数学一轮复习专题11.1 两个计数原理 （新教材新高考）（练）教师版

专题11.1两个计数原理练基础1．（2021·全国·高二单元测试）青铜神树是四川省广汉市三星堆遗址出土的文物，共有八棵，其中一号神树有三层枝叶，每层有三根树枝，树枝上分别有两条果枝，一条上翘、一条下垂，每层上翘的果枝上都站立着一只鸟，鸟共九只（即太阳神鸟）.现从中任选三只神鸟，则三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数为（）A．6B．18C．27D．36【答案】C【分析】按照分步乘法计数原理从每层枝叶各选一只神鸟即可得到答案.【详解】每只神鸟有3种选法，三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数有（种）.故选：C.2．（2021·全国·高二课时练习）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（）A．360种B．50种C．60种D．90种【答案】B【分析】 首先根据题意分成第一类甲同学选择牛和第二类甲同学选择马，分别计算各类的选法，再相加即可.【详解】第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)，第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法．故选：B.3．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)【答案】750【分析】由分步计数原理即得.【详解】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法．故答案为：7504．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.【答案】40【分析】根据分类加法计数原理即可求解.【详解】满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8个；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32个， 所以满足条件的三角形共有8＋32＝40个.故答案为：405．（2021·全国·高二课时练习）1.计算：（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，共有多少种不同的投法？（2）将2封信随意投入4个邮箱，共有多少种不同的投法？【答案】（1）12；（2）16【分析】（1）（2）用分步乘法原理求解.【详解】（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，第一封信有4种选择，第二封有3种选择，答案为（种）；（2）将2封信随意投入4个邮箱，则每封信都有4种选择，所以共有（种）.6．（2021·全国·高二课时练习）如图，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面．拋一次硬币，得到正面记为1，得到反面记为0．现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，则结果可记为，则可得不同的数组共有多少个？【答案】【分析】利用分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】依题意可知不同的数组共有个.7．（2021·全国·高二课时练习）有不同的红球个，不同的白球个.（1）从中取出一个球，共有多少种不同的取法？（2）从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？【答案】（1）（2）【分析】 （1）分别计算出取出一个红球、取出一个白球的方法种数，利用分类加法计数原理可得结果；（2）利用分步乘法计数原理可求得结果.（1）解：从中取出一个红球，有种取法，从中取出一个白球，有种取法，由分类加法计数原理可知，从中取出一个球，共有种不同的取法.（2）解：从中取出一个红球，有种取法，从中取出一个白球，有种取法，由分布乘法计数原理可知，从中取出两个颜色不同的球，共有种不同的取法.8．（2021·全国·高二课时练习）有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加．（1）若只需1人参加，则有多少种不同的选法？（2）若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？【答案】（1）16(种)；（2）120(种).【分析】（1）利用分类加法原理求解（1）利用分步乘法原理求解【详解】（1）选1人，可分三类：第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法．共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法．（2）选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：第1步，选教师，有3种不同的选法；第2步，选男同学，有8种不同的选法；第3步，选女同学，有5种不同的选法．共有3×8×5＝120(种)不同的选法．9．（2021·全国·高二课时练习）若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？【答案】14条【分析】分类讨论A或B中有一个为0时和都不取0时的情况，根据计数原理即可求解． 【详解】分两类完成：第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线为x＝0或y＝0，共有2条；第二类：当A，B都不取0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成：第一步，确定A的值，从1，2，3，5中选一个，共有4种不同的方法；第二步，确定B的值，共有3种不同的方法．由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12(条)直线．由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线有2＋12＝14(条)．10.（2021·全国·高二课时练习）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．【答案】18种【分析】方法一：(直接法)分别考虑黄瓜种在第一块、第二块、第三块土地上的不同的种植方法，再运用加法原理可求得所有的不同种植方法．方法二：(间接法)先求得从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上的不同的种植方法，再减去不种黄瓜的不同的种植方法，由此可求得答案．【详解】解：方法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．方法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)．练提升TIDHNEG1．（2020·江苏扬州中学高一月考）已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（）A．49B．48C．47D．46【答案】A【解析】集合知：1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，而有种集合，集合对(A,B)的个数为15；2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可： 的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；∴一共有个，故选：A2．（2021·全国·高二课时练习）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N*)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．（1）如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？（2）如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？【答案】（1）6种；（2）18种.【分析】（1）利用分步计数原理求解即可.（2）首先根据题意分成两类：第一类a1，a3不同色和第二类a1，a3同色，分别计算各类的得数再相加即可.