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湖北省恩施鄂西南三校联盟2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题(Word版附解析)
湖北省恩施鄂西南三校联盟2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题(Word版附解析)
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鄂西南三校高二年级9月联考数学试卷本试卷共6页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足,为的共轭复数,则()A.B.C.D.2.已知集合,,则()A.B.C.D.3.如图,,,,且,直线,过三点的平面记作,则与的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M4.下列结论中正确的是() A.若数据的频率分布直方图为单峰不对称,且在右边“拖尾”,则平均数小于中位数B.一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a,则这组数据的平均数改变,方差改变C.一个样本的方差,则这组样本数据的总和等于60D.数据的方差为,则数据的方差为5.2022年4月16日,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,返回舱呈钟形,将其近似地看作一个半球(上)和一个圆台(下)组合体,其中半球的半径为1米,圆台的上底面与半球的底面重合,下底面半径为1.2米,若圆台的体积是半球的体积的2倍,则圆台的高约为()A.1.0米B.1.1米C.1.2米D.1.3米6.如图所示,内有一点满足,过点作一直线分别交于点.若,则()A.B.C.D.7.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等,其描述为:任一正整数x,如果是奇数就乘以3再加1,如果是偶数就除以2,反复计算,最终都将会得到数字1如给出正整数5,则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1,即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6,7,8,9,10中任取2个数按照上述运算规律进行运算,则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为()AB.C.D.8.四名同学各掷骰子5次,并各自记录每次骰子出现的点数,分别统计四名同学的记录结果,可以判断出一定没有出现点数6的是() A.平均数为3,中位数2B.中位数为3,众数为2C.中位数为3,方差为2.8D.平均数为2,方差为2.4二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设,函数在区间上有零点,则的值可以是( )A.B.C.D.10.在中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()A.是的充要条件B.在中,若,,,则C.若,,则面积的最大值为D.若,则为钝角三角形11.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子,用a表示黄色骰子朝上的点数,用b表示白色骰子朝上的点数,用表示一次试验的结果,该试验的样本空间为,记事件“关于的方程无实根”,事件”,事件“”,事件“20”,则()A与互斥B.与对立C.与相互独立D.与相互独立12.如图,在棱长为1的正方体中,为线段上一动点(包括端点),则()A.三棱锥的体积为定值B.当点与重合时,三棱锥的外接球的体积为 C.过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为D.直线与平面所成角的正弦值的范围为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,,若,则_________.14.三棱锥中,,,,则______.15.分子式是有机化合物甲烷(农村沼气的主要气体),它作为燃料广泛应用于民用和工业中.近年来科学家通过观测数据,证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加.深入研究甲烷,趋利避害,成为科学家面临的新课题.如图甲烷分子的结构为正四面体结构,四个氢原子位于正四面体的四个顶点,碳原子位于正四面体的中心,碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等.请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值为___________.16.中,,,,D是BC上一点且,则的面积为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量,,函数. (1)求函数的值域和单调递增区间;(2)当,且时,求的值.18.如图,在四棱柱中,底面是边长为1的正方形,侧棱平面,,是的中点.(1)求证:平面;(2)证明:;(3)求三棱锥的体积.19.甲、乙两名技工加工某种零件,加工的零件需经过至多两次质检,首次质检合格的零件作为一等品出售,不合格的零件交由原技工进行重新加工,重新加工完进行再次质检,再次质检合格的产品作为二等品出售,不合格的作废品处理.已知甲加工的零件首次质检的合格率为,重新加工后再次质检的合格率为,乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为,且每次质检合格与否相互独立,现由甲、乙两人各加工1个零件.