四川省泸县第五中学2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

泸县五中2023年春期高一期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式可求出，再根据交集定义求解.【详解】由解得，所以，所以，故选:A.2.已知复数满足(其中为虚数单位)，则（）A.3B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得，然后利用复数模的公式计算．【详解】因为，所以.故选：.3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（） A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，高中生的近视人数为，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.4.某学校在校学生有3000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一､高二､高三年级参加跑步的人数分别为，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取（）A.15人B.30人C.45人D.60人【答案】D【解析】【分析】先得出全校参加跑步的人数，再由分层抽样的方法求解即可.【详解】由题意，可知全校参加跑步的人数为，所以.因为，所以.因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为.故选：D5.为平行四边形两条对角线的交点，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，再由向量的减法结合条件可得答案.【详解】． 故选:D．6.已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】C【解析】【分析】ABD均可举出反例，由线面垂直的性质可得得到C正确.【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，，，而，相交，故A错误；对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2，满足，，但相交，B错误；对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，如图3，满足，，但相交，故D错误. 故选：C.7.已知在△ABC中，，则＝A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】分析：由余弦定理可得利用可得结果.详解：在中，由余弦定理得，的夹角等于，根据向量的数量积定义，，故选B.点睛：本题考查利用定义求平面向量数量积，及余弦定理的应用,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.8.已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式 ，再设，根据基本不等式求最小值即可【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，，，则关于事件A与B关系正确的是（）A.事件A与B互斥B.事件A与B不互斥C.事件A与B相互独立D.事件A与B不相互独立【答案】BC【解析】【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确； ，所以，又，故成立，故事件A与B相互独立，故C正确，D错误故选：BC10.在中，若，下列结论中正确的有（）A.B.是钝角三角形C.的最大内角是最小内角的倍D.若，则外接圆的半径为【答案】ACD【解析】【分析】先根据题意求出，，,结合正弦定理可得A，D的正误,结合余弦定理可得B，C的正误.【详解】由题意,设,解得;所以,所以A正确;由以上可知最大,所以为锐角,所以B错误;由以上可知最小,,,即,因为为锐角,为锐角,所以 所以C正确;因为，所以,设外接圆的半径为,则由正弦定理可得所以所以D正确.故选:ACD.11.如图，点位于以为直径的半圆上（含端点，），是边长为2的等边三角形，则的取值可能是（）A.B.0C.1D.4【答案】BC【解析】【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示求，化简求其范围，由此可得结论.【详解】如图所示，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，，. 令，其中，则，，所以.因，所以，所以，所以.故选：BC.12.如图，平面四边形是由正方形和直角三角形组成的直角梯形，，，现将沿斜边翻折成（不在平面内），若为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）A.与不可能垂直B.三棱锥体积的最大值为C.若都在同一球面上，则该球的表面积是D.直线与所成角取值范围为（）【答案】BCD【解析】【分析】对于A选项：根据线面垂直的判断定理，由，当时，平面，则；对于B选项：取的中点，连接，根据，则平面平面时，三棱锥体积的最大值，从而可判断；对于C，根据，可得都在同一球面上，且球的半径为，从而可判断； 对于D选项：由可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，即可求得与所成角的取值范围.【详解】解：对于A选项：由，则，当时，且，此时满足平面，因此，故A错误；对于B，取的中点，连接，则，且，因为，当平面平面时，三棱锥体积的最大值，在中，，则，此时，所以三棱锥体积的最大值为，故B正确；对于C，因为，所以都在同一球面上，且球半径为，所以该球的表面积是，故C正确；对于D，作，因为为的中点，所有，，所以，所以，所以，可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，所以与夹角为，与夹角为，又不在平面内，，， 所以与所成角的取值范围，所以正确，故选：BCD.【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理及异面直线所成的角，多面体的外接球问题，棱锥的体积问题，考查了折叠问题，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，有一定的难度.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为a，方差为b，则_________.