四川省泸县第一中学2022-2023学年高二数学（理）下学期期末试题（Word版附解析）

泸县第一中学2023年春期高二期末考试数学（理工类）第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到，再求其虚部即可.【详解】由题知：，，所以的虚部为.故选：A2.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可得答案【详解】解：定义域为，因为，所以为偶函数，所以图像关于轴对称，所以排除AC， 当时，，则，令，则或（舍去）当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以排除B，故选：D3.函数的单调递增区间为（）A.()B.(1，+)C.(1，1)D.(0，1)【答案】D【解析】【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.【详解】∵函数，，∴，由，，解得，即函数的单调递增区间为.故选：D.4.已知，是两条不同的直线，是平面，且则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件【答案】B【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系以及线面平行的判定定理，结合必要不充分条件的概念即可得出结论.【详解】依题意得，当，时，直线与直线的位置关系为平行或者异面，当，时，由线面平行的判定定理可得，综上所述，“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 5.执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数的最小值是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数的取值范围，于此可得出整数的最小值.【详解】满足条件，执行第一次循环，，；满足条件，执行第二次循环，，；满足条件，执行第二次循环，，.满足条件，调出循环体，输出的值为.由上可知，，因此，输入的整数的最小值是，故选A.【点睛】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6.已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于()A.6B.5C.4D.2【答案】B【解析】【分析】先求出,再利用焦半径公式即可获解.【详解】由题意，,解得所以故选：B.7.甲､乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6 件，其测量数据的条形统计图如下.则（）A.甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数B.甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数C.甲的数据的方差大于乙的数据的方差D.甲的数据的极差小于乙的数据的极差【答案】C【解析】【分析】根据条形图列举出甲乙的数据，应用平均数、中位数、方差、极差的求法求出甲乙的特征数据，进而比较它们的大小即可.【详解】由题设，甲数据为，乙数据为，所以甲的平均数为，乙的平均数为，甲乙中位数均为，甲的方差，乙的方差，甲极差为，乙极差为，综上，甲乙平均数、中位数相同，甲的方差大于乙的方差，甲的极差大于乙的极差.故A、B、D错误，C正确.故选：C8.已知随机变量X服从正态分布，若，则（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的定义和正态曲线的对称性即可得到答案. 【详解】.故选：B.9.已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性规则判断即可；【详解】解：对于命题，当时，故命题为假命题，所以为真命题；对于，恒成立，所以函数在R上单调递增，故命题为真命题，所以为假命题，所以为假命题，为假命题，为真命题；故选：D10.已知函数.曲线在点处切线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】首先求出，再求出函数的导函数，即可得到，最后利用点斜式求出切线方程；解：因为，所以，所以，，所以切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即；故选：C11.已知，则下列关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】【分析】根据，取，和，，即可排除错误选项，构造函数，利用导数说明其单调性，即可判断C．【详解】解：根据，取，，则可排除、；取，，则由，，可排除．构造函数，，则，令，则，即函数在上单调递增，因为，所以，即，所以，所以，所以，故C正确；故选：．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．12.已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，得，得，构造函数，，求出其最小值，即可求出a的取值范围． 【详解】由，得，即，记，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，记，，，，，，时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，.故选：A.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是合理构造函数，求出其最小值从而求出a的取值范围．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个点,其中落入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为______________．【答案】9 【解析】【分析】先根据点数求解概率,再结合几何概型求解黑色部分的面积【详解】由题设可估计落入黑色部分的概率设黑色部分面积为,由几何概型计算公式可得解得故答案为:914.3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则相同科目的书不相邻的放法共有______种．【答案】72【解析】【分析】不相邻问题用插空法.【详解】3本数学书的放法有种，其间产生4个空挡，如图.将3本语文书插入①②③号空挡，或②③④号空挡，共有种，故同类书不相邻的放法共有种.故答案为：.15.抛物线的焦点为，已知抛物线在点处的切线斜率为2，则直线与该切线的夹角的正弦值为______．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义，结合切线的斜率求解切点坐标，然后求解切线与的正切值，再利用三角函数恒等变换公式可求得结果【详解】解：由，得，则，设点的坐标为，则由题意可得，解得，则，所以，因为抛物线的焦点，所以，设切线与的夹角为，则， 所以，故答案为：16.在正方体中，棱长为1，，分别为，的中点，为线段上异于，的动点，现有下列结论：①与为异面直线；②；③周长最小值为；④三棱锥的体积为定值.其中所有正确结论的编号是_______.【答案】①②④【解析】【分析】在正方体中，由线线，线面关系可判断①和②；而③周长，当为线段上异于，的动点时，显然是中点时最小；④三棱锥的体积可考虑底面和高是否分别为定值即可.【详解】①在正方体中，易得与为异面直线,所以①正确；②在正方体中，易得，又,，，所以面，又面，所以，故，所以②正确；③当移动到线段中点时，周长的最小值，此时周长，所以③错误；④在三棱锥中，当在线段中移动时，底面中，不变，到的距离不变，所以面积为定值，又连接，交于，则易得面，所以为三棱锥 的高，且为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以④正确；故答案为：①②④.