安徽省合肥市第十中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

高一年级学业绿色质量评价数学试卷时长：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为，所以.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由得，再利用充分条件、必要条件的定义即得.详解】由得，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：．3.已知集合，，则集合非空真子集的个数为（）A.14B.15C.30D.62【答案】D【解析】【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，由集合B中元素的条件得到集合B，再求集合，由集 合中元素的个数，判断非空真子集的个数.【详解】不等式解得，由，得集合，则集合，所以集合，集合中有6个元素，所以集合的非空真子集的个数为．故选：D．4.若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先利用解集的区间端点值，代入方程中，解出，再将其代入中，直接解一元二次方程即可.【详解】由题意可知，和是关于的方程的解，将其代入方程得解得,所以即，化简得，解得.即不等式的解集是.故选：C5.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【详解】当时，即当时，，合乎题意；当时，即当时，由可得，解得，此时.综上所述，.故选：A.6.若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（）A.或B.C.D.【答案】C【解析】【分析】集合是空集的时候满足题意，求无解时的取值范围即可.【详解】集合的子集只有一个，所以集合是空集，当时，，满足条件；当时，有，即，集合是空集，满足条件，综上所述，集合的子集只有一个时，，故选：C.【点睛】本题考查了集合的性质，空集的性质.7.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为为真命题，所以或， 对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，故选：A8.若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.【详解】不等式化为，即，当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意；当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知，不等式的解为，由题意，，解得；当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a的取值范围是.故选：C二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列四个命题：其中不正确的命题为（）A.是空集B.若，则；C.集合中只有一个元素D.集合是有限集.【答案】ABD 【解析】【分析】根据数集的概念、空集的概念、集合的分类以及元素与集合的关系进行判断.【详解】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误；对于B：当时，，则，故B错误；对于C：只有一个元素，故C正确；对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误.故选：ABD.10.对于实数，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，故A错误；对于B，因为，所以，，所以，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，取，满足，而，故D错误.故选：BC.11.已知正数a，b满足，则（）A.ab的最大值为B.的最小值为4 C.的最小值为D.的最大值为【答案】AB【解析】【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【详解】对于选项A，正实数，满足，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则A正确；对于选项B，，当且仅当时取等号，则B正确；对于选项C，，当且仅当时取等号，即，则C错误；对于选项D，，则，，当且仅当，即时，取等，但，故等号无法取到，故D错误．故选：AB.12.对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（）A.若且，则B.若且，则C.若且，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据定义，得到，对四个选项一一验证.【详解】根据定义.对于A：若,则,,, ,∴,故A正确;对于B：若,则,,,,∴,故B正确;对于C：若,则,,则.故C错;对于D：左边,右边所以左=右.故D正确.故选：ABD.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.命题“，”的否定是___________．【答案】，【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可.【详解】解：命题“，”为全称量词命题，其否定为：，.故答案为：，14.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】由集合，得出，，进而得出结果.【详解】由集合，得出，，解得，，当，时，，满足题意，此时; 当，时，，满足题意，此时.故答案为：.【点睛】本题考查集合相等，属于基础题.15.若实数x，y满足，，则的取值范围为______．（用区间表示）【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质由条件求出的取值范围，将结果用区间表示即可.【详解】因为，，所以，，所以，所以的取值范围为，故答案为：.16.已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是_________.【答案】或【解析】【分析】将不等式分离常数，再结合基本不等式求得，进而求得的取值范围.【详解】因在上恒成立，即≤2在x>0上恒成立，因为，当且仅当x＝1时等号成立.所以≤4，解得a<0或a≥.故答案为：或【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合，，.（1）若，求；.（2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据并集、补集、交集的概念进行计算；（2）根据交集为空集列出不等式，求得结果即可.【小问1详解】若时，，又∴，由或所以.【小问2详解】由知或或.18.（1）当时，求的最大值；（2）设，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先进行变形，再结合基本不等式得出结果；（2）设，利用换元法结合基本不等式得出结果.【详解】（1），当且仅当，即时等号成立， （2）由题意，设，则，则，当且仅当时，即时，即时取等号，所以函数的最小值为.19.设全集，集合，非空集合，其中．（1）若“”是“”的必要条件，求的取值范围；（2）“，”为真命题，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得出，从而列出不等式组，求的范围即可，（2）由题意可知，当时，能成立，根据二次函数的性质可得答案．【小问1详解】若“”是“”的必要条件，则，又集合为非空集合，故有，解得，所以的取值范围，【小问2详解】“，”为真命题，即当时，能成立，因为时，单调递减，所以，即的取值范围．20.第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40元（2）10.2万件，30元【解析】【分析】（1）设每件定价为t元，依题意列出不等式，结合一元二次不等式的解集公式求得结果；（2）改革后的销售收入为元，总投入包括技改费用、固定宣传费用、浮动宣传费用，列出不等式结合基本不等式进行求解.【小问1详解】设每件定价为t元，依题意得，整理得，解得.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元.【小问2详解】依题意，，不等式有解等价于时，有解（当且仅当时，等号成立）．此时该商品的每件定价为30元当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．21.已知关于不等式的解集为或.（1）求的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出､的值；（2）由题意可得，结合基本不等式，求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可.【小问1详解】因为不等式的解集为或，所以1和是方程的两个实数根且，所以，解得或（舍）.小问2详解】由（1）知，于是有，故当且仅当，时，即时，等号成立.依题意有，即，得，所以的取值范围为.22.已知．（1）若对，求实数a的取值范围；（2）当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）题意可转化成，恒成立，利用基本不等式求的最小值即可；（2）将不等式整理成，分，和三种情况进行讨论，即可得到答案【小问1详解】依题意得，即，恒成立，所以只需，又（当且仅当时取等号），所以，所以，即，故实数a的取值范围为；【小问2详解】不等式即化简为，，当时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，综上，当时，解集为；当时，解集为；时，解集为．