四川省成都市石室中学2023-2024学年高三数学（文）上学期10月月考试题（Word版附答案）

成都石室中学2023-2024年度上期高2024届十月月考数学试题（文）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知集合，，则　　A．B．C．D．2．若，则复数在复平面上对应的点在　　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题关于轴对称，命题，，使下面结论正确的是　　A．命题“”是真命题B．命题“”是假命题C．命题“”是真命题D．命题“”是假命题4．已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则A．1或B．1或C．2或D．或5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是　　A．B．C．D．6．已知函数，设，则，，的大小关系为　　A．B．C．D．7．函数的图象大致为　　A．B．C．D．8．已知向量，，则的值是　　A．B．C．D． 9．在区间，上随机取两个数，，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则　　A．B．C．D．10．已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则　　A．B．C．D．11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．12．已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若为偶函数，则实数.14.圆与圆的公共弦长为.15．已知三棱锥底面是边长为的等边三角形，棱底面，，则三棱锥的外接球的表面积为.16．已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率. 三、解答题（本题共6道小题，17题10分，其余各题12分，共70分）（一）必考题：共60分。17．（本小题满分12分）设为数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作．为做好全省的迎检工作，成都市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从健康指数在的两组中利用分层抽样抽出7人进行电话回访，并再随机抽出2人赠送奖品，求从7人中抽出的2人来自不同组的概率.19．（本小题满分12分）如图，在几何体中，平面四边形是菱形，平面平面，，且，，．（1）证明：；（2）若，求点B到平面AEF的距离．20．（本小题满分12分）动圆C与圆M：外切，与圆N：内切.（1）求动圆C的圆心C的的轨迹方程；（2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），若，判断 是否为定值？并说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数和函数.（1）求函数的极值；（2）设集合，(b为常数).①证明：存在实数b，使得集合中有且仅有3个元素；②设，，求证：.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（本小题满分10分）已知点在曲线上．（1）求动点的轨迹C的直角坐标方程；（2）过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．（本小题满分10分）已知任意，都有.（1）求实数的取值范围；（2）若（1）问中的最大值为，正数a，b，c满足，求证：.成都石室中学2023-2024年度上期高2024届十月月考数学试题（文）参考答案1．已知集合，，则　　A．B．C．D．解：已知集合，，则由集合的运算和集合的关系可得：，正确；故选：． 2．若，则复数在复平面上对应的点在　　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：，则复数．对应点，在第一象限．故选：．3．已知命题关于轴对称，命题，，使下面结论正确的是　　A．命题“”是真命题B．命题“”是假命题C．命题“”是真命题D．命题“”是假命题：命题“”为假命题为真命题：“”为假命题：“”假命题故选：．4．已知等比数列的前项和为，且数列成等差数列，则A．1或B．1或C．2或D．或解：设等比数列的公比为，由，，成等差数列可得，，即，化简得，解得或，当时，，当时，．故选：．5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是　　A．B．C．D．该几何体是棱长分别为2，2，1的长方体中的三棱锥，其中：，该几何体的表面积为：．故选：． 6．已知函数，设，则，，的大小关系为　　A．B．C．D．解：的定义域为，函数为偶函数，所以在上为增函数，所以，因为，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故选：．7．函数的图象大致为　　A．B．C．D．解：函数是非奇非偶函数，排除、，函数的零点是，当时，（e），排除选项．故选：．8．已知向量，，则的值是　　A．B．C．D．解：，．故选：．9．在区间，上随机取两个数，，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则　　A．B．C．D．解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分），，，，，，则阴影部分的面积， ，，，即，故选：．10．已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则　　A．B．C．D．解：如图所示，抛物线．，解得．联立，化为：．，解得，则．故选：．11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得， 解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以，即的取值范围是．故选：C.12．已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（）A．B．C．D．由题设，的定义域为，且，∴当时，，即递减；当时，，即递增.∴，又在上逐渐变小时逐渐趋近于0，当时且随趋向于0，趋向无穷大.∴的图象如下：∵的定义域为，由可得：在上必有两个不等的实根(假设)且，∴令，在上必有两个不等的实根(假设)且 ，的3个实根，则、，即，可得.∴由知：，，∴.故选：B.一、选择题题号123456789101112答案BDDBBACABCCB二、填空题13.1;14.;15.;16..三、解答题17．解：（1）由，得，两式相减得，………………..3分当时，，则，………………..4分所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以；………………..6分（2），………………..7分的前项和为..12分18．解：（1）由题意得，，所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；………………..6分（2）由题意知抽取的7人中，（不及格）有4人，记为；有3人，记为，，．随机试验的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个，其中来自不同组的结果有：，，，，，，，，，，，共12个，所以所求概率为………………..12分 19．证明：（1），，………………..1分平面平面，面平面，，………………..3分………………..5分解(2)，，，………………..7分设点B到平面AEF的距离为。平面平面，面平面，，平面，………………..8分………………..9分,点B到平面AEF的距离为………………..12分20．（1）设动圆的半径为，由题可知，，从而，所以圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，轨迹方程为………………..4分（2）由可知平分，直线的斜率互为相反数，即，...........………………..6分 设，由得，，即有，...........………………..7分而，则，即...............................................8分于是，.化简得：，..................................9分且又因为在椭圆上，即，即，，从而，，又因为不在直线上，则有，即，所以为定值，且......................................12分（若答案正确，没有过程，给答案分2分）21.（1）因为，则，当时，；当时，；则在上单调递增，在上单调递减，可知有极大值；无极小值........................3分（2）令因为，则在上单调递增，在上单调递减，且，，在上单调递增，在上单调递减，且，， 所以在上单调递减，因为，，所以存在唯一的，使得，........................5分令则由图像可知，有两个解，不妨记为，有两个解，不妨记为，从而，故存在实数，使得集合中有且仅有3个元素；得证........................7分（3）此时，且，因为，则，即，........................8分因为，，且在上单调递增，所以，可得，........................9分又因为，则，即，......................10分且，，在上单调递减，所以，则，........................11分所以，即，又因为，且，故........................12分22.（1）由题意，曲线的参数方程为，为参数，则，再设，则，为参数，........................2分消去参数，得到， 故点M的轨迹C的方程为．.......................5分（若没有限制范围，扣1分）（2）设的参数方程为（t为参数），且，代入曲线C的方程得，......................7分设A，B两点对应得参数分别为，，则，所以，则，即直线l的斜率为．.....................10分23.（1）由题意记，.....................2分所以在上单调递减，在上单调递增.因此的最小值，.....................4分由题可知，所以实数的取值范围是....................5分（2）由（1）知,且均为正数，所以，由基本不等式，，，所以，当且仅当时等号成立，即.....................10分