(1)求这2个零件均质检合格概率;(2)若一等品的价格为100元,二等品的价格为50元,废品的价格为0元,求这2个零件的价格之和不低于100元的概率.20.在中,三个内角所对的边分别是,,,且.(1)求;(2)当取最大值时,求的面积. 21.2022年7月1日是中国共产党建党101周年,某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度,针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有m人,按年龄分成5组,其中第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有10人.(1)根据频率分布直方图,估计这m人的第80百分位数;(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人,担任“党章党史”的宣传使者.①若有甲(年龄36),乙(年龄42)两人已确定入选宣传使者,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,再随机抽取2名作为组长,求甲、乙两人至少有一人被选上的概率;②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1,据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.22.如图,在梯形中,,,,四边形为矩形,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求二面角的平面角的余弦值;(3)若点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的平面角为,试求的范围. 鄂西南三校高二年级9月联考数学试卷命题人:徐小华审题人:郑伟本试卷共6页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足,为的共轭复数,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算和模长公式可得答案.【详解】因为,所以,所以,.故选:B.2.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质解不等式求出集合,利用交集的运算求出结果.【详解】∵,,∴.故选:A.3.如图,,,,且,直线,过三点的平面记作,则与的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【答案】D【解析】【分析】根据平面的基本事实,结合图形,即可判断选项.【详解】∵直线,过三点的平面记作,∴与的交线必通过点和点,故选:D.4.下列结论中正确的是()A.若数据的频率分布直方图为单峰不对称,且在右边“拖尾”,则平均数小于中位数B.一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a,则这组数据的平均数改变,方差改变C.一个样本的方差,则这组样本数据的总和等于60D.数据的方差为,则数据的方差为 【答案】C【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差的计算公式和性质逐项分析即可.【详解】对于A,直方图大体如下图:由于是“右拖”,最高峰偏左,则中位数靠近高峰处,平均数则靠近中点处,所以平均数大于中位数,故A选线错误;对于B,设这组数据为,则平均数为,方差为,则减后,平均数为,方差为,所以是平均数改变,方差不变,故B选项错误;对于C,由题意,可知平均数为,所以总和,故C选项正确;对于D,设数据的平均数为,则有,方差为,设数据的平均数为,则,方差为,故D选项错误.故选:C. 5.2022年4月16日,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,返回舱呈钟形,将其近似地看作一个半球(上)和一个圆台(下)的组合体,其中半球的半径为1米,圆台的上底面与半球的底面重合,下底面半径为1.2米,若圆台的体积是半球的体积的2倍,则圆台的高约为()A.1.0米B.1.1米C.1.2米D.1.3米【答案】B【解析】【分析】利用圆台的体积公式与球体的体积公式,建立方程,求得圆台的高.【详解】由圆台的体积公式,以及球体的体积公式,,解得,圆台的高约为米.故选:B.6.如图所示,内有一点满足,过点作一直线分别交于点.若,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角形重心向量表达式,结合共线向量的运算性质进行求解即可.【详解】因为,所以G为的重心, 所以,所以且,所以,故选:B7.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等,其描述为:任一正整数x,如果是奇数就乘以3再加1,如果是偶数就除以2,反复计算,最终都将会得到数字1如给出正整数5,则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1,即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6,7,8,9,10中任取2个数按照上述运算规律进行运算,则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题中定义,分别求出正整数6,7,8,9,10按照题中所给运算规律进行运算次数,最后根据古典概型计算公式进行求解即可.【详解】按照题中运算规律,正整数6的运算过程为,运算次数为8;正整数7的部分运算过程为,当运算到10时,运算次数为10,由正整数的运算过程可知,正整数7总的运算次数为;正整数8的运算次数为3;正整数9的部分运算过程为,当运算到7时,运算次数为3,由正整数7的运算过程可知,正整数9总的运算次数为.