四川省成都市石室中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

成都石室中学2023-2024学年度上期高2026届10月月考数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.（D.【答案】A【解析】【分析】要计算，则所得的集合的元素必是两集合所共有的，然后验证即可.【详解】将代入，得，所以；将代入，得，所以；将代入，得，所以；将代入，得，所以，所以.故选：A2.下列各组函数中f（x）和表示相同函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据函数相等：对应关系相同，定义域相同，逐项分析判断.【详解】对A：的定义域为R，的定义域为，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，A错误； 对B：∵，解得或，则的定义域为，又∵，解得，则的定义域为，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，B错误；对C：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系不相同，定义域相同，C错误；对D：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系相同，定义域相同，D正确；故选：D.3.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】要使函数有意义，则有，解出即可.【详解】要使函数有意义，则有，解得且所以其定义域为故选：B4.下列函数中，值域为的是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【详解】由已知值域为，故A错误；时，等号成立，所以的值域是，B错误；因为定义域为，，函数值域为，故C正确；，，，所以，故D错误.故选：C.5.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元/超过但不超过的部分6元/超过的部分9元/若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,则当时元,不符合题意;当时,,令,解得,符合题意；当时,,不符合题意. 综上所述:此户居民本月用水量为15.故选：C.6.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为､､，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）A.B.3C.D.【答案】B【解析】【分析】由公式列出面积的表达式，代入已知，然后由基本不等式求得最大值．【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立﹐此三角形面积的最大值为3.故选：B．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方7.已知，且，则的最小值为（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以，令，则且，代入中得：当即时取“=”,所以最小值为1.故选：B8.对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断的奇偶性，然后对进行分类讨论，结合的单调性、最值求得的取值范围.【详解】，，当时，，的定义域为，，所以是偶函数，为偶函数，只需考虑在上的范围，当时，在单调递减， 对，，，恒成立，需，，.当，在上单调递增，，对，，，恒成立，，，，综上：故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】BCD【解析】【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，当时，，所以，所以，满足要求；当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，故选：BCD.10.符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数，，则下列说法正确的是（）A.B.是奇函数C.值域为D.函数在上单调递增【答案】ACD【解析】 【分析】先证明是的周期函数；对于选项A：根据直接计算；对于选项B：举例说明不成立；对于选项C：由周期函数知只需求当时的值域即可；对于选项D：由周期函数知在上单调与上单调性相同，只需判断在上单调性即可.【详解】所以是的周期函数，对于选项A：，故A正确；对于选项B：，，不恒成立，故不是奇函数，所以B错误；对于选项C：是的周期函数，当时，，所以在上的值域为，故C正确；对于选项D：由周期函数知在上单调与上单调性相同，当时，单调递增，故D正确.故选：ACD11.已知，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】通过对选项利用不等式性质进行拆解，在通过已知条件反证一一推导即可.【详解】对于选项A：，， ，，都大于零，故选项A错误；对于选项B：，，且，，，，，故选项B正确；对于选项C：当，时，，故选项C错误；对于选项D：，，，故选项D正确.故选：BD12.若，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值是C.的最大值为D.的最小值为 【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式对每个选项进行判断即可【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为，故正确；对于B，因为，所以所以，（当且仅当即时取等号，故等号不取），（当且仅当即时取等号，故等号不取），所以，故错误；对于C，因为，所以，所以，当且仅当即时，取等号，故正确；对于D，，当且仅当即时，取等号，故正确故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题：都成立，命题：，若命题都是真命题，则实数的取值范围是__________.（用区间表示）【答案】【解析】【分析】利用命题的真假、一元二次不等式的解法、一元二次方程判别式运算即可得解.【详解】解：∵命题是真命题，∴都成立，当时，恒成立； 当时，由，解得：.∴由命题是真命题知.∵命题真命题，∴，∴，即，解得：或.∴由命题是真命题知或.∵命题都是真命题，∴.∴实数的取值范围是.故答案为：.14.已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为______．【答案】－4【解析】【分析】画出函数图像，找较低图像的最高点.【详解】画出两函数图像可得，函数与的交点为，所以，所以，故答案为：15.已知是上的严格增函数，那么实数的取值范围是_____________． 【答案】【解析】【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数与二次函数的单调性得到关于的不等式，解之即可.【详解】因为是上的严格增函数，当时，在上单调递增，所以，则；当时，，当时，，显然在上单调递减，不满足题意；当时，开口向下，在上必有一段区间单调递减，不满足题意；当时，开口向上，对称轴为，因为在上单调递增，所以，则；同时，当时，因为在上单调递增，所以，得；综上：，即.故答案为：.16.已知正实数，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】利用不等式进行求解即可.【详解】， 当且仅当且时，取等号，即当且仅当时，等号成立，故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.全集，集合，集合，其中．（1）当时，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A、B，结合并集的概念和运算即可求解；（2）根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合补集的定义和运算与充分条件、必要条件的概念即可求解.【小问1详解】，当时，所以；【小问2详解】由，得，所以集合，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，所以B是A的真子集，所以且等号不同时成立，解得． 即实数a的取值范围是．18.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．（1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论）【答案】（1）图象见解析，函数的单调递增区间为（2）（3）【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；（2）利用函数是偶函数，求函数的解析式；（3）利用数形结合，转化为与有4个交点，求的取值.【小问1详解】单调递增区间为.【小问2详解】 设，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以当时，.故的解析式为【小问3详解】因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点，结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有个交点，所以.19.已知函数，.（1）判断该函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在上的单调性，并证明.【答案】（1）函数为奇函数，理由见解析（2）在上是增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可求的解析式及定义域，利用奇偶函数的定义判断即可.（2）利用函数单调性，按照取值、作差、变形、判号、下结论的步骤即可证明.小问1详解】由可得，所以易知定义域为关于原点对称，且满足 所以为奇函数；【小问2详解】函数在上是增函数，理由如下取，且，则由，且，所以，因此可得，即，即在上是增函数.20.已知是定义在上的奇函数，且（1）求的解析式；（2）记的值域为集合A，集合，若，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求得，进而求得.（2）根据函数值域的求法求得，根据列不等式，从而求得的取值范围.【小问1详解】由于是奇函数，且，所以，解得，经检验成立，所以. 【小问2详解】由（1）得，，当时，，，当且仅当时等号成立，所以.当时，，当且仅当时等号成立，所以，综上所述，的值域又，所以，解得，所以的取值范围是.21.某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元． （1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；（2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.【答案】（1）（2），118000元【解析】【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，，且，则，则【小问2详解】由（1）可知，当且仅当时，即时，等号成立，所以，当米时，元.22.已知，函数．（1）当时，若对任意都有，证明：；（2）当时，证明：对任意的充要条件是；（3）当时，讨论：对任意的充要条件．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】 【分析】（1）由题意，即可得证；（2）分别证必要性与充分性，即必要性：任意；充分性：（3）时，证，由，可得，再证可得，即可求解【小问1详解】根据题意，对任意都有，又，所以，因为，所以；【小问2详解】必要性：任意，据此可推出，即，所以；任意，因为，可得，可推出，即，所以；所以；充分性：因为，，对任意，可推出，即， 因为，，对任意，可推出，即，所以，即；综上可知：当时，对任意的充要条件是；【小问3详解】因为，，对任意，可推出，即；，即，又，即；所以当，时，对任意的充要条件是