广东省深圳市罗湖高级中学2022-2023学年高一数学上学期期中考试试卷（Word版附解析）

罗湖高级中学2022-2023学年度第一学期期中考试高一数学试题卷（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.2.选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卡相应位置，否则不得分.3.考试结束后，请将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由元素与集合，集合与集合间的关系判断即可.【详解】因为，所以.故选：A2.已知不等式，则该不等式的解集是（）A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】将不等式分解因式，即可求得不等式解集.【详解】不等式等价于，也即，故. 故不等式解集为.故选：B.3.托马斯说：“函数是近代数学的思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据各选项中的函数，求出各选项对应的函数的值域，结合，即可得出答案.【详解】解：根据题意，可知函数的定义域为，对于A选项，按照对应的，函数的值域为，A选项错误；对于B选项，按照对应的，函数的值域为，B选项错误；对于C选项，按照对应的，函数的值域为，C选项正确；对于D选项，按照对应的，函数的值域为，D选项错误.故选：C.4.命题：，的否定形式为（    ）A.，B.，C，D.，【答案】D【解析】【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”【详解】由题意，“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，故为，.故选：D 5.设正实数满足，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得，即，解得，当且仅当，即，时，取等号，故选：C.6.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，问题转化为一次或者二次不等式恒正的问题，先检验一次不等式是否符合题意，对于二次不等式，联立二次项系数范围，判别式范围求解.【详解】∵函数的定义域为，∴对任意实数恒成立.若，不等式转化为：，显然成立；若，要使对任意实数恒成立，则，解得，综上所述，故选：A 7.已知幂函数，对任意且，满足，若，，，则的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.【详解】∵已知函数是幂函数，∴，∴，或，，或.对任意的且，满足，故是增函数，∴.若，，，即，∴，即，即.则，故选：B.8.设奇函数满足，且对任意，，且，都有，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得：函数在和上单调递减，结合即可求解不等式.【详解】由题意知：对任意，，且， 都有，则函数在上单调递减；又因为函数为奇函数，所以函数在上单调递减，因为，则有，由可得：当时，不等式可化为，解得：；当时，不等式可化为，解得：；综上：原不等式的解集为，故选：.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若，则下列结论不正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式的性质可以判断C正确，其余ABD选项可以举出反例.【详解】A选项，取，满足，但是，故A选项错误；B选项，取，满足，但，故B选项错误；C选项，由，结合不等式的传递性可知，，C选项正确；D选项，由于为负数时，可能导致表达式无意义，故D选项错误.故选：ABD10.设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（）A.是偶函数B.是奇函数C.是奇函数D.是奇函数 【答案】ABD【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【详解】是奇函数，是偶函数，，，，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故B错误，是奇函数，故C正确．为偶函数，故D错误，故选：ABD11.设.若，则实数a的值可以为（）A.B.C.D.0【答案】ACD【解析】【分析】对进行分类讨论，结合求得的可能取值.【详解】，解得或，所以，当时，，满足.当时，，由于，所以或，解得或.综上所述，的值可以是.故选：ACD12.已知，，，则（）A.的最大值为B.的最大值为 C.的最小值为D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】由基本不等式判断AC，由特殊值判断B，由二次函数的性质判断D.【详解】，即（当且仅当时，取等号），故A正确；当时，，故B错误；（当且仅当时，取等号），故C错误；，当时，取最小值，故D正确；故选：AD第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，共20.0分.）13.定义且,若集合,,______.【答案】【解析】【分析】根据集合的新定义解出即可.【详解】解:由题知且,且,,所以. 故答案为:14.已知，求的解析式为_________.【答案】【解析】详解】配凑法：故答案为：换元法：令，则，代入可得故答案为：15.美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产，两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）【答案】9【解析】【分析】首先求出生产、芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式，设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利润 ，根据二次函数的性质计算可得.【详解】解：因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为．