广东省汕头市潮阳区2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

潮阳区2022-2023年度第一学期高一级教学质量监测试卷数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题可得，即得.【详解】由题意得，解得，即函数的定义域是.故选：C.2.不等式的解集为（）A.B.或C.D.【答案】A【解析】【分析】把不等式可化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由不等式，可化为，所以原不等式的解集为. 故选：A.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3.将时钟的分针拨快5分钟，则分针转过的弧度是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据弧度的定义，可得答案.【详解】由题意，分针转过的角度为，由转动的方向为顺时针，则弧度为.故选：B.4.设，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数的性质以及单调性可比较大小.【详解】因为,,,,所以.故选:D【点睛】本题考查了利用对数的性质以及单调性比较大小,属于基础题.5.已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（）A.B.0C.7D.【答案】D【解析】 【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.【详解】解:令得,故定点为,所以由三角函数定义得，所以故选：D6.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当时，，则当时，（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，得到，所以，化简即得解.【详解】设，得到，所以，因为函数是偶函数，所以.所以时，.故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7.函数与函数图像的交点个数是（）个A.5B.4C.3D.2【答案】A【解析】【分析】画出函数图象观察即可得出. 【详解】画出和的函数图象，因为，，结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个.故选：A.8.已知函数，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，根据函数图像平移得时，，时，，再分和两种情况讨论求解即可.【详解】解：函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，因为在上均为单调递增所以，当时，为增函数，所以，当时，为增函数，当时， 为减函数，因，所以，当时，，当时，，所以，当时，，当时，所以，当时，不等式显然成立，当时，不等式的解集为，综上，的解集为故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设函数f(x)＝sin（x﹣），则下列结论正确的是（）A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的图象关于直线x＝对称C.f(x)的图象关于点（﹣，0）对称D.f(x)在区间（0，）上单调递增【答案】AD【解析】【分析】根据正弦函数的性质分别判断即可．【详解】解：对于，，，故正确；对于：由，解得：，时，，时，，故B错误；对于：结合，故错误； 对于：由，解得：，故函数在递增，故正确；故选：AD．【点睛】思路点睛：研究函数的性质（定义域、值域、单调性、对称性、最值等）时，可以利用换元思想，令，将看作一个整体，结合，的性质求解.10.下列选项中判断错误的是（）A.若，则B.的最小值为2C.如果，那么D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质结合基本不等式的使用条件求解.【详解】根据幂函数在上单调递增，所以时，即，A正确；当时，，故B错误；因为，所以，，所以，故C正确；当时，，此时，故D错误，故选:BD.11.不等式的解集是，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】 【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.【详解】解：因为不等式的解集是，所以，且，所以所以，，，故AC正确，D错误．因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，所以当时，，故B正确．故选：ABC．12.定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.【详解】∵，∴，若，则，所以，故A符合条件；，故B不符合条件； ，即，又，∴，故C符合条件；，即，又，∴，故D不符合条件.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若为第二象限角，且，则tan＝___．【答案】－【解析】【分析】由平方关系求出，再由商数关系求得．【详解】因为为第二象限角，且，所以，所以．故答案为：．14.设函数则_________．【答案】9【解析】【分析】由分段函数和对数的运算性质以及对数恒等式，计算即可得到所求和．【详解】∵∴，，∴，故答案为：9 15.若，则______．【答案】【解析】【分析】利用整体代换及三角函数的诱导公式即可求解.【详解】由，得，所以.由，得，所以，所以.故答案为：.16.函数是定义在R上偶函数且满足，当时，，则________．【答案】【解析】【分析】由已知条件可得函数的周期，再由周期性和偶函数的性质求值．【详解】由题意，所以是周期函数，周期是，又是偶函数，所以．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12 分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数（）的最小正周期为.（1）求的值；（2）求函数的单调递减区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可；（2）整体法求解函数单调递减区间.【小问1详解】由最小正周期公式得：，故，所以，所以【小问2详解】令，解得：，故函数的单调递减区间.是18.已知角是第三象限角，且（1）化简；（2）若，求的值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的诱导公式，可得答案；（2）根据角的所在象限，利用同角三角函数的平方式以及三角函数的诱导公式，可得答案.【小问1详解】.【小问2详解】因为，所以，又角是第三象限角，所以，所以．19.已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；（3）若关于x的不等式有解，求t的取值范围．【答案】（1）奇函数（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义，首先明确函数定义域，再证明等式的成立，可得答案；（2）解法一：直接利用单调性定义，作差化简；解法二：先利用分离常数项整理函数，再利用单调性定义做差化简，可得答案；（3）利用分离常数项整理函数，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案.【小问1详解】 函数为奇函数，理由如下：函数的定义域为R，，所以，函数是奇函数．【小问2详解】解法一：在R上单调递增，证明如下：由条件知，任取，所以，又因为，所以且，所以，所以，所以在R上单调递增；解法二：在R上单调递增，证明如下：由条件知，任取，所以，又因为，所以且，所以，所以，所以在R上单调递增；【小问3详解】不等式有解，即关于x的不等式有解． 由，因为，所以，，所以的取值范围是，所以，所以，即t的取值范围是．20已知函数（且）（1）当时，解不等式；（2），，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域为，再根据对数函数性质，结合定义域解不等式即可；（2）由题知，成立，，再根据对数型复合函数单调性，分和两种情况讨论求解最大值并解不等式即可得答案.【小问1详解】解：时，，由，解得，即函数定义域为，因为，即，所以，即，解得或，又，所以不等式的解集为． 【小问2详解】解：因为，，即成立，又，函数在上为增函数，①若，则在单调递减，所以，即，所以，，即，解得或，又，所以．②若，则在单调递增，所以，，即，所以，，即，解得，又，所以．综上，a的取值范围为．21.科技创新是企业发展的源动力，是企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用，经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费x（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小．（1）求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于1.9，求月研发经费x的取值范围．【答案】（1）当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值2（2）【解析】【分析】(1)利用基本不等式以及函数的单调性分别求出分段函数的最值即可求解；(2)解一元二次不等式求解.【小问1详解】当时，，当且仅当，即时，取等号；当时，，因为在上单调递减，所以．因为，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值2．【小问2详解】若该企业生产此设备的研发利润不低于1.9，由（1）可知，此时月研发经费．于是，令，整理得，解得．因此当研发利润不小于1.9时，月研发经费的取值范围是．22.若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.（1）先判断“函数没有“和谐区间””是否正确，再写出函数的“和谐区间”；（直接写出结论即可）（2）若是定义在上的奇函数，当时，.求 的“和谐区间”.【答案】（1）正确；（2）和【解析】【分析】（1）根据“和谐区间”的定义判断两根函数即可；（2）根据函数为奇函数求出函数的解析式，再利用“和谐区间”的定义结合函数的单调性求出函数的“和谐区间”即可.【小问1详解】解：函数的定义域为，且函数为奇函数，当时，函数减函数，任意的，则，所以当时，函数没有“和谐区间”，同理当时，函数没有“和谐区间”，所以“函数没有“和谐区间””是正确的，函数在上递减，则在定义域内任取区间，则，由是函数的“和谐区间”，得，解得，所以函数的“和谐区间”为；【小问2详解】解：因为当时，， 所以当时，，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，，设，因为在上单调递减，所以，，所以，，所以，是方程的两个不相等的正数根，即，是方程的两个不相等的正数根，所以，，所以在区间上的“和谐区间”是，同理可得，在区间上的“和谐区间”是，所以的“和谐区间”是和.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，实际上考查的是理由函数的单调性求函数的值域，考查了根据函数的奇偶性求函数的解析式，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.