【答案】【解析】【分析】利用平均数和方差的运算性质可求出值，再求即可.【详解】因为一组数据的平均值为3，方差为1，所以的平均值为，方差为，所以，，所以.故答案为:14.向量在向量方向上的投影向量的模为________．【答案】2【解析】【详解】根据投影的定义可得：在方向上的投影向量为：．所以在方向上的投影向量的模为故答案为：215.已知非零向量，的夹角为，，，则______．【答案】 【解析】【分析】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的定义及运算律求解作答.【详解】非零向量，的夹角为，，则由得：，即，于是得，所以.故答案为：16.奋进新时代，扬帆新航程.在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以千米/小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼-15舰载飞机在北偏西，1分钟后第二次观察到歼-15舰载飞机在北偏东，仰角为，则歼-15飞机飞行高度为_______千米（结果保留根号）.【答案】##【解析】【分析】作出图形，用点表示歼-15舰载飞机，用点表示阅兵舰，然后由正弦定理求得，再在直角三角形中求得．【详解】如图，是阅兵舰，是歼-15舰载飞机被观察的起始位置，是飞机在地面上的射影，由已知千米，，是正北方向，因此，，，，，由正弦定理，即，解得，在直角三角形中，．故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.复数z满足，为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限.（1）求复数z；（2）复数z，，所对应的向量为，，，已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，利用模长和为纯虚数列出方程组，结合复数z在复平面内所对应的点在第一象限，求出；（2）利用向量垂直得到方程，求出的值.【小问1详解】设，则，为纯虚数，则，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，则，可得，复数【小问2详解】由题意可得，，，由，得解得：.18.年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出， 年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．（1）求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．【答案】（1）；平均值为（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第百分位数的性质求解，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；（2）分抽取的人中有两人和三人去年可支配收入在内两种情况求解即可【小问1详解】由频率分布直方图，可得，则①因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，所以，则②将①与②联立，解得． 所以平均值为．【小问2详解】根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5）内，则．①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5）内”，且与与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得．②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）内”，由事件独立性定义，得．所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率：．19.如图，在直三棱柱中，，点E为边中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.（2）利用线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）连接，交于点，连接，如图，由点E为边中点.则，平面，平面，平面.（2），，即为正方形，即，，在直三棱柱中，则平面，即，，平面，，，平面20.已知函数．（1）若，求的单调递增区间；（2）若，且，求的值．【答案】（1）单调递增区间为，（2） 【解析】【分析】（1）首先化简函数，再求函数的单调递增区间；（2）由（1）的结果求得，再利用角的变换，结合两角差的正弦公式，即可求解.【小问1详解】，令，，则，，因，所以的单调递增区间为，.【小问2详解】因为，所以．因为，所以，所以，所以21.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.点是的中点，作，交于点.（1）设平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并给出证明；（2）求平面与平面所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可.（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，（3）根据线面角的定义进行求解即可，【详解】（1）证明：连结交交于，∵是正方形，∴为的中点，又∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴.（2）∵平面，平面，∴，设正方形的边长为4，∵，∴的中线，，，同理，，，∵，，∴为正三角形，中线，且，∵，，∴，同理，∴是二面角的一个平面角，又∵在正三角形中， ∴，则平面与平面所成的较小的面角的余弦值为.（3）同（2）中，得，又∵在正方形中，，，平面，平面，∴平面，同理平面，同理面，∴是直线与平面所成的角，∵在和中得，∴直线与平面所成角的正切值为.22.如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且. （1）求中线的长度；（2）设点分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理与余弦定理进行边角互化，求出，再由结合数量积的运算性质即可求解；（2）设，再根据的面积为面积的一半，得到，然后利用共线和基本定理，利用数量积运算求解.【小问1详解】，由正弦定理：，由余弦定理：.因为为中点，所以，设的夹角为，又，，即，解得或，又，∴,∴；【小问2详解】 设，则，∵的面积为面积的一半，∴，∴.设，则，又共线，∴可设，则，∴，解得：.∴，又，∴.又，化简得，