广东省 2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

广东实验中学2022—2023学年（上）高一级线上限时训练数学命题：高一数学备课组本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据补集的定义可得结果.【详解】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式组即得解.【详解】解：由题得且.所以函数的定义域为.故选：D3.不等式的解集是（）A.B. C.或D.【答案】B【解析】【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【详解】解：不等式可转化为，即，即，所以不等式等价于解得：，所以原不等式的解集是故选：B4.已知，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据幂函数性质，结合已知判断条件间推出关系，进而确定它们的充分、必要关系.详解】由，当时，由幂函数的性质知：必成立，当时，也有，∴“”是“”的充要条件.故选：C5.函数的图象大致是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】由时，，排除B、D；由函数在区间上的单调性，排除A，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，满足，解得，又由当时，，排除B，D；当时，，设，则，因为，所以，即，所以函数在上单调递增，所以A不符合，C符合.故选：C.【点睛】知式选图问题的解答方法：1、从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；2、从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势；3、从函数的奇偶性，判断图象的对称性；4、从函数的周期性，判断函数的循环往复；5、从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象.6.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（）A.有最大值B.有最大值C.有最小值D.有最小值【答案】D【解析】 【分析】根据，变形，然后由可得，再利用基本不等式求最值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当时取等号，∴有最小值故选：D.7.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】参变分离可得对恒成立，令，则，根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为，不等式恒成立，所以对恒成立，令，则，，所以，所以当时取得最大值，即当时取得最大值，即，所以.故选：D 8.已知函数若关于的方程都有4个不同的根，则的取值范围是AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】都有4个不同的根，等价于的图象有四个交点，利用分段函数画出的图象，根据数形结合可得结果.【详解】都有4个不同的根，等价于的图象有四个交点，因为，所以，若，则，则；若，则，则； 若，则，则；若，则，则；若，则，则；，作出的图象如图，求得，则，由图可知，时，的图象有四个交点，此时，关于的方程有4个不同的根，所以，的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查的数形结合思想的应用，属于难题.函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，未选或有选错的得0分．9.已知函数，，，下列关于这三个函数的描述中，当在上逐渐增大时，下列说法正确的是（）A.的增长速度越来越快B.的增长速度越来越快C.的增长速度一直快于D.的增长速度有时慢于【答案】BD【解析】【分析】在同一坐标系中画出3个函数图象，然后根据图象逐个分析判断即可.【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象，如图所示， 由图可知的增长速度没有变，所以A错误，在上的增长速度越来越快，所以B正确，由图可知在上的增长速度最慢，而在上的增长速度最快，所以C错误，D正确，故选：BD10.有以下判断，其中是正确判断的有（）A.与表示同一函数B.函数的图象与直线的交点最多有1个C.若，则D.函数的最小值为【答案】BC【解析】【分析】A根据相等函数的概念来判断；B根据函数的定义来判断；C直接带值计算；D基本不等式求最值时的适用条件来判断.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故不是相等函数，A错误；对于B，根据函数的定义可知，当的定义域中含有1时，函数与有一个交点，当的定义域中不含1时，函数与没有交点，故B正确；对于C，因为，则，所以，故C正确． 对于D，函数，当且仅当时取等号，该方程无解，即该等号不成立，故D错误；故选：BC．11.已知定义在上的函数的图像关于点对称，则下列结论成立的是（）A.为偶函数B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】由题意可得，根据函数图像的对称性和函数性质，对选项进行判断.【详解】定义在上的函数的图像关于点对称，则函数图像上的点关于点的对称点也在函数图像上，所以.函数的图像由函数的图像向左平移一个单位得到，则函数的图像关于点对称，不能得到函数为偶函数，所以A选项错误；由，令，则有，故B选项错误；由，令，则有，故C选项正确；由，令，则有，∴，故D选项正确.故选：CD12.已知，若对任意的，不等式恒成立，则（）A.B.C.的最小值为12D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】由已知可得，由于，所以可得当时，，当 时，，从而可得，，则，然后代入各选项的式子中结合基本不等式和函数的性质分析判断.