2023-2024学年高一数学上学期期中模拟考试期中模拟卷（人教A版2019）

2023-2024学年高一数学上学期期中考试（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第一章、第二章、第三章（人教A版2019）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．命题“,”的否定为（　　）A．,B．,C．,D．,【答案】A【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可.【详解】解:由题根据全称量词命题的否定可知,“,”的否定为“,”.故选:A2．已知集合，，若，则等于（    ）A．或3B．0或C．3D．【答案】C【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性进行求解即可.【详解】由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确. 经检验可知符合.故选：C3．已知：“”，：“”，则是的（    ）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求得中对应的范围，然后根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】对于，令，可得，即，故或，解得或，故是的必要不充分条件.故选：A4．设函数，且，则等于（    ）A．B．3C．D．5【答案】C【分析】代入求和，找两式之间的关系，即可求解.【详解】，即，则.故选：C5．已知函数，且，则　　A．B．C．D．【答案】A【分析】由换元法求出函数的解析式，令函数值为6，解出值即可．【详解】令，则，由，可得，则，解得， 故选：．6．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线（轴以上部分包括与轴的交点）与（轴以下部分包括与轴的交点）构成，则（    ）A．B．10C．D．2【答案】B【分析】由已知，将坐标轴上的点代入函数解析式，列出关系式，解方程即可.【详解】由图知，过点，过点，则，有    解得，所以，故选：B.7．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（    ）A．0B．1C．2D．【答案】D【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.【详解】由题意令，得，又不是常数函数，所以，再令，得， 即，则，即，故，所以函数的周期为，所以，故选：D.8．若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，，则在区间内的“8倍倒域区间”为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先求得的解析式，判断出在区间上的单调性，由此列方程组来求得正确答案.【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以.因为当时，，所以当时，，所以，则当时，单调递减，设，由，得，解得，所以在区间内的“8倍倒域区间”为.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各组函数是同一组函数的是（    ）A．与B．与C．与D．与【答案】BCD【分析】由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.【详解】A：，，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；B：，，定义域和对应法则都相同，同一函数；C：与，定义域和对应法则都相同，同一函数；D：，，，定义域和对应法则都相同，同一函数；故选：BCD.10．下列四个命题中，是真命题的有（    ）A．且，B．，C．若，则D．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是【答案】BCD【分析】运用特例法，根据不等式的性质、基本不等式、常变量分离法，结合对钩函数的单调性进行逐一判断即可.【详解】A：当时，显然不成立，因此本命题是假命题；B：因为方程的判别式，且二次函数的开口向上，所以恒成立，因此本命题是真命题；C：因为，所以当时，有，因此本命题是真命题； D：当时，，设，当时，该函数单调递减，所以，要想不等式恒成立，只需，因此本命题是真命题，故选：BCD11．已知函数则以下说法正确的是（    ）A．若，则是上的减函数B．若，则有最小值C．若，则的值域为D．若，则存在，使得【答案】ABC【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1,故B正确；对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；对于D，若，当时，；当时，；当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误. 故选：ABC12．已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（    ）A．B．若，则C．若，则D．，，使得【答案】ACD【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可.【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，所以，故A对，若，则，得，故B错，若，则或，因为，所以或，故C正确，因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分13．已知，则.【答案】6【分析】结合分段函数的解析式逐步求值.【详解】由题得.故答案为6【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14．已知一元二次不等式的解集为，则的解集为. 【答案】【分析】由题意知是方程的两根，根据韦达定理可得出，代入解不等式即可求出结果.【详解】因为一元二次不等式的解集为，所以，是方程的两根，由韦达定理得，，得到，代入，得到，即，令，因为，所以的解集为，故答案为：.15．若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为．【答案】【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；【详解】因为是偶函数，所以所以，又因为在上单调递增，所以，解得：，故答案为：.16．某学校计划在运动场内规划面积为的矩形区域ABCD用于全校师生核酸检测.矩形区域内布置成如右图所示的三个检测点（阴影部分）.已知下方是两个相同的矩形检查点，每个检测点区域四周各留下宽的间隔，若上方矩形宽LO是下方矩形边长EH的一半，为使三个检测点面积之和达到最大值，则m. 【答案】【分析】设，，利用变量，表示三个检测点的面积和，结合矩形的面积为，利用基本不等式求其最大值，由此确定.【详解】设，，则，，，，所以三个检测点面积之和，因为矩形的面积为，所以，所以，所以，令，则，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，即时，三个检测点面积之和达到最大值，此时，故答案为：.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知集合.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）时得出集合B，然后进行交集的运算即可；（2）根据得出，然后即可得出的取值范围． 【详解】（1）当时，，∴；（2）因为，所以，所以，所以的取值范围为：．18．已知幂函数在上是减函数，.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以解得，所以实数的取值范围是.19．巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数． (1)当时，求函数的表达式；(2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整）【答案】(1)(2)25艘/海里，最大值为625．【分析】（1）根据题意分段求解函数解析式，即可得答案；（2）由（1）可得的解析式，分段求解函数最值，比较即可得答案.【详解】（1）由题意知时，海里/小时；当时，设，则，解得，故；（2）由（1）可得，当时，，此时；当时，，当时，取到最大值为625；由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值，最大值为625．20．已知函数.(1)当时，求关于x的不等式的解集；(2)求关于x的不等式的解集；(3)若在区间上恒成立，求实数a的范围.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“ 大于看两边”得到原不等式的解集.（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.【详解】（1）当时，则，由，得，原不等式的解集为；（2）由，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（3）由即在上恒成立，得.令，则，当且仅当，即时取等号.则，.故实数a的范围是21．已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求实数和的值；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(3)若，求的取值范围．【答案】(1)，(2)函数在上是增函数；证明见解析(3)【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出.（2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案.【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，所以得，又因为，所以，经检验，当，时，是奇函数，所以，（2）由（1）可知，设所以因为，所以，，所以，即，所以函数在上是增函数．（3）由函数是定义在上的奇函数且，则，所以，解得，所以的取值范围是.22．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调减区间为(2)或【分析】（1）代入，将表达为分段函数判断即可；（2）将函数取绝对值可得函数单调性，结合题意可得函数在上最大值，最小值，再结合函数函数单调性与最值分析临界条件可得，进而求解绝对值不等式即可.【详解】（1）当时，，由二次函数单调性知在单调递减，在单调递减，∴的单调递减区间为（2）当时，，故在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，又函数在上既有最大值又有最小值，则最大值，最小值.当且时，有，解得，故，当且时，由，解得，故，∵，∴，∴，