四川省成都市石室中学2023-2024学年高三数学（理）上学期10月月考试题（Word版附答案）

成都石室中学2023-2024年度上期高2024届十月月考数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知集合，，则　　A．B．C．D．2．若，则复数在复平面上对应的点在　　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题，使，命题关于直线对称，下面结论正确的是　　A．命题“”是真命题B．命题“”是假命题C．命题“”是真命题D．命题“”是假命题4．已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则A．1或B．2或C．2或D．或5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是　　A．B．C．D．6．已知函数，设，则，，的大小关系为　　A．B．C．D．7．函数的图象大致为　　A．B．C．D．8．已知向量，，则的值是　　A．B．C．D． 9．2025年四川省新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰有四科相同的概率是　　A．B．C．D．10．已知动圆M恒过点，且与直线相切，设圆心M的轨迹方程曲线，直线与曲线交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则　　A．B．C．D．11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．12．已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若为偶函数，则实数.14.圆与圆的公共弦长为.15．已知三棱锥底面是边长为的等边三角形，平面底面，，则三棱锥的外接球的表面积为.16．已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率. 三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．（本小题满分12分）设为数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作．为做好全省的迎检工作，成都市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数近似服从正态分布，其中近似为样本平均，近似为样本方差．①求；②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间，的人数为，试求．附：参考数据：，若随机变量服从正态分布，则，，．19．（本小题满分12分）如图，在几何体中，平面四边形是菱形，平面平面，，且，，．（1）证明：（2）若二面角是直二面角，求直线与直线所成角的余弦值． 20．（本小题满分12分）动圆C与圆M：外切，与圆N：内切.（1）求动圆C的圆心C的的轨迹方程；（2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数和函数.（1）求函数的极值；（2）设集合，(b为常数).①证明：存在实数b，使得集合中有且仅有3个元素；②设，，求证：.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（本小题满分10分）已知点在曲线上．（1）求动点的轨迹C的直角坐标方程；（2）过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．（本小题满分10分）已知任意，都有.（1）求实数的取值范围； 成都石室中学2023-2024年度上期高2024届十月月考数学试题（理）参考答案1．已知集合，，则　　A．B．C．D．解：已知集合，，则由集合的运算和集合的关系可得：，正确；故选：．2．若，则复数在复平面上对应的点在　　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：，则复数．对应点，在第一象限．故选：．3.已知命题，使，命题关于直线对称，下面结论正确的是　　A．命题“”是真命题B．命题“”是假命题C．命题“”是真命题D．命题“”是假命题解：命题，使，为真命题，为假命题命题为假命题，则非为真命题：命题“”为假命题为真命题：“”为假命题：“”假命题故选：．4．已知等比数列的前项和为，且数列成等差数列，则　　A．1或B．2或C．2或D．或解：设等比数列的公比为，由，，成等差数列可得，， 即，化简得，解得或，当时，，当时，．故选：．5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是　　A．B．C．D．该几何体是棱长分别为2，2，1的长方体中的三棱锥，其中：，该几何体的表面积为：．故选：．6．已知函数，设，则，，的大小关系为　　A．B．C．D．解：的定义域为，函数为偶函数，所以在上为增函数，所以，因为，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故选：．7．函数的图象大致为　　A．B．C．D．解：函数是非奇非偶函数，排除、，函数的零点是，当时，（e），排除选项．故选：．8．已知向量，，则的值是　　 A．B．C．D．，．故选：．9．2025年四川省新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程都没有偏好，则他们选六科中恰有四科相同的概率是　　A．B．C．D．答案：B10．已知动圆M恒过点，且与直线相切，设圆心M的轨迹方程曲线，直线与曲线交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则　　A．B．C．D．解：如图所示，抛物线．，解得．联立，化为：．，解得，则．故选：．11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去）， 所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以，即的取值范围是．故选：C.12．已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（）A．B．，C．D．由题设，的定义域为，且，∴当时，，即递减；当时，，即递增.∴，又在上逐渐变小时逐渐趋近于0，当时且随趋向于0，趋向无穷大.∴的图象如下：∵的定义域为，由可得：在上必有两个不等的实根(假设)且，∴令，要使的3个实根，则、，即，可得 .∴由知：，，∴.故选：B.一、选择题题号123456789101112答案BADCBACDBCCB二、填空题13.1;14.;15.;16..三、解答题17．解：（1）由，得，两式相减得，………………..3分当时，，则，………………..4分所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以；………………..6分（2），………………..7分的前项和为………………..12分（分组求和中，求对一个数列和，单独给2分）18．（1）解：（1）由题意得，，所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；………………..6分（2）①由（1）可知，，则②由①可知1名学生的体重位于，的概率为0.819，………………..8分依题意，服从二项分布，即，， 则………………..12分19．证明：（1），，………………..1分平面平面，面平面，，………………..3分………………..5分解：（2）设与的交点为，由（1）得，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，……………..6分平面，，，，，．设，，由题设得，0，，，0，，，，，，设，，是平面的法向量，则，取，得，设是平面的一个法向量，则，取，得，1，…..8分二面角是直二面角，，解得，………………..10分，直线AE与直线FC所成角的余弦值为………………..12分20．（1）设动圆的半径为，由题可知，，从而 ，所以圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，轨迹方程为………………..4分（2）由可知平分，直线的斜率互为相反数，即，...........………………..6分设，由得，，即有，...........………………..7分而，则，即...............................................8分于是，.化简得：，..................................9分且又因为在椭圆上，即，即，，从而，，又因为不在直线上，则有，即，所以为定值，且......................................12分（若答案正确，没有过程，给答案分2分）21.（1）因为，则，当时，；当时，；则在上单调递增，在上单调递减，可知有极大值；无极小值........................3分 （2）令因为，则在上单调递增，在上单调递减，且，，在上单调递增，在上单调递减，且，，所以在上单调递减，因为，，所以存在唯一的，使得，........................5分令则由图像可知，有两个解，不妨记为，有两个解，不妨记为，从而，故存在实数，使得集合中有且仅有3个元素；得证........................7分（3）此时，且，因为，则，即，........................8分因为，，且在上单调递增，所以，可得，........................9分又因为，则，即，......................10分且，，在上单调递减，所以，则，........................11分所以，即，又因为，且，故........................12分22.（1）由题意，曲线的参数方程为，为参数， 则，再设，则，为参数，........................2分消去参数，得到，故点M的轨迹C的方程为．.......................5分（若没有限制范围，扣1分）（2）设的参数方程为（t为参数），且，代入曲线C的方程得，......................7分设A，B两点对应得参数分别为，，则，所以，则，即直线l的斜率为．.....................10分23.（1）由题意记，.....................2分所以在上单调递减，在上单调递增.因此的最小值，.....................4分由题可知，所以实数的取值范围是....................5分（2）由（1）知,且均为正数，所以，由基本不等式，，，