【详解】由，得，所以，因为，所以当时，，当时，，因为对任意的，不等式恒成立，所以当时，，当时，，所以对于函数，有，，所以，所以A正确，B错误，对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12，所以C正确，对于D，，令，因为，当且仅当即时取等号，所以，由，得，所以，所以，所以函数在上递增， 所以当时，取得最小值为，所以的最小值为，所以D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式的应用，解题的关键是由题意结合一次函数和二次函数的性质得，，从而可结合基本不等式分析判断，考查数学转化思想，属于较难题.第二部分非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的值域是______．【答案】【解析】【分析】利用二次函数的图像和性质结合根式有意义求解即可.【详解】由二次函数的性质可得当时取得最大值4，所以的值域为，又由根式有意义，所以的值域为，故答案为：14.已知幂函数在区间上单调递减，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的概念，求得，再结合幂函数的性质，即可求解.【详解】由题意，幂函数，可得，解得或，当时，函数区间上单调递增，不符合题意；当时，函数在区间上单调递减，符合题意，所以实数的值为-. 故答案为：-.15.已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集.【详解】解：不妨令，则等价于，可得，构造函数，则是上的增函数，因为，所以等价于，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.16.若函数的图象关于直线对称，则的最小值是______．【答案】##0.375【解析】【分析】根据函数解析式确定函数有零点，又结合函数关于直线对称，可得另外两个零点，即可得关于的等式关系，结合基本不等式求最值即可.【详解】解：由于，且，所以 则是函数的两个零点又函数的图象关于直线对称，则函数另外两个零点为则方程的两根分别为，所以则，又，所以于是当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）化简；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）14【解析】【分析】（1）由指数的运算性质求解，（2）由完全平方公式求解，【详解】（1）原式，（2）由题意得，得，同理，故18.已知的定义域为集合，集合．（1）求集合； （2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数解析式中被开方数大于等于零，分母不能为零，列出不等式组，解之即可求解；（2）根据得到，根据集合的包含关系进行分类讨论，进而求解.【小问1详解】要使函数有意义，则有，解之可得：，所以集合.【小问2详解】因为，所以,因为，所以分和两种情况；若，则，解得：；若，要使成立，则有，解得：，综上所述：实数的取值范围.19已知二次函数．（1）若是奇函数，求的值；（2）在区间上的最小值记为，求的最大值．【答案】（1）0（2）0【解析】【分析】（1）易得为偶函数，进而求出的值；（2）对进行分类讨论，由二次函数特征确定表达式，进而得出的分段函数，结合的单调性和二次函数可求的最大值． 【小问1详解】因为是奇函数，所以是偶函数，即二次函数对称轴为，即；【小问2详解】的对称轴为，当时，即，，即；当，即时，，故；当时，即时，；综上，，故时，，时，，，对称轴为，，所以的最大值为0.20.今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2023年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（2）2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元【解析】【分析】（1）根据已知条件求得分段函数的解析式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得的最大值以及此时的产量.【小问1详解】当时，；当时，；∴；【小问2详解】若，，当时，万元；若，，当且仅当即时，万元.答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元.21.函数对任意实数恒有，且当时，（1）判断的奇偶性；（2）求证∶是上的减函数∶（3）若，求关于的不等式的解集.【答案】（1）奇函数（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】 【分析】（1）取得，取得进而得答案；（2）根据题意得，，再结合奇函数性质得，进而证明结论；（3）根据题意得，在分类讨论求解即可；【小问1详解】解∶取，则，∴.取，则，即对任意恒成立，∴为奇函数.【小问2详解】证明∶任取，且，则，，∴，又为奇函数，∴∴是上的减函数.【小问3详解】解：为奇函数，整理原式得，.∵在上是减函数，∴，即①当时，原不等式的解为；②当时，原不等式化为，即若，原不等式化为，原不等式的解为；若，则，原不等式的解为或；若，则，原不等式的解为或 ③当时，原不等式化为即则，原不等式的解为综上所述∶当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或22.函数，方程有三个互不相等的实数根，从小到大依次为，，．（1）当时，求的值；（2）若对于任意的正实数，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）由已知写出得表达式并分类讨论去绝对值，再分别求出三个零点即可；（2）先对进行分类讨论，再分析出，将不等式化简，进而求出的取值范围.【小问1详解】解：当时，当时，令得或（舍去）当时， 令得或所以，，【小问2详解】等价于设，即与有三个交点①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增，即解得：，为方程的两个根则，且等价于为方程的正根 ②当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增，即解得：，为方程的两个根则，且等价于当，即时，为方程的较小根在单调递减，综上所述，实数的取值范围为：【点睛】本题对分类讨论得出分段函数后，关键在于分析出，将不等式转化为，再根据的范围求出最值.