【点睛】立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑:（1）找出动点所在的线段或轨迹；（2）判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹,利用线线、线面、面面位置关系求解，或线线、线面、面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.已知函数在点（1，）处的切线方程为.（Ⅰ）求实数和的值；（Ⅱ）求在[1，3]上的最小值.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程即可求解；（Ⅱ）结合导数与单调性关系可先判断函数的单调性，进而可求最小值．【详解】解：（Ⅰ）因为所以， 由题意可得，，解得，，，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以，因为，，易得，当，时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值也就是最小值【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的最值，属于基础题．18.在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.为了解我市脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对，两个地区2020年脱贫家庭进行随机抽样调查，共抽取600户作为样本，统计数据如下表：地区地区2020年人均年纯收入超过10000元50户200户2020年人均年纯收入未超过10000元250户100户假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.（将频率视为概率）（1）从地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该户人均年纯收入超过10000元的概率；（2）分别从地区和B地区2020年脱贫家庭中各随机抽取1户，记为这2户家庭中2020年人均年纯收入未超过10000元的户数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)的分布列见解析，的数学期望为.【解析】【分析】(1)利用数表求出A地区人均年纯收入超过10000元的频率，由此估计概率即得；(2)确定X所有可能值，再分别求出对应的概率列出分布列即可作答.【详解】(1)从地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，该户人均年纯收入超过10000元的事件为M，由表格中数据知，A地区抽出的300户家庭中，2020年人均年纯收入超过10000元的有50户，则人均年纯收入超过10000元的频率为，由此估计；(2)X的可能值为0，1，2， 从地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，该户人均年纯收入超过10000元的事件为N，则，而M与N相互独立，，，，所以X的分布列为：X012PX的数学期望为：.19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质可得，由平面几何的知识可得，再由线面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量、平面的一个法向量为，由即可得解.【详解】（1）证明：连结，如图， ∵平面，平面，∴，∵底面是平行四边形，，∴，∵，∴平面；（2）以C为原点，为x轴，为y轴，过点C作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，∵，，∴，，，，∴，，设平面的一个法向量，则，取得，∵平面，∴平面的一个法向量为，则，又二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明及利用空间向量求二面角，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题. 20.平面直角坐标系中，点，直线：．动点到的距离比线段的长度大2，记的轨迹为．（1）求的方程；（2）设点在上，，为上异于的两个动点，且直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值．【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）依题意，线段的长度等于到：的距离，由抛物线定义可得其方程；（2）设直线方程为（），与联立得，由“直线，的斜率互为相反数”结合韦达定理得，进而可证得结果.【详解】（1）由已知，线段的长度等于到：的距离，则点的轨迹是以为焦点，：为准线的抛物线，所以，的方程为．（2）将代入得．则易知直线斜率存在，设为，知，直线方程为．由得．则，．①则，，因为直线，的斜率互为相反数，所以，，则．②联立①②，得，所以或． 若，则的方程为，恒过点，不合题意；所以，即直线的斜率为定值．21已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.【答案】（1）减区间是，增区间；（2）2．【解析】【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）由分离参数法问题转化为在上恒成立，求出的最大值即可，利用导数确定的单调性，得最大值．【详解】（1）由已知，当时，，当时，，∴的减区间是，增区间；（2）函数的定义域是，定义域是，不等式为，∴不等式在上恒成立，∴在上恒成立，设，则，时，，， 又在上是增函数，，，∴存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减，，，，∴，∵，∴，∴整数的最小值为2．【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，用导数研究不等式恒成立问题，解题关键在于问题的转化，解题方法是：用分离参数法转化为在上恒成立，然后再用导数求出的最大值即可．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是为参数）（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线与轴的交点是，直线与曲线交于，两点，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将曲线变形为，由，，，代入即可得到所求曲线的直角坐标方程；（2）令，可得，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，求得的两解，由参数的几何意义，计算即可得到所求和．【详解】（1）曲线的极坐标方程是， 即为，由，，，可得，即；（2）直线的参数方程是为参数）令，可得，，即，将直线的参数方程代入曲线，可得：，即为，解得，，由参数的几何意义可得，．【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用，，进行方程的转化，同时注意运用参数的几何意义进行求解，考查方程思想的运用和运算求解能力．（选修4-5不等式选讲）23.已知函数，且不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）若正实数满足，证明：．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，然后列出方程求解，即可得到结果；（2）根据题意，结合柯西不等式代入计算即可得到证明.【小问1详解】，且，，解得．．．（i）当时，由，解得（不合题意，舍去）；（ii）当时，由，解得，经检验满足题意．综上所述，．【小问2详解】由（1）得．．，．当且仅当，即时等号成立．．