程,可得坐标，进而根据两点斜率公式即可求解.【详解】（1）由题意可知：焦点在轴上，设椭圆的标准方程为：，由椭圆的离心率，即，，将代入椭圆方程：，解得：，，，椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知：直线有斜率，且，设直线方程为，，，，，，整理得：，，故由韦达定理可知：，由得：,故直线方程为，因此所以因此，为定值.