广东省深圳中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

深圳中学2022-2023学年度第一学期期末考试试题年级：高一科目：数学考试时长：120分钟卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效．选择题作答必须用2B铅笔．一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，只有一项符合题目要求）．1.概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习数学十分重要．现有如下三个集合，{钝角}，{第二象限角}，{小于180°的角}，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用钝角和第二象限角的定义即可判断.【详解】钝角是大于，且小于的角，一定是第二象限角，故；第二象限角的范围是，即第二象限角不一定小于，故ABD错误，C正确；故选：C2.“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．【详解】推不出，所以“”是“”非充分条件， 推出，“”是“”必要条件.故选：．【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．3.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6∶5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多9人，则（）A.990B.1320C.1430D.1980【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的性质结合已知进行求解即可.【详解】因为按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，男生数与女生数之比为6∶5，所以抽取的男生数与女生数分别为：，又因为样本中男生比女生多9人，所以有.故选：D【点睛】本题考查了分层抽样的有关性质，属于基础题.4.已知，，则下列不等关系中必定成立的是（）A.sinθ<0，cosθ>0B.sinθ>0，cosθ<0C.sinθ>0，cosθ>0D.sinθ<0，cosθ<0【答案】B【解析】【分析】本题先判断，再判断即可得到答案.【详解】∵，∴，∴∵，∴，∴ 故选：B.【点睛】本题考查诱导公式，是基础题.5.若函数，则函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数的奇偶性可排除BD，再根据时函数值的符号即可排除A.【详解】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故排除BD，当时，，，所以，故排除A，而C满足题意故选：C.6.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】C 【解析】【分析】利用甲、乙两名同学6次考试的成绩统计及平均数和方差的定义求解即可．【详解】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知：甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，由甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为，得，．故选：C．7.已知关于的方程（）的根为负数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分类参数，将问题转化为求函数在的值域，再利用指数函数的性质进行求解.【详解】将化为，因为关于的方程（）的根为负数，所以的取值范围是在的值域，当时，，则，即的取值范围是.故选：D.8.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长．二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）．9.下列说法正确的是（）A.是第二象限角B.经过30分钟，钟表的分针转过弧度C.若角终边上一点P的坐标为（其中），则D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】ABC【解析】【分析】利用弧度制与角度制的转化及象限角的定义可判断A；利用角的定义及角度制与弧度制的转化可判断B；利用三角函数的定义可判断C；利用三角函数的图像的平移变换可判断D.【详解】对于A，化为角度制为，为第二象限角，故A正确；对于B，经过30分钟，钟表的分针转过，转化为弧度制为弧度，故B 正确；对于C，利用三角函数的定义知，故C正确；对于D，函数，可由函数的图象向左平移个单位得到，故D错误；故选：ABC10.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C.有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组【答案】AB【解析】【分析】利用平均数与中位数的定义可判断A；利用众数的定义可判断B；利用分层抽样的定义及抽样比求解判断C；利用方差的定义及意义可判断D.【详解】对于A，平均数为，中位数为，故A正确；对于B，数据的众数为3，故B正确；对于C，设样本容量为x，由题知，解得，即样本容量为18，故C错误；对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是甲组，故D错误.故选：AB11.下列式子中，不存在函数使其对任意都成立的是（）A.B.C.D.【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的定义，结合特殊值的函数值逐一分析判断即可.【详解】对于A，对任意，都成立；对于B，取和，得到，矛盾；对于C，取和，得到，矛盾；对于D，取和，得到，矛盾故选：BCD.12.设函数，集合，则下列命题正确的是（）A.当时，B.当时C.若，则k的取值范围为D.若（其中），则【答案】ABD【解析】【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.【详解】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；B：时，方程无解，则，正确；由解析式可得其函数图象如下图示： 令，开口向上且对称轴为，若，则，即，有以下情况：1、，：此时，令，则在上有一个零点，∴，可得，2、，，由A知：.综上：，故C错误；若，由函数的性质及图象知：必有，.此时，，，所以，，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.三、填空题（本大题共4小题，共20分）．13.已知函数，那么的值为__________.【答案】1【解析】 【分析】根据分段函数的定义即可求解.【详解】解：因为，所以，所以，故答案为：1.14.一组数据，…，的平均数是30，则数据，，…，的平均数是________．