安徽省县中联盟2023-2024学年高二数学上学期10月联考试题（Word版附解析）

2023~2024学年安徽县中联盟高二10月联考数学试题考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教版必修第一册､第二册，选择性必修第一册2.2结束.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，，则（）A.B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用复数相等列出方程组，求得的值，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由，可得，解得，则.故选：D.2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的方向向量得到直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又因为，所以，故选：C. 3.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】应用向量加法法则得到，再应用向量数量积的运算律求模.【详解】由题设，易知是边长为的正三角形，所以.故选：A4.已知直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转后与轴交于点，要使直线平移后经过点，则应将直线（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】求得旋转后直线的斜率、方程以及点的坐标，再根据直线平移即可求得结果.【详解】设直线的倾斜角为，则，旋转后的直线斜率为， 又点坐标为，所以旋转后的直线方程为，因为直线过点，所以把直线向右平移个单位长度后经过点，故选：D.5.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量及模的定义计算即得.【详解】因为共面，则存在实数，使得，即，于是，所以在上的投影向量的模为.故选：B6.光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程.【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故.由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为，即.故选：C.7.已知向量，集合，其中，则（）A.B.C.若，则为钝角D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据题意，令，求得，得到，可判定A、B错误；由，得到为锐角，可判定C错误；求得，可判定D正确.【详解】由向量，可得，令，可得，解得，此时，所以，所以A、B错误；又由，可得，所以为锐角，所以C错误；由向量，可得，所以D正确.故选：D.8.已知，则（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】采用放缩法和中间值比较大小，得到.【详解】因为，，故，，所以.故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，则（）A.B.C.为偶函数D.不等式的解集为【答案】AD【解析】【分析】根据题意，结合函数的单调性与奇偶性，可得判定A正确，B错误；结合函数的图象变换，可判定C错误；结合题意，分和，两种情况，结合函数的单调性，求得不等式的解集，可判定D正确.【详解】对于A中，由，且在上单调递减，可得，所以A正确；对于B中，由函数为奇函数，且在上单调递减，可函数的图象关于原点对称可知在上单调递减，且， 则，所以，所以B错误；对于C中，函数向左平移2个单位，可得为非奇非偶函数，所以C错误；对于D中，由函数是的奇函数，满足，且在上单调递减，可得，且在上单调递减，又由不等式，可得当时，，解得；当时，，解得，所以不等式的解集为，所以D正确.故选：AD.10.如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（）A.点关于直线的对称点的坐标为B.点关于点的对称点的坐标为C.夹角的余弦值为D.平面的一个法向量的坐标为【答案】AD【解析】【分析】对A：由以及对称点构成正方形，即可求得对称点坐标；对B：由中点坐标公式，即可判断；对C：利用余弦定理求得，即可判断；对D：写出平面中两个不共线的向量坐标，求平面法向量即可. 【详解】对A：设点关于直线的对称点为，则四边形为正方形，所以坐标为，A正确；对B：设点关于点的对称点为，则中点为，由得，B错误；对C：由，得，所以夹角的余弦值为，C错误；对D，因为，设平面的一个法向量的坐标为,，则，取得平面的一个法向量的坐标为，D正确；故选：AD.11.已知，点及直线，则（）A.直线恒过的定点在直线上B.若直线在两坐标轴上的截距相等，则C.若直线过第二、四象限，则D.若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则【答案】CD【解析】【分析】A选项，考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，得到所过定点，得到答案；B选项，分析出直线过原点或直线不过原点且斜率为-1两种情况，求出的值；C选项，根据直线的斜率小于0，得到；D选项，根据题意得到只有时满足题意，求出.【详解】对于，直线斜率不存在时，，得，直线方程为，直线斜率存在时，其方程为，得其过定点，综上，直线过点，其不在直线上，错误；对于，直线在两坐标轴上的截距相等，则直线过原点或直线不过原点且斜率为-1， 当直线过原点时，解得，直线不过原点且斜率为-1时，解得，错误；对于，直线过第二、四象限，则直线斜率，解得，正确；对于D，若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则该四边形对角互补，又直线过定点，经分析知只有时满足题意，此时直线的斜率为，D正确.故选：CD.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.都是周期函数，且有相同的最小正周期B.若在上有2个不同实根，则的取值范围是C.若方程在上有6个不同实根，则的值可以是D.若方程在上有5个不同实根，则的取值范围是 【答案】ABD【解析】【分析】求出周期可判断A；利用在上的单调性可判断B；根据都是最小正周期为2的周期函数，结合图象可判断C；结合图象可判断D.【详解】对于A，周期为，的周期为，所以都是周期函数，且最小正周期都是2，A正确；对于B，时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以，因为时，所以，所以的取值范围是，B正确；对于C，都是最小正周期为2的周期函数，，，在上两函数图象有1个交点，，在每个周期上两函数图象有2个交点，所以方程在上有5个实根，C错误；对于D，方程在上有5不同实根，，所以的取值范围是，D正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是结合函数的图象得到答案.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是随机事件，则“”是“与互斥而不对立”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可结合必要不充分条件求解.