正整数10的运算次数为6;故正整数6,7,8,9,10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数,从正整数6,7,8,9,10中任取2个数的方法总数为:,共种,其中的运算次数均为偶数的方法总数为:,共种,故运算次数均为偶数的的概率为,故所求概率. 故选:C.8.四名同学各掷骰子5次,并各自记录每次骰子出现的点数,分别统计四名同学的记录结果,可以判断出一定没有出现点数6的是()A.平均数为3,中位数2B.中位数为3,众数为2C.中位数为3,方差为2.8D.平均数为2,方差为2.4【答案】D【解析】【分析】根据题意举出特例,结合中位数,众数,平均数以及方差公式,即可得出答案.【详解】对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故A错误;对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故B错误;对于C,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,平均数为:,方差为,可以出现点数6,故C错误;对于D,若平均数为2,且出现6点,则方差,则平均数为2,方差为2.4时,一定没有出现点数6,故D正确.故选:D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设,函数在区间上有零点,则的值可以是( )A.B.C.D.【答案】BD【解析】 【分析】化简得到,根据得到,从而得到,求出答案.【详解】,因为,,所以,要想区间上有零点,则,解得,故的值可以是,;故选:BD10.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()A.是充要条件B.在中,若,,,则C.若,,则面积的最大值为D.若,则为钝角三角形【答案】ACD【解析】【分析】直接利用正弦定理的和大边对大角判断A的结论,利用正弦定理和三角函数的值判断B的结论,利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用判断C的结论,利用向量的数量积和余弦定理的应用判断D的结论.【详解】对于A:由正弦定理,整理得,所以,由,所以,利用正弦定理,故是的充要条件,故A正确;对于B:在中,若,,,利用正弦定理:,所以,由于,则或均符合题意,故B错误;对于C:若,,则,所以, 又,所以,即,当且仅当时,等号成立,故,故C正确;对于D:,故,由于,所以,故为钝角三角形,故D正确.故选:ACD.11.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子,用a表示黄色骰子朝上的点数,用b表示白色骰子朝上的点数,用表示一次试验的结果,该试验的样本空间为,记事件“关于的方程无实根”,事件”,事件“”,事件“20”,则()A.与互斥B.与对立C.与相互独立D.与相互独立【答案】BCD【解析】【分析】先用列举法写出一次试验的基本事件,再根据条件写出事件包含的基本事件即可判断出选项A和B的正误;再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和D分析判断即可得出结果.【详解】由题意得,,,包含36个样本点.由,得,所以,,,,共包含30个样本点,,,共包含6个样本点,与不互斥,故选项错误; 又,,共包含18个样本点,,共包含6个样本点,所以与对立,故选项B正确;选项C,因为,所以,故与相互独立,故选项C正确;选项D,因为,所以,故与相互独立,故选项正确.故选:BCD.12.如图,在棱长为1的正方体中,为线段上一动点(包括端点),则()A.三棱锥的体积为定值B.当点与重合时,三棱锥的外接球的体积为C.过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为D.直线与平面所成角的正弦值的范围为【答案】BD【解析】【分析】利用锥体的体积公式可判断A;求出三棱锥外接球的半径与体积可判断B;作出截面图形,利用三角形的面积公式可判断C;计算出点到平面的距离,以及 的取值范围,结合线面角的定义可判断D.【详解】对于A,因为且,故四边形为平行四边形,所以,平面,平面,平面,,所以点到平面的距离等于点到平面的距离,,,故A错误;对于B,当点与重合时,三棱锥的外接球即为正方体的外接球,正方体的外接球直径为,,故三棱锥外接球的体积为,故B正确;对于C,且,则四边形为平行四边形,所以,平面,平面,所以平面,又因为平面,,平面,所以,平面平面,所以,过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为,是边长为的等边三角形,该三角形的面积为,故C错误;设点到平面的距离为,由知,点到平面的距离为, 当点在线段上运动时,因为,若为的中点时,,,当点为线段的端点时,,即,设直线与平面所成角为,,故D正确.故选:BD.【点睛】方法点睛:计算线面角,一般有如下几种方法:(1)利用面面垂直的性质定理,得到线面垂直,进而确定线面角的垂足,明确斜线在平面内的射影,即可确定线面角;(2)在构成线面角的直角三角形中,可利用等体积法求解垂线段的长度,从而不必作出线面角,则线面角满足(为斜线段长),进而可求得线面角;(3)建立空间直角坐标系,利用向量法求解,设为直线的方向向量,为平面的法向量,则线面角的正弦值为.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,,若,则_________.【答案】【解析】【分析】由垂直向量的数量积为零,直接列方程求解即可.【详解】因为,,且,所以,解得:.故答案为:.14.三棱锥中,,,,则______. 