【答案】61【解析】【分析】根据平均数的性质求解即可【详解】∵样本数据的平均数是30，∴，∴数据的平均数故答案为：6115.已知，是关于x的方程的两根，则实数________．【答案】【解析】【分析】利用韦达定理列出关于m的方程，再利用同角之间的基本关系，即可求解．【详解】由，是关于的方程的两根，所以，由，可得，则，经检验符合题意，所以实数的值为.故答案为： 16.若函数，的图象与直线恰有两个不同交点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意，画出的图象，数形结合，即可求得参数的取值范围.【详解】因为，所以，所以，所以，且，作出函数的图象，如图：由题意结合函数图象可知.故答案为：.【点睛】本题考查利用数形结合由图象交点个数求参数范围，涉及正弦型函数图象的绘制，属综合基础题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17.求下列函数的定义域：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据分母不等于零求解即可；（2）根据开偶数次方，根号里的数大于等于零，结合指数函数的单调性求解即可；（3）根据对数的真数大于零求解即可.【小问1详解】由，得，解得，故定义域为；【小问2详解】，解得，故定义域为；【小问3详解】，解得，故定义域为．18.比较下列各组数的大小（写出结果即可）：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）（2）（3） （4）【解析】【分析】（1）利用函数的单调性比较，即可得解；（2）利用诱导公式结合函数的单调性比较，即可得解；（3）利用诱导公式先化为同名函数，再结合函数的单调性比较，即可得解；（4）利用角的象限的正负即可判断.【小问1详解】∵函数在上单调递减，且，∴．【小问2详解】，，又在上单调递增，∴．【小问3详解】∵，，又在上单调递增，∴．【小问4详解】∵，∴，，∴．19.为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试.根据体育测试得到了这m名学生各项平均成绩，按照以下区间分为七组：，，并得到频率分布直方图（如图），已知测试平均成绩在区间有20人. （1）求m的值及中位数n；（2）若该校学生测试平均成绩小于n，则学校应适当增加体育活动时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？【答案】（1）m＝200；n＝74.5；（2）学校应该适当增加体育活动时间.【解析】【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、中位数、频率、频数、平均数等基础知识，同时考查考生分析问题解决问题的能力、读图能力、运算求解能力.第一问，先由频率分布直方图读出前三组的频率，再利用“频数÷样本总数=频率”计算出m的值，由直方图观察出中位数的位置，再列式计算n；第二问，由频率分布直方图计算出每组的频数，计算出该校学生测试的平均成绩与n作比较，来确定是否应增加体育活动时间.试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02，0.02和0.06，则m×(0.02＋0.02＋0.06)＝20，解得m＝200．由直方图可知，中位数n位于[70，80)，则0.02＋0.02＋0.06＋0.22＋0.04(n－70)＝0.5，解得n＝74.5．（Ⅱ）设第i组的频率和频数分别为pi和xi，由图知，p1＝0.02，p2＝0.02，p3＝0.06，p4＝0.22，p5＝0.40，p6＝0.18，p7＝0.10，则由xi＝200×pi，可得x1＝4，x2＝4，x3＝12，x4＝44，x5＝80，x6＝36，x7＝20故该校学生测试平均成绩是，所以学校应该适当增加体育活动时间． 考点：频率分布直方图、中位数、频率、频数、平均数.20.地震们强烈程度通常用里氏震级表示，这里是距离震中处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅．（1）若一次地震测得，，该地震的震级是多少？（计算结果精确到，参考数据：）；（2）计算里氏级地震的最大振幅是里氏级地震最大振幅的多少倍．【答案】（1）里氏级（2）【解析】【分析】（1）将，代入等式可得结果；（2）设里氏级地震的最大振幅为，里氏级地震最大振幅为，根据对数的运算性质计算出的值，可得结果.【小问1详解】解：．．因此，该地震级数约为里氏级．【小问2详解】解：设里氏级地震的最大振幅为，里氏级地震最大振幅为，则，，所以，所以，，即里氏级地震的最大振幅是里氏级地震最大振幅的倍．21.已知函数（，，）的部分图象如图所示．若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． （1）求的解析式；（2）求在上的单调递减区间;（3）若在区间上恰有2022个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据三角函数的图象，建立方程组，求得函数的解析式，利用函数变换，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调性，解得函数的单调性，结合题意，可得答案；（3）根据正弦函数的性质，即周期与零点之间的关系，利用点的个数与点与点的间隔数的关系，可得答案.【小问1详解】由题可得，，则，当时，取得最大值，则，所以，又因为，故，所以， 则.【小问2详解】由（1）可知，令，，则，，故的单调递减区间为，则在上的单调递减区间为；【小问3详解】周期为4，则相邻两个零点之间的距离为，若函数在区间上恰有2022个零点，则个零点之间最短距离为，由个零点之间最短距离为，解得的取值范围为．22.函数的定义域为R，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数.（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；（2）若是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；（3）问实数k､b满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.【答案】（1）是，不是，理由见解析（2）2（3），【解析】【分析】（1）根据“圆锥托底型”函数的定义，分别代入，判断即可； （2）代入可得对一切实数x均成立，当时显然成立，再根据基本不等式求解时的情况即可；（3）分和两种情况，结合“圆锥托底型”函数的定义分析即可【小问1详解】由题意，当时，恒成立，故是“圆锥托底型”函数；对，考虑时，恒成立，即恒成立，因为，故不存在常数使得对一切实数x均成立，故不是“圆锥托底型”函数小问2详解】由题意，对一切实数x均成立.当时显然成立，当时，恒成立，又，当且仅当时取等号.故M的最大值为2【小问3详解】若是“圆锥托底型”函数则：①当时，恒成立，即即可，故当时，即可满足条件；②当时，若，则为常数，不满足恒成立.若时，令，解得，此时无解，故当时，不是“圆锥托底型”函数综上，当，时，是“圆锥托底型”函数