四川省成都市石室中学2022-2023学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

成都石室中学2022～2023学年度上期高2025届十月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据补集的概念求出，再根据并集运算即可求出结果.【详解】由题意可知，又，所以.故选:A.2.设命题：任意的，，则为（）A.不存在，B.存在，C.任意，D.存在，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答．【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：任意的，，则为“存在，”．故选：D．3.下列各组函数中，表示相等函数的是A.与B.与C.与D.与【答案】C【解析】【详解】逐一考查所给的函数：A.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数；B.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数； C.与的定义域都是全体实数，对应法则一致，是同一个函数；D.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数；本题选择C选项.4.已知函数，则（）A3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式直接计算求值.【详解】∵，∴，∴．故选：A5.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用换元法求解析式即可.【详解】令，则，∴，∴. 故选：B6.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据题意，由不等式的性质，分别举出反例，即可得到结果.【详解】对于A，若，则不成立，故A错误；对于B，若，则不成立，故B错误；对于C，将两边同时除，可得，故C正确；对于D，取，可得不成立，故D错误；故选：C7.设，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对变形后，利用基本不等式求解.【详解】，则，，当且仅当时，等号成立，则.故选：D.8.若，且恒成立，则a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】转化为在恒成立，令，分、、讨论，再结合对称轴的位置和特殊点的函数值可得答案.【详解】因为，所以，即在恒成立，令，时，由，方程无解；由，解得由；由，方程组无解； 时，只须即可，解得；时，，时单调递减，，满足题意；综上所述，.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.B.的值域为C.的解集为D.若，则或1【答案】BC【解析】【分析】将代入可判断A；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可判断B；分别在和的情况下，根据解析式列出不等式和方程求解可判断CD.【详解】对于A，，A错误；对于B，当时，；当时，；的值域为，B正确； 对于C，当时，，解得：；当时，，解得：；的解集为，C正确；对于D，当时，，解得：（舍）；当时，，解得：（舍）或；的解为，D错误.故选：BC.10.若实数a，b满足，则下列说法正确的有（）A.的取值范围为B.的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；【详解】由，两式相加得，即，故A正确；由，得，又，两式相加得，即，故B正确；设，所以，解得，则，因为，所以，又因为，所以，所以，即，故C正确，D错误.故选：ABC.11.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（） A.B.C.的解集为D.的解集为或【答案】ABC【解析】【分析】由题意可得的两个根为1和3，且，利用韦达定理得，再逐个分析判断即可.【详解】因为不等式的解集为或，所以两个根为1和3，且，由韦达定理得，得，因为，所以A正确，因为，所以B正确，不等式可化为，因为，所以，得，所以的解集为，所以C正确，不等式可化为，因为，所以，即，得，所以不等式的解集为，所以D错误.故选：ABC.12.若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（）A.有最小值2B.有最小值4C.有最小值2D.有最大值【答案】ACD【解析】 【分析】依题意，根据基本不等式可判断选项A、B；对于选项C，先平方，再由选项A可求出最小值；对于选项D，通分化简为可求最值.【详解】依题意，，由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，有最小值2，选项A正确；，当且仅当时，等号成立，有最小值2，选项B错误；,当且仅当时，等号成立，所以有最小值为2，选项C正确；，如上式取最大值，须，且取最小值，，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，选项D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】由题可得，解得且；的定义域为：．故答案为：.14.已知：，且，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】根据给定的条件，借助集合的包含关系列出不等式，求解作答.【详解】因集合，，由得：，当，即时，，则，当时，则，解得，综上，即实数的取值范围是.故答案为：.15.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费(单位：万元)与仓库到车站的距离(单位：km)成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比．若在距离车站4km处建仓库，则和分别为5万元和3.2万元，这家公司应该把仓库建在距离车站__________千米处，才能使两项费用之和最小.