【详解】由不能得到与互斥而不对立，若与互斥而不对立，则，所以“”是“与互斥而不对立”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分14.已知平面的一个法向量，点，且，则__________.【答案】##5.25【解析】【分析】根据题意得到，从而得到，即可得到答案.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以.故答案为：15.已知点分别在直线上移动，若为原点，，则直线斜率的取值范围是__________. 【答案】【解析】【分析】根据斜率公式，求得斜率，结合的范围，即可求得结果.【详解】因为点分别在直线上移动，所以0，两式相减得，所以直线的斜率，因为，所以，所以，即直线斜率的取值范围是.故答案为：.16.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据截角四面体的定义，还原为正四面体，然后利用正四面体的相关性质即可求解.【详解】因为棱长为的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为 ，设其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，易知外接球球心在线段上，且垂直于平面与平面，则，所以，解得，所以该截角四面体的外接球的表面积为.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.17.已知直线.（1）若，求的值；（2）若，求过原点与点的直线的方程.【答案】（1）3或-1（2）.【解析】【分析】（1）根据直线平行得到关于a的方程，求出a，检验后得到答案；（2）根据直线垂直得到关于a的方程，求出，进而得到直线的方程.小问1详解】因为，所以，化简得，解得或， 当或时，与均不重合，所以的值为3或-1.【小问2详解】因为，所以，解得，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.（1）利用空间向量证明；（2）求的长.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论；（2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案.【小问1详解】证明：设，则构成空间的一个基底，，，所以，所以. 【小问2详解】由（1）知，所以.所以.19.2023年初ChatGPT引发人工智能热潮，中国的数字人技术厂商积极推动数字人技术的广泛应用和持续创新，下表为2023年中国AI数字人企业实力榜前8名：企业数字人丰富度数字人传播声量数字人应用潜力综合得分百度78089.085.084.1科大讯飞78.484.384.982.8360集团82.382.283.182.6小冰公式85.081.981.382.6华为77.090.079.181.7阿里巴巴77.078.884.180.4抖音集团77.080.980.979.8哗哩哗哩77.281.880.079.7（1）求这8家企业综合得分的极差及数字人丰富度的第45百分位数；（2）求这8家企业数字人应用潜力的平均数与方差（精确到0.1）；（3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，从前5个数据中任选2个数据，记事件“两数之和大于171.0”，事件“两数之差的绝对值”，判断事件A与事件是否相互独立.【答案】（1）4.4，77.2（2）平均数82.3，方差4.6 （3）事件A与事件相互独立.【解析】【分析】（1）利用极差的定义和百分数的定义进行计算；（2）先计算出平均数，进而求出方差；（3）列举法求古典概型的概率，得到事件，事件和事件的概率，进而得到事件A与事件相互独立.【小问1详解】这8家企业综合得分的极差为，因为，所以把数字人丰富度的8个数据按照从小到大排列，则第45百分位数为第4个数据77.2.【小问2详解】，，【小问3详解】把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，前5个数据依次为：，从中任取2个不同数据，结果有：，共有10种，，，，，，， ，即事件A与事件相互独立.20.已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点.（1）求的最小值；（2）若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围.【答案】（1）4（2）.【解析】【分析】（1）设的倾斜角为，根据题意求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解；（2）设的方程为，求得，得到，转化为方程有2个不同的正根，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：因为过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点，如图所示，可得斜率，设直线的倾斜角为，则，所以，可得，所以当时，即时，取得最小值.【小问2详解】 接：根据题意，设直线的方程为，即，可得，所以，整理得，因为对于每一个的值满足条件的值只有2个，所以该方程有2个不同的正根，则满足，解得，所以的取值范围是.21.已知中，内角所对的边分别为，且.（1）若的平分线与边交于点，求的值；（2）若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）联立所给等量可得，进而根据余弦定理即可求解，根据角平分线结合三角形面积公式可得，结合即可求解，（2）根据余弦定理，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】可得，解得，设，则，由余弦定理得，所以.因为为的平分线， 所以，又，则.【小问2详解】因为，由（1）得，设，由余弦定理得，所以，因为，所以，当时取等号，所以，所以，当时取等号，所以的最小值为.22.如图，在四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，.（1）求与平面所成角的正弦值； （2）若四棱柱的体积为16，点在棱上，且，求点到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解线面角大小，（2）求解法向量，根据点面距离的向量法即可求解.【小问1详解】因为四棱锥正四棱锥，连接交于点，则，连接，则平面，所以两两垂直.如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，因为，,则，设与交于点，则为的中点，所以，，所以，, 设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，直线的一个方向向量为，设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问2详解】因为四棱柱的体积为，所以，由（1）知，，.因为，则，所以，，设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，所以点到平面的距离为.