四川省泸县第五中学2022-2023学年高二文科数学下学期期末试题（Word版附解析）

泸县第五中学2023年春期高二期末考试文科数学第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得出答案.【详解】解：因为命题“”，所以其否定为：“”.故选：B.2.若复数满足，则的虚部为（）A.B.C.4D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【详解】由复数满足，得所以复数的虚部为．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则和虚部的定义，属于基础题．3.具有线性相关关系的变量x，y的回归方程为＝2－x，则下列选项正确的是（）A.变量x与y是函数关系B.变量x与y呈正相关关系 C.当x＝4时，y的预测值为2D.若x增加1个单位，则y减少1个单位【答案】D【解析】【分析】结合回归分析逐项分析判断即可.【详解】变量x与y相关关系，不是函数关系，所以A不正确；变量x与y呈负相关关系，所以B不正确；当x＝4时，y的预测值为－2，所以C不正确；若x增加1个单位，则y减少1个单位，所以D正确；故选：D.4.已知一组数据平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式计算可得答案.【详解】平均数为，方差为，故选：C.5.函数的图象大致为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】设，用导数法可得，从而有，可得确定选项.【详解】设，所以，当时，，当时，，所以，所以，所以，所以，排除B，C，D.故选A【点睛】本题主要考查由函数的解析式识别函数图象，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6.用反证法证明“若，则至少有一个为0”时，假设正确的是（）A.全不为0B.全为0C.中至少有一个不为0D.中只有一个为0【答案】A【解析】【分析】假设结论的反面成立即可，【详解】结论的反面是：全不为0．故选：A．7.曲线在点处的切线方程为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义与点斜式方程求解即可【详解】因为，所以，则当时，，故曲线在处的切线方程为，整理得，故选：B8.已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知，函数的图象有两个公共点，画图可知当直线介于之间时，符合题意，故选B.考点：函数与方程，函数的图象.【详解】 9.甲、乙、丙、丁四名同学被推荐参加背诵唐诗宋词名篇比赛活动，为了了解他们背诵的情况，老师问询了这四名学生，有如下答复：①甲说：“乙比丁背的少”；②乙说：“甲比丙背的多”；③丙说：“我比丁背的多”：④丁说：“丙比乙背的多”．若四名同学能够背诵古诗数各不相同，而且只有背诵名篇最少的一个说了真话，则四名同学按能够背诵的名篇数量由多到少顺序依次为（）A丁、乙、丙、甲B.丁、丙、乙、甲C.甲、丁、丙、乙D.丁、丙、甲、乙【答案】A【解析】【分析】根据只有一人说法正确，逐个进行假设找到矛盾即可分析得到答案【详解】因为四名同学只有一人说的正确，所以不妨先假设甲说的是正确的，其他都是错误的，则甲最少，乙比丁背的少，甲比丙背的少，丙比丁少，丙比乙少，此时顺序为：丁、乙、丙、甲，假设乙正确，其他错误，则乙最少，根据①知，乙比丁多，矛盾，所以乙错误，假设丙正确，其他错误，则丙最少，根据②知，甲比丙少，矛盾，所以丙错误，假设丁正确，其他错误，则丁最少，根据③知，丙比丁少，矛盾，所以丁错误，综上，甲说的是正确的，且顺序为：丁、乙、丙、甲，故选：A10.若双曲线E：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣4）2+y2＝16所截得的弦长为4，则E的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay＝0，由圆心到直线的距离公式可得d，再利用勾股定理，半弦长和点到直线的距离，和半径的关系得到弦长为即可求出.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay＝0， 则圆心（4，0）到该直线的距离d，由题意可得弦长为：，即，得，即离心率∴E的离心率为2．故选：A．【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，考查点到直线距离公式的应用及圆的弦长计算，属于一般题.11.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，结合导数可求出函数的单调性，由，即可判断的大小关系.【详解】设，则，令，得，，得，所以在上单调递增，在上单调递减.由题意可知，因为，所以，故选:A.【点睛】本题考查了函数单调性的判断，考查了运用单调性比较数据大小.本题的关键是构造函数.12.已知函数在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】 【分析】依题意知，设，不等式恒成立等价于恒成立，构造函数，可得在单调递增，求出，转化为在恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性与最值即可求得实数的取值范围．【详解】设，不等式恒成立，等价于恒成立，设，则在上为增函数，，，，又恒成立，整理得：恒成立，函数的对称轴方程为，该函数在区间上单调递增，，．故选：．【点睛】本题考查函数恒成立问题，将不等式恒成立等价转化为为增函数是解决问题关键，考查化归思想与理解应用能力，属于中档题．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.某病毒实验室成功分离培养出奥密克戎BA.1病毒60株、奥密克戎BA.2病毒20株、奥密克戎BA.3病毒40株，现要采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为30的样本，则奥密克戎BA.3病毒应抽取______株.【答案】10【解析】【分析】计算该层所占的比例，再乘以总人数得出结果.【详解】由题意可知，奥密克戎BA.3病毒应抽取株.故答案为：10.14.若函数在处有极小值，则实数等于__________.【答案】1【解析】【分析】由f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，知f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，由f（x）在x＝1处取得极小值，知f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，由此能求出a，再根据条件检验即可.【详解】∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，∴f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x在x＝1处取得极小值，∴f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，解得a＝1或a＝﹣4，又当a=-4时，f′（x）＝-12x2﹣4x+16=-4（x-1）(3x+4)，此时f（x）在（上单增，在（1，上单减，所以x=1时取得极大值，舍去；又a=1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1=（x-1）(3x-1)，此时f（x）在（上单减，在（1，上单增，符合在x＝1处取得极小值，所以a＝1．故答案为1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值的问题，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．易错点是容易产生增根．15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào）．已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为__________． 【答案】【解析】【分析】由已知，可根据题意，设，然后根据体积为1，求解出，然后把鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，可根据长方体的外接球半径是其体对角线的一半求解出外接球半径，从而求解外接球表面积.【详解】由已知，因为平面，可令，所以，所以，所以，由已知，鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，设其外接球半径为，所以其外接球的半径，所以其外接球的表面积.