【详解】（1）先种植a1部分，有3种不同的种植方法，再种植a2，a3部分．因为a2，a3与a1的颜色不同，a2，a3的颜色也不同，所以由分步乘法计数原理，不同的种植方法有3×2×1＝6(种)．（2）当a1，a3不同色时，有3×2×1×1＝6(种)种植方法， 当a1，a3同色时，有3×2×1×2＝12(种)种植方法，由分类加法计数原理得，共有6＋12＝18(种)种植方法．3．（2021·全国·高二单元测试）已知集合，表示平面上的点，问：（1）P可表示平面上多少个第二象限的点？（2）P可表示多少个不在直线上的点？【答案】（1）6（个）；（2）30（个）．【分析】(1)由分步乘法原理求第二象限的点的个数，(2)依次确定横坐标和纵坐标的可能取法，由分步乘法原理求不在直线上的点的个数.【详解】（1）因为P表示平面上第二象限的点，故可分两步：第一步，确定a，a必须小于0，则有3种不同的情况；第二步，确定b，b必须大于0，则有2种不同的情况；根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有（个）．（2）因为P表示不在直线上的点，故可分两步：第一步，确定a，有6种不同的情况；第二步，确定b，有5种不同的情况．根据分步乘法计数原理，不在直线上的点共有（个）．4．（2021·全国·高二单元测试）某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本．已知笔的单价为4元，笔记本的单价为5元，且笔至少要买2支，笔记本至少要买2本，问不同的购买方案有多少种？【答案】7【分析】根据分类加法计数原理求解即可．【详解】设购买笔支，笔记本本，则，得，将y的取值分为三类：①当时，，因为x为整数，所以x可取2，3，4，5，共4种方案． ②当时，，因为x为整数，所以x可取2，3，共2种方案；③当时，，因为x为整数，所以x只能取2，只有1种方案．由分类加法计数原理得不同的购买方案有（种）．5．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，有些共享单车的密码锁是由4个数字组成的，你认为共享单车的密码锁能设置成由3个数字组成吗？5个数字呢？为什么？【答案】3个数字的不合适，5个数字的合适；【分析】根据分步乘法计数原理求出所有的密码组合数，再根据概率分析可行性；【详解】解：如设成3个数字，则一共有种组合，组合数不是很大，随便尝试一次开锁，打开锁的概率，打开锁的概率比较大，不合适；如设成5个数字，则一共有种组合，组合数比较大，随便尝试一次开锁，打开锁的概率，打开锁的概率比较小，合适；6．（2021·全国·高二课时练习）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？【答案】36【分析】如图，分四类进行计数，求出对应的数目，加起来即可.【详解】如图，在三棱柱中，分四类进行计数：与上底面异面的直线有对；与下底面的异面的直线有9对(除去与上底面的)；与侧棱异面的直线有6对(除去与下底面的)；侧面对角线之间成异面直线的有6对. 由分类加法计数原理，知共有异面直线共有对.7．（2021·全国·高二课时练习）计算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字不重复的两位数？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字可以重复的两位数？【答案】（1）（2）【分析】（1）用数字1，2，3，4，5，6可组成没有重复数字的两位数，用两步完成，第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字在剩下的5个数字中选择有5种方法，运用乘法原理，即可得解，（2）按照分步乘法计数原理计算可得；（1）解：第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字在剩下的5个数字中选择有5种方法，运用乘法原理得．所以可以排成个不重复的两位数；（2）解：第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字有6种选择，运用乘法原理得．所以可以排成个可以重复的两位数；8．（2021·全国·高二课时练习）已知n是一个小于10的正整数，且由集合中的元素可以排成数字不重复的两位数共25个，求n的值．【答案】5【分析】用列举法表示集合，再按照分步乘法计数原理得到方程，解得即可； 【详解】解：因为n是一个小于10的正整数，且，所以，所以从集合中的元素选出两个数组成两位数，则十位有种选法，个位有种选法，按照分步乘法计数原理可得一共有个，所以，解得或（舍去）9．（2021·全国·高二课时练习）（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？【答案】（1）81(种)；（2）24(种)；（3）64(种).【分析】由分步乘法计数原理即得.【详解】（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此跑步项目有4种选法，跳高项目有3种选法，跳远项目只有2种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有4×3×2＝24(种)．（3）要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有4×4×4＝64(种)可能的结果.10．（2021·全国·高二课时练习）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，343，94249等．显然，2位数的回文数有9个，即11，22，33，…，99；3位数的回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．求：（1）4位数的回文数个数；（2）位数的回文数个数．【答案】（1）90（2）【分析】（1）对于4位数的回文数，只需排好前2位即可确定回文数，首先列举出第一项为1的四位回文数的个数，即可知所有4位数的回文数个数； （2）根据题设，对于奇数个数的回文数，先排好中间的数字，再在两侧对其中一侧排数即可得所有回文数的个数.（1）由题设，四位数回文：∴共有90个.（2）位数，则中间的数字有10种选法，而两侧的数字只需排好一侧，则另一侧确定，不妨排前n位数字，显然第一位数字有9种选法，其余都有10种选法，∴共有个回文数.练真题TIDHNEG1.（山东省2018年普通高校招生（春季））景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（）A．6B．10C．12D．20【答案】C【解析】先确定从那一面上，有两种选择，再选择上山与下山道路，可得不同走法的种数是2×2×3=12.因此选C.2.（2013·山东高考真题（理））用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279【答案】B【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252．3．（2012·北京高考真题（理））从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6【答案】B 【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．4.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】从的最短路径有种走法，从的最短路径有种走法，由乘法原理知，共种走法.故选B．5．（2012·四川高考真题（文））方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{−2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．28条B．32条C．36条D．48条【答案】B【解析】方程ay=b2x2+c变形得，若表示抛物线，则所以，分b=-2,1,2,3四种情况：（1）若b=-2，;（2）若b="2,"以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；同理若b=1，共有9条；若b=3时，共有9条.综上，共有14+9+9=32种6．（2011·安徽高考真题（理））设集合则满足且的集合的个数为（）A．57B．56C．49D．8【答案】B【解析】 由题意可知集合S可以表示为的形式，其中为集合的非空子集，为集合的非空子集，由子集个数公式可得，集合M的个数为7个，集合N的个数为7个，则集合S的个数为个.故选：B.