四川省泸州市泸县第五中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

泸县第五中学2023年春期高一期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集的概念可求出结果.详解】，.故选：D2.已知，则（）A.B.C.D.7【答案】C【解析】【分析】分子分母同时除以，得到关于的式子，进而代入，即可得出答案.【详解】因为，所以.故选：C.3.在中，点在边上，.记，则（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据向量的共线定理表示即可求解.【详解】因为点在边上，，所以，即，所以.故选:B.4.为了得到函数的图象,可以将函数的图象A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【答案】A【解析】【详解】因为，所以将函数的图象向右平移个单位长度得的图象,选A.5.在中，､､所对的边分别为､､，若，，，则（       ）A.B.C.D.或，【答案】B【解析】【分析】由正弦定理即可求得，再由大边对大角，舍去不符合要求的值，即可得到结果.【详解】根据题意，由正弦定理，可得:，解得，故可得或，由，可得，故.故选:B. 6.已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（）A.B.C.D.π【答案】A【解析】【分析】先根据垂直关系计算得到，再根据夹角公式计算夹角.【详解】由题意知，∴.设向量和的夹角θ，则，又所以θ＝.故选：A7.计算（）．A.4B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】切化弦后根据二倍角公式及辅助角公式化简即可求值.【详解】．故选：C【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，涉及二倍角公式，两角和差的正弦、正切公式，切化弦的思想，属于中档题.8.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及当时，，判断函数单调性，作出其大致图像，数形结合，结合对数函数性质，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意是定义在R上的奇函数，故，当时，，此时在上单调递增，且过点，则当时，在上单调递增，且过点，作出函数的大致图像如图：则由可得或，解得或，即的解集为，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则等于（）A.B.C.D. 【答案】BCD【解析】【分析】由中位线的性质及相等向量的定义和向量减法的运算法则即可求解.【详解】解：因为D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，所以且，，且，所以，，所以，故选：BCD.10.已知复数，则下列结论中正确的是（）A.B.的虚部为1C.D.【答案】AC【解析】【分析】先化简复数，然后求出的共轭复数即可验证选项AB，求出复数的模验证选项C，化简选项D即可【详解】因为，所以，故A正确；的虚部为，故选项B错误；由，故选项C正确，由，所以，故选项D错误，故选：AC.11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列判断正确的是（）A.若，则B.若，则 C.若，则为锐角三角形D.若为锐角三角形，则【答案】ABD【解析】【分析】根据三角形的基本性质逐项分析得出结果即可.【详解】中，大边对大角，若，则，根据正弦定理可得，选项A正确；同理选项B正确；若，即，当时，为钝角三角形，选项C错误；若为锐角三角形，则又正弦函数在上为单调增函数，即，选项D正确故选：ABD.12.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.的图象关于直线对称D.的值域为【答案】BD【解析】【分析】通过周期函数的定义求出的最小正周期即可判断A，对B选项设，利用复合函数单调性的判定方法即可判断，对C举一组反例即可判断，对D，通过换元法，分类讨论并结合二次函数值域即可得到函数的值域.【详解】因为,故A错误， 当时,令,，即而函数在上单调递减,在上单调递减,因此,在上单调递增,故B正确，因为,即图象上的点关于直线对称点不在的图象上,故C不正确，当时，令,则，此时，即，当时，令,，则，则，即，综上，的值城为.故选：BD.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.______. 【答案】【解析】【分析】根据两角和的正弦公式即可求值．【详解】由正弦的两角和公式逆运算可得，故答案为：．14.已知点和向量，若，则点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由求向量的坐标，由此可得点的坐标.【详解】设为坐标原点，因为，，故，故点的坐标为．故答案为：.15.若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为___________.【答案】【解析】【分析】根据侧面展开图是半径为3的半圆，得到母线长和底面半径求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，因为侧面展开图是半径为3的半圆，所以母线长为l=3，，解得， 所以此圆锥的高为，故答案为：16.设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为___________．【答案】1【解析】【分析】由条件确定当时，函数取得最大值，代入即可求的集合，从而得到的最小值.【详解】由条件对任意的实数x都成立，可知，是函数的最大值，当时，，，解得：，，所以当k=0时，取最小值为1.故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设，，，.（1）若.求证：；（2）若，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式结合平面向量数量积的坐标运算证得，由此可证明出；（2）求得的坐标，由可求得，由得出，，计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1），且，，因此，；（2），，，，，，，则，，因此，.【点睛】本题考查平面向量垂直的证明，同时也考查了两角和的正弦公式以及同角三角函数关系的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.18.函数（，，）的一段图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由函数的图象得到，求得，得出，再由图象点，求得，求得，即可求解； （2）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由函数的图象，可得，可得，因为，所以，所以，又因为图象点，可得，解得，可得，因为，所以，所以函数的解析式为.（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，可得令，可得，所以的单调递增区间是.19.在中，角的对边分别为，且．（1）求A；（2）如果是锐角三角形，求的取值范围．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理可得的余弦值，结合特殊角的三角函数值以及角的范围可求出的度数；（2）由求出，并用表示出，根据与都为锐角求出的范围，将代入所求式子中，利用二倍角公式与辅助角公式化为一个角的正弦函数，由的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的性质求出的取值范围． 【详解】（1）因为所以由正弦定理得，，化，可得，因为，则；（2）由（1）得，则，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，设，因为，所以，则，即，所以的取值范围是，．【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 20.在①、②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答.在中，内角、、的对边分别为、、，，，.（1）求角、、的大小；（2）求的周长和面积.【答案】（1），，；（2）周长为，面积为.【解析】【分析】选①：（1）本题首先可根据同角三角函数关系求出，然后通过两角和的余弦公式得出，最后通过两角差的余弦公式求出；（2）本题首先可通过正弦定理求出，并求出的周长，然后通过解三角形面积公式即可求出的面积.选②：（1）本题可通过联立求出，即可得出结果；（2）本题首先可通过正弦定理求出，并求出的周长，然后通过解三角形面积公式即可求出的面积.【详解】选①：（1）因为，，所以，则，因为，所以，，因为，所以，. （2）因为，，，，所以，的周长为，的面积.选②：（1）联立，解得，因为，，所以，.（2）因为，，，，所以，的周长为，的面积.21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．（1）设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；（2）假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．【答案】（1）（2）位置是在线段的中垂线上且离的距离是km【解析】【分析】（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决； （2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.【小问1详解】矩形中，km，km，，，则，则【小问2详解】令则又，即，则，则此时所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是km22.已知，（1）当时，求函数在上的最大值；（2）对任意的，，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1）由得出函数的解析式，根据函数图象，得函数的单调性，即可得到函数在上的最大值；(2)对任意的，都有成立，等价于对任意的，成立，再对进行讨论，即可求出实数的取值范围. 小问1详解】当时，，作出函数图象如下：结合图象可知，函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，，所以函数在上的最大值为3.【小问2详解】因为，由题意得：成立.①时，也即，函数在上是增函数，所以，，从而，解得：，故②因为，由可得：，解得：或，(舍去)，当时，， 此时，，从而成立，故当时，，此时，，从而成立，故，综上所述：.【点睛】(1)对于形如，对任意的，恒成立的问题，可转化为恒成立的问题，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式处理；(2)解决不等式的恒成立问题时，要转化成函数的最值问题求解，解题时可选用分离参数的方法，若参数无法分离，则可利用方程根的分布的方法解决，解题时注意区间端点值能否取等号．