【答案】5【解析】【分析】设，，根据题中信息求出和的值，进而可得出两项费用之和关于的表达式，利用基本不等式可求出的最小值，由等号成立求出对应的值，可得出结论.【详解】设，，，当时，，，∴，， ∴，，∴两项费用之和为，当且仅当时，即当时等号成立，则应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元．故答案为：5.16.已知函数，且当时，总有，若，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由题意在是单调增函数，再利用函数的单调性解不等式即可．【详解】由题意在是单调增函数，则转化为，解得：，所以实数的取值范围是，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知非空数集.（1）当，求；（2）若，求实数的取值范围.（请从①；②；③；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）（2）选①，；选②，或；选③，.【解析】 【分析】解出集合后，直接利用集合的并集运算性质即可.若选①，根据集合关系列出不等式，求解即可；若选②，根据条件得到,列出不等式求解即可；若选③，利用否命题为真时，求出的范围，利用补集运算即可.【小问1详解】当时，又，所以.【小问2详解】若选①，因为，则，解得故实数的取值范围为.若选②，因为，所以且A为非空集合，故有或者，解得或故实数的取值范围为或.若选③，因为的否命题是，结合②知，当为真时，实数的取值范围为.18.已知集合.（1）当时，求实数的值；（2）若时，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由解方程求出的值，再检验即可；（2）由得出，结合子集的定义得出可能为，，， ，分别讨论这四种情况，得出实数的取值范围．【小问1详解】，∵，∴，即，解得或.当时，，符合题意；当时，，，不合题意，综上，．【小问2详解】∵，∴，即可能为，，，.当时，，即，解得或，当集合中只有一个元素时，，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，由根与系数的关系可知，又，解得，∴所求实数的取值范围是．19.已知二次函数的两个零点为和，且方程的两根相等.（1）求函数解析式；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【解析】【分析】（1）根据题意，设，，然后由条件列出方程，即可得到结果； （2）根据题意，将不等式化简可得，然后分类讨论即可得到结果.【小问1详解】因为二次函数的两个零点为和，设，，且方程的两根相等，即有两相等实根，化简可得，，即，解得，所以.【小问2详解】不等式，即，化简可得，，即，当时，解得；当时，解得；当时，无解；综上，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.20.已知.（1）若，且，求的最小值；（2）求证：函数在上单调的充要条件是.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，结合1的妙用及基本不等式求解；（2）结合二次函数的性质，一元二次不等式的解法及充要条件的概念证明.【小问1详解】若，则，即，∵，，∴， ，当且仅当时取等号，∴的最小值为1.【小问2详解】充分性：当时，即，解得或，从而或，∵的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，∴函数在上单调.必要性：当函数在上单调时，∵的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，∴或，从而得或，∴，即，即.所以，函数在上单调的充要条件是.21.2022年9月22日，中国政府提出双碳目标两周年之际，由《财经》杂志、《财经十一人》、中创碳投联合主办的第二届“碳中和高峰论坛”在京落幕.过去一年，全球地缘政治重构，低碳转型先驱欧洲陷入能源危机，中国也不时出现煤荒电荒.在此背景下，与会专家观点各异，共识是低碳转型大势所趋，不会被暂时的波动所动摇.为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析：全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）请写出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）（2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1） （2）2022年的总产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为4250万元【解析】【分析】（1）分和两种情况利用利润＝售价－成本可求出的解析式；（2）由（1）得到，根据分段函数的性质，分类讨论当和时的最大值，比较大小即可得答案.【小问1详解】由题意得当时，，当时，，所以，【小问2详解】由（1）得，当时，，所以当时，取得最大值4250，当时，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值4070，因为，所以当，即2022年的总产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为4250万元.22.已知二次函数.（1）若当时，函数取得最小值2，且，求方程的实数根； （2）若对任意，恒成立，求的最大值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据题意，设，然后再由条件列出方程，即可得到函数的解析式，即可求解方程；（2）根据题意，令，可得，再由可得，即可求得的最大值，然后再由检验即可.【小问1详解】因为当时，函数取得最小值2，故可设，且，又因为，即，解得，所以，即，则方程，化简可得，解得，.【小问2详解】令，则，所以，因为对任意，恒成立，所以恒成立，所以，，所以，此时，所以，当时取等号，此时，成立，即成立，