广东省深圳中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

深圳中学2022-2023学年度第一学期期中考试试题高一数学考试时长：120分钟卷面总分：150分注意事项：答案写在等题卡指定的位置上.写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B铅笔.一、单选题（每小题5分，共40分.每个小题仅有一个答案是正确的）1.设全集U＝R，集合，，则集合（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出，由交集的定义即可得出答案.【详解】因，所以或，所以.故选：C.2.已知函数．则的值为（）A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，将代入，可得，故选：．3.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；若幂函数在上是减函数，则，解得或故必要性不成立因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A4.已知，，且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.【详解】由，，得：，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故选：C.5.已知（且，且），则函数与图像可能是（） AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【详解】，即为，即有ab＝1；当a＞1时，0＜b＜1，函数与均为减函数，四个图像均不满足，当0＜a＜1时，b＞1，函数数与均为增函数，排除ACD，在同一坐标系中的图像只能是B，故选：B．6.已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）A.a∈(0,1)B.a∈[,1)C.a∈(0,]D.a∈[,2)【答案】C【解析】 【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是减函数，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：C．7.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8.我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量 ，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.7.52h【答案】C【解析】【分析】利用已知条件，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为，转化求解即可.【详解】解：由题意得：设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为故，故该新药对病人有疗效的时长大约为故选：C二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，则D.函数的最小值是2【答案】BC【解析】【分析】对于A选项，取特殊值即可判断正误；对于B、C选项，根据不等式的运算性质即可判断正误；对于D选项，将函数化简为，，然后根据对勾函数的单调性即 可判断正误【详解】对于A选项，取，，，则，故错误；对于B选项，，，，，故B正确；对于C选项，，，，，故C正确；对于D选项，函数，令，由函数在上单调递增，，故D错误.故选：BC10.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.函数（且）的图象恒过定点C.为奇函数D.函数的单调递增区间为，【答案】BCD【解析】【分析】根据全称量词命题的否定可判断A，利用对数函数的性质可判断B，根据奇函数的定义可判断C，根据二次函数的性质可判断D.【详解】因为命题“，”的否定是“，”，故A错误；因为，令，可得，即函数图象恒过定点，故B正确；因为，可知定义域为关于原点对称，又，故函数为奇函数，故C正确； 因为，所以函数的单调递增区间为，，故D正确.故选：BCD.11.关于函数，下列结论中正确的是（）A.当时，是增函数B.当时，的值域为C.当时，是奇函数D.若的定义域为，则【答案】ACD【解析】【分析】根据复合函数的单调性可判断A，根据指数函数的性质及不等式的性质可得函数的值域可判断B，根据奇函数的定义可判断C，根据指数函数的性质及基本不等式可判断D.【详解】当时，，由函数单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确；因为，，所以，故B错误；当时，定义域为R，而，所以是奇函数，故C正确；若的定义域为，则恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以，故D正确.故选：ACD.12.已知函数，若非空集合，，，则下列说法中正确的是（） A.为常数B.的取值与有关C.D.【答案】AC【解析】【分析】不妨设的解集为，可得，由，解得或，又，为方程的两个根，可得，进而求出的取值范围．【详解】不妨设的解集为，则有，∴，由，得且，由(1)得，故A正确，B错误；∴，∵，D，解得或，又，为方程的两个根，∴，∴，解得，∴，故C正确，D错误.故选：AC.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.若，且，则实数的值为______.【答案】18【解析】【分析】由指对数互化可得，，代入题设等式，结合换底公式及对数运算性质即可求k的值.【详解】由题设，，， 所以，则.故答案为：18.14.已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________.【答案】【解析】【分析】根据奇函数定义即得.【详解】当时，，则，因为函数为奇函数，所以，即.所以当时，.故答案为：.15.方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．【详解】∵方程的一根大于1，另一根小于1，令，则，解得.故答案为：.16.不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】先根据对数函数确定取值范围，在判断和的单调性以及特殊点点大小，最后根据双方单调性以及临界值得到解集. 【详解】根据对数函数性质可知令根据幂函数单调性可知在单调递减，所以在单调递减且，当时，时令，当时，时因此当时，故答案为:四、解答题（共6小题，共70分，其中17题10分，其余题目都是12分）17.已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，求解即可；（2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围．【小问1详解】由集合，所以，又，，所以，解得；所以实数的取值范围是． 【小问2详解】若，则，当时，，解得；当时，有，要使，则，解得，综上，实数的取值范围是．18.已知函数.（1）画出的图象；（2）求的解集.【答案】（1）图象见解析；（2）或.【解析】【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数，再画出函数的图象；（2）根据分段函数，分段解不等式即得.【小问1详解】当时，；当时，；当时，； 故，函数图象如图所示：；【小问2详解】由题得，当时，，解得，则；当时，，解得，则；当时，，解得，则；综上，的解集为或.19.设且，函数的图象过点.（1）求的值及的定义域；（2）求在上的单调区间和最大值.【答案】（1），（2）单调增区间为，单调减区间为；最大值为2【解析】【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可；（2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可.【小问1详解】∵函数的图象过点， ∴，∴，即，又且，∴，要使有意义，则，∴的定义域为；【小问2详解】，令∵，∴的最大值为4，此时，且在单调递增，单调递减∴在上的单调增区间为，单调减区间为，最大值为2.20.已知函数为奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性（不必证明）；（3）解关于的不等式.【答案】（1）（2）单调递增（3）【解析】【分析】（1）根据求出，再由奇函数的定义验证即得；（2）根据指数函数的单调性即得；（3）根据函数的奇偶性及单调性可得，解不等式即得.【小问1详解】因为定义在上的奇函数，可得，都有， 令，可得，解得，所以，此时满足，所以函数是奇函数，所以；【小问2详解】在上单调递增；理由如下：因为，函数单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增；【小问3详解】因为为奇函数，可得，又在上单调递增，所以，解得，所以原不等式的解集为.21.（1）若，求关于的不等式的解集；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分，，讨论，利用二次不等式解法即得；（2）法一，利用参变分离可得对任意恒成立，然后利用对勾函数的性质及反比例函数的性质可得的最值即得；法二，利用二次函数的性质分类讨论即得.【详解】（1）令， 当时，，所以的解集为；当时，，所以的解集为；当时，，所以的解集为；综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（2）法一：当时，，成立；当时，由题可得对任意恒成立，令，则有，，，令，，根据对勾函数的性质可得，所以，所以当时，，故实数的取值范围为；法二：令，①当时，，对任意，恒成立；②当时，函数图象开口向上， 若对任意，恒成立，只需，解得，故当时，对任意，恒成立；③当时，对任意，，，恒成立；综上可知，实数的取值范围为.22.已知函数满足如下条件：①对任意，；②；③对任意，，总有.（1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；（2）证明：满足题干条件的函数在上单调递增；（3）①证明：对任意的，，其中；②证明：对任意的，都有.【答案】（1）（答案不唯一）（2）证明见解析（3）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件设计一个函数即可；（2）根据条件，运用函数单调性的定义推导即可；（3）运用递推的方法先证明①，再根据①的结论，考虑的x的区间即可证明.【小问1详解】，，等，即形如均可；【小问2详解】任取，. 因为，故且.故.故在上单调递增.【小问3详解】①由题意可知：对任意正数，都有，且，在③中令，可得，即；故对任意正整数与正数，都有；②由①可知：对任意正整数与正数，都有，故对任意正整数与正数，都有，令，则；对任意，可得，并且，又因为，所以由（2）中已经证明的单调性可知：，，所以.