广东省 2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版含解析）

2022-2023学年第一学期期中考试高一年级数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，测试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,那么（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】确定结合的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.【详解】由题意知集合，故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，故选：A2.已知：，：，，则是（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由可得，或，，所以由推不出，，由，，可以推出，故是的必要不充分条件.故选：B.3.不等式的解集为（） AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】化简不等式并求解即可．【详解】将不等式变形为，解此不等式得或.因此，不等式的解集为故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生计算能力，属于基础题．4.函数的定义域是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意解不等式组即可得出答案.【详解】要使函数有意义需满足，解得，即得函数定义域为.故选：C.【点睛】本题考查了函数定义域的求解，掌握负数没有偶次方根和零不能作为分母是解题的关键，属于基础题.5.函数（）是（）A.奇函数，且在上单调递增 B.奇函数，且在上单调递减C.偶函数，且在上单调递增D.偶函数，且在上单调递减【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义以及单调性定义去判断，即可得答案.【详解】对于函数（），满足定义域关于原点对称，且，故为奇函数，设，且，则，由题设可知，故，即，即，所以在上单调递增，故选：A6.函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用配方法可得,则,,根据二次函数的对称性即可判断的范围【详解】由题,,因为,,且对称轴为, 所以,因为在区间上的最大值是5,最小值是1,所以故选：B【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题7.已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（）A.1≤a≤3B.-1<a<3C.-1≤a≤3D.0≤a≤2【答案】C【解析】【分析】先写出命题的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得的取值范围.【详解】命题是假命题，命题的否定是：，且为真命题，所以，解得.故选：C8.将一根铁丝切割成三段,做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架,在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（）（注：）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设直角三角形的两条直角边为，由面积可得，故周长，利用均值不等式以及，即得解【详解】由题意，设直角三角形的两条直角边为 则此时三角形框架的周长当且仅当时等号成立由于，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合与运算，依次讨论各选项即可得答案.【详解】如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为四个区域 对于A选项，显然表示区域3，故不正确；对于B选项，表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；对于C选项，表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；对于D选项，表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；故选：BC10.已知实数，满足，，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质判断．【详解】因为，，所以，则A正确.因为，所以，所以，则B错误.当时，；当时，；当时，.故，则C正确.因为，所以.当时，；当时，；当时，.故，则D正确. 故选：ACD．11.下列叙述中正确的是（）A.若函数是奇函数，则B.若，则“”的充要条件是“”C.函数与为同一个函数D.“，”是“”的充分条件【答案】CD【解析】【分析】根据奇函数的性质、相同函数的判断，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】若函数显然是奇函数，但没有意义，因此项A不正确；当时，由推不出，因此选项B不正确；因为函数与的定义域均为，且，所以选项C正确；由，能推出，当时，显然成立，但是，不成立，因此选项D正确，故选：CD12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知则关于函数的叙述中正确的有（）A.是偶函数B.是奇函数C.的值域是D.是上的减函数【答案】AC【解析】 【分析】根据题意求出的解析式，利用函数的奇偶性的定义以及函数的表示方法一一判断求解.【详解】的定义域为，，所以函数为偶函数，当即或，，则，则，当即，，则，则，所以，则的值域是，且为偶函数，不是单调函数，故选:AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，，若，则_________.【答案】0【解析】【分析】根据集合相等求解实数的值，即可得的值.【详解】解：因为，若，则，所以.故答案为：0.14.请把命题“勾股定理”写成含有量词的命题：_____________.【答案】对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方 【解析】【分析】根据勾股定理的内容，结合任意性的定义进行求解即可.【详解】在任意的直角三角形中，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方，故答案为：对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方15.若奇函数在单调递减，，则不等式的解集为___.【答案】【解析】【分析】由不等式转化为，再结合结合函数奇偶性和单调性解不等式即可求出答案.【详解】函数在单调递减，因为函数时奇函数，所以在上单调递减，因为，所以，不等式，则，所以，则.故答案为：.16.已知函数，若，且，设，则的最小值为___________.【答案】##【解析】【分析】用表示出，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】，在上单调增，在上单调增，，令，解得， 由得，，且所以，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值为.所以的最小值是.故答案为：.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，全集，求：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）=【解析】【详解】试题分析：（1）化简集合A,B后，根据交集的定义即可求出；（2）根据补集及交集的定义运算.试题解析：（1）（2）=点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．18.已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． （1）写出函数的定义域和值域；（2）求的值．【答案】（1）定义域为，值域为（2）【解析】【分析】（1）由函数的图象可得出函数的定义域和值域；（2）求出函数的解析式，代值计算可得的值.【小问1详解】解：由图可知，函数的定义域为，值域为.【小问2详解】解：当时，设，则，解得，当时，可设，则，解得，所以，，则，因此，.19.某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55 元至0.75元之间，而用户期望的电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元．（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价））（2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？【答案】（1）．（2）0.6元．【解析】【分析】（1）根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，得到本年度实际用电量，再乘以即可；（2）根据上年度电力部门实际收益，（1）知本年度电力部门预收益，然后由求解即可.【小问1详解】设下调后的电价为x元，依题意知用电量增至，电力部门收益为；【小问2详解】依题意有，整理得，解此不等式组得．答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．20.已知命题，命题 .（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】（1）或（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得方程有解，然后分和两种情况讨论即可；（2）先由命题为真，求得，设命题为真时的取值集合为A，命题为真时的取值集合为B，再由题意可得B是A的真子集，从而可求出的取值范围.【小问1详解】当，显然不存在使方程1=0成立；当时，一元二次方程的判别式，所以，解得或.小问2详解】若命题为真，则，因为，所以，即，当且仅当时，等号成立.设命题为真时的取值集合为A，命题为真时的取值集合为B，因为命题为真是命题为真的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以，故.21.已知函数是定义在上的奇函数，且（1）求的值（2）用定义法证明在上的单调性，并求出在上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）证明见解析； 【解析】【分析】（1）由求解；（2）利用单调性定义求解.【小问1详解】解：由，可得，此时，符合题意；【小问2详解】设，，，由，，故，所以在上单调递减，此时22.（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 【答案】（1）不等式为，证明见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，再利用作差法可证得结论成立；（2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论.【详解】解：（1）克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为，再添加克糖（假设全部溶解），则糖在糖水中所占的比例，糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有，证明如下：，则；（2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克），对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克，故华华买到的糖的平均价格为（元/千克），，即东东买到的糖的平均价格较高.