对于芯片，因为函数的图象过点，，所以，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为．设投入，千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利润，，所以当，即时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元．故答案为：16.关于的不等式的解集为，则二次函数的单调增区间为___________；的最小值为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由题意可得和是方程的两根，，由韦达定理可得与的关系，再由二次函数的单调性可得单增区间，由可得代入所求代数式化简，再利用基本不等式即可求最值.【详解】因为不等式的解集为，所以，且和是方程的两根， 所以，即.所以对称轴为，开口向下，所以单调递增区间为，因为是方程根，所以，，所以因为，所以，，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：；.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设集合,，且,求x的值.【答案】，或【解析】【分析】根据，则，根据集合的性质，列方程即可求得的值.【详解】解：，,根据集合的性质，当，解得：或，当时，解得或0， 根据集合的互异性可知，，故，或．【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的性质，属于基础题．18.已知.（1）用分段函数的形式表示该函数.（2）画出区间上的的图象；（3）根据图象写出区间上的值域.【答案】（1）（2）作图见解析（3）【解析】【分析】(1)根据绝对值分类讨论即可表示为分段函数；(2)根据二次函数图象性质作出图象；(3)根据图象确定函数最小值、最大值即可求值域.【小问1详解】当时，，当时，，所以.【小问2详解】根据二次函数的图象性质，作图如下，【小问3详解】由图象可知，当或时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为， 所以区间上的值域为.19.近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补贴.企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益销售金额政府专项补贴成本.（1）求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；（2）当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？【答案】（1），其中（2）当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元【解析】【分析】（1）计算出销售金额、成本，结合题意可得出的函数关系式，以及该函数的定义域；（2）由结合基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.【小问1详解】解：由题意可知，销售金额为万元，政府补贴万元，成本万元，所以，，其中. 【小问2详解】解：由（1）可知，，其中，当且仅当，即时取等号，所以，所以当时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；即当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元.20.已知关于的不等式.（1）若关于的不等式的解集为，求的值（2）当时，解上述关于的不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由为方程的根，结合韦达定理得出的值；（2）分类讨论的值，由一元二次不等式的解法求解即可.【小问1详解】因为不等式的解集为，所以为方程的根，即，【小问2详解】若，关于的不等式，当时，代入不等式可得，解得；当时，化简不等式可得，由解不等式可得， 当时，化简不等式可得，解不等式可得或，综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或.21.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.（1）求和的值；（2）求满足的的取值范围.【答案】（1）或3，（2）或.【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义可得系数为1，进而可求或3，根据幂函数的单调性，可求解，（2）利用幂函数的单调性即可求解.【小问1详解】∵幂函数，∴，解得或3，又因为幂函数在上是减函数，∴，解得，∵，∴或，又因为幂函数图象关于轴对称，当时，，图象关于轴对称，符合题意；当时，，图象关于原点对称，不合题意，综上，或3，；【小问2详解】由（1）可得，∴原不等式可化为而函数在和上分别为减函数， 所以不等式可化为：或或，解得或.22.已知函数是定义域在上的奇函数，当时，.（1）当时，求函数的解析式；（2）若函数为单调递减函数.①直接写出的范围（不必证明）；②若对任意的，恒成立，求实数的范围.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和时，的解析式，即可得出时的解析式，进而得出答案；（2）①由二次函数的对称轴和区间的关系可得的范围；②对任意，恒成立，可得，由的单调性和参变分离、换元法、函数的单调性、不等式恒成立问题的解法，求得函数的最值，可得所求范围.【小问1详解】，当时，.设时，则，.所以.【小问2详解】 ①因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性.故在单调递减，又其对称轴为，故当时满足条件，故的范围为.②因函数是定义域在上的奇函数，由，可得，又函数为单调递减函数，故，即，又注意到，结合，知，得：.令，其中.任取，，且.故，因，，，则，，故，即.所以在上单调递增，得.又令，则转化为，其中.要使式子成立，需小于的最小值. 又注意到函数与函数均在上单调递增，则函数在上单调递增.故，得，则t的范围为.