故答案为：.16.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，在处的切线与的准线交于点，连接．若，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】设点、，分析可知抛物线在点处的切线方程为，且直线与轴不重合，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，证明出，，，可求出的值，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】抛物线的准线为，抛物线的焦点为，如下图所示：设点、，接下来证明出抛物线在点处的切线方程为，联立可得，可得，所以，抛物线在点处的切线方程为，所以，直线的方程为，若与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，，在直线的方程中，令可得，可得，即点，，，所以，，即， 因为，当时，因为，则，则；当轴时，则，直线的方程为，联立可得，解得，取点、，此时，直线的方程为，即，在直线的方程中，令可得，即点，所以，，则，则，此时，.综上所述，，.因为，则，又因为，所以，，所以，，即，因此，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.已知函数.求：（1）曲线在点处的切线方程；（2）函数在区间上的最值.【答案】（1）（2）最大值为1，最小值为.【解析】【分析】（1）求出函数导数，结合切点和斜率求出切线方程；（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值.【小问1详解】，则，，切点是，故切线方程是，即；【小问2详解】令，解得：或，，，在的变化如下：02300单调递增极大值1单调递减极小值单调递增1在和上单调递增，在上单调递减， 最大值是，又，，在的最大值是，在在最小值是.18.某社会机构为了调查对跑步的兴趣程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下列联表：35岁以下（含35岁）35岁以上合计很感兴趣152035不感兴趣101525合计253560（1）根据列联表，能否有90%的把握认为对跑步的兴趣程度与年龄有关；（2）若从35岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取5人，现从这5人被调查者中随机选取3人，求这3名被调查者中恰有1人对跑步不感兴趣的概率．参考公式及数据：．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）没有；（2）.【解析】【分析】（1）根据表中的数据利用公式求解，然后根据临界值表得出结论，（2）由分层抽样的定义求得抽取的5人中有3人对跑步很感兴趣，有2人对跑步无兴趣，然后利用列举法求解即可【详解】解：（1），所以没有90%的把握认为对跑步的兴趣程度与年龄有关． （2）由题知35岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5人中有3人对跑步很感兴趣，设为，有2人对跑步无兴趣，设为．从中随机选取3名的基本事件有，，共10个．其中恰有1个的有，共6个．所以这3名被调查者中恰有1人对跑步不感兴趣的概率为．19.如图，在四边形中，，，点在上，且，，现将沿折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平面几何知识得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB⊥平面PBC得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.【详解】（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD，∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE，又BC⊥BE，PC∩BC=C，∴EB⊥平面PBC，又∵EB平面DEBC，∴平面PBC平面DEBC；（2）解法1：∵AB//DE，结合CD//EB得BE=CD=2，由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE得,∴△PBC为等边三角形，∴, ∴.解法2：∵AB//DE，结合CD//EB得BE=CD=2，由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE，得,∴△PBC为等边三角形，取BC的中点O，连结OP，则,∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，∴.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.已知椭圆的长轴长与短半轴长之比为，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线与x轴，椭圆C依次相交于三点，点M为线段上的一点，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由题意得，求解出，从而可得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程化简，设，，利用根与系数的关系，设，则得，表示出，从而可表示出的面积，再由的范围可求得结果.【小问1详解】根据题意得，解得，所以椭圆C的方程为．【小问2详解】由题意得，，将直线l的方程代入椭圆C的方程，整理得：，，由得，，设，，由韦达定理可得，设，所以，，即，所以， 所以的面积．因为，所以的面积．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由求出，从而可表示出的面积，考查数学计算能力和数学转化思想，属于较难题.21.已知函数，.（1）若，求证：当时，（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用分析法，结合取对数运算，证得不等式成立.（2）构造函数，利用导数求得的最小值，利用最小值为非负数列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）证明：当时，，则欲证，即，故只需证明，两边取对数，即证，，该不等式显然成立，从而当时，. （2）解：恒成立，即恒成立设，则，只需讨论函数，因，所以单调递增，，欲取一点，使得，，因此，取因此在之间存在唯一零点，得，则，故在上单调递减，在上单调递增，所以，设，，则只需，即，此时，由此可得实数a的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分析法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）为曲线C上两点，若，求的值． 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由极坐标与直角的互化公式，代入极坐标方程，即可求得曲线C的普通方程；（2）由，设，则的点坐标为，结合曲线的极坐标方程和三角函数的基本关系式，即可求解的值.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程为，可得，将代入，可得可得曲线C的普通方程为.（2）因为，所以，因为，设，则的点坐标为，所以.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及极坐标方程的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.（选修4-5不等式选讲）23.已知函数．（1）解关于x的不等式；（2）记的最小值为m，若a、b、c都是正实数，且，求证：．【答案】（1）不等式的解集为或；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）化简函数解析式，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）由已知可得，利用柯西不等式即可证得原不等式成立.【小问1详解】由，可得，当时，由，解得，此时；当时，，此时不等式无解；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集为或.【小问2详解】由绝对值三角不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故，由题意可知，正实数、、满足，由柯西不等式可得，当且仅当时，等号成立，故原不等式得证.