【答案】-2【解析】【分析】根据向量的减法运算,结合数量积的运算,可求得答案.【详解】由题意得,故,,故答案为:-215.分子式是有机化合物甲烷(农村沼气的主要气体),它作为燃料广泛应用于民用和工业中.近年来科学家通过观测数据,证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加.深入研究甲烷,趋利避害,成为科学家面临的新课题.如图甲烷分子的结构为正四面体结构,四个氢原子位于正四面体的四个顶点,碳原子位于正四面体的中心,碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等.请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值为___________.【答案】【解析】【分析】画出几何体,由几何体的结构特征求出碳氢键的键长,利用余弦定理进行求解即可.【详解】如图: 设正四面体的棱长为,正三角形中,,正四面体的高,设,则中,,即,解得即则中,即甲烷碳氢键的键角的余弦值为故答案为:16.中,,,,D是BC上一点且,则的面积为______.【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函数公式可求,利用同角三角函数基本关系式可求,利用二倍角的余弦函数公式可求,利用诱导公式可求,可求 ,利用两角和的正弦函数公式可求,在中,由余弦定理可得AB,在中,由正弦定理可得AD,即可根据三角形的面积公式计算得解的值.【详解】,,,在中,由正弦定理,可得:,解得:,可得:,,,,可得:,,在中,由余弦定理可得:,解得:,或3.,,可得:,可得:,与矛盾,,在中,由正弦定理,可得:,.故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用,考查了计算能力和转化思想,考查了数形结合思想的应用,属于中档题.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知向量,,函数. (1)求函数的值域和单调递增区间;(2)当,且时,求的值.【答案】(1)值域是;()(2)【解析】【分析】(1)根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换可得,进而结合三角函数性质运算求解;(2)根据题意可得,结合倍角公式运算求解.小问1详解】,当,即时,取到最大值;当,即时,取到最大值;所以函数的值域是;令,解得,所以函数的单调增区间为.【小问2详解】因为,可得,因为,则, 可得,所以.18.如图,在四棱柱中,底面是边长为1的正方形,侧棱平面,,是的中点.(1)求证:平面;(2)证明:;(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】分析】(1)根据线线平行,即可证明线面平行;(2)根据线面垂直的性质定理,以及线面垂直的判断定理,即可求解;(3)利用等体积转化,求三棱锥的体积.【小问1详解】证明:设,连接. 在四棱柱中,是正方形,所以为中点.又因为为中点,所以.因为面面,所以面.【小问2详解】证明:在四棱柱中,面.因为面,所以.在正方形中,.又因为面面,所以面.因为面,所以.【小问3详解】在四棱柱中,因为面,所以是三棱锥的高.所以.19.甲、乙两名技工加工某种零件,加工的零件需经过至多两次质检,首次质检合格的零件作为一等品出售,不合格的零件交由原技工进行重新加工,重新加工完进行再次质检,再次质检合格的产品作为二等品出售,不合格的作废品处理.已知甲加工的零件首次质检的合格率为,重新加工后再次质检的合格率为 ,乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为,且每次质检合格与否相互独立,现由甲、乙两人各加工1个零件.(1)求这2个零件均质检合格的概率;(2)若一等品的价格为100元,二等品的价格为50元,废品的价格为0元,求这2个零件的价格之和不低于100元的概率.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)所求事件为两个相互独立事件的积事件,先分别将两事件转化为互斥事件的和事件,再利用概率加法公式求它们的概率,最后由相互独立事件的积事件概率乘法公式可求;(2)所求事件为“这2个零件的价格之和不低于100元”,转化为“两个均质检合格”、“甲不合格乙一等品”、“乙不合格甲一等品”三个互斥事件的和事件,分别求解再利用概率加法公式求解即可.【小问1详解】(Ⅰ)设事件表示“甲加工的零件质检合格”,事件表示“甲加工的零件首次质检合格”,事件表示“甲重新加工的零件再次质检合格”;设事件表示“乙加工的零件质检合格”,事件表示“乙加工的零件首次质检合格”,事件表示“乙重新加工的零件再次质检合格”.由题意知,,,且事件与,与互斥,事件与,与,与相互独立.则,.所以.【小问2详解】(Ⅱ)设事件表示“这2个零件的价格之和不低于100元”,则,, ,则.20.在中,三个内角所对的边分别是,,,且.(1)求;(2)当取最大值时,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理化角为边,再根据余弦定理即可得解;(2)向量化结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】因为,所以,由正弦定理可得,整理得到:,所以,而,故;【小问2详解】因为,故,故,所以,故,整理得到,故,当且仅当,即时等号成立, 故此时,对应的的面积为.21.2022年7月1日是中国共产党建党101周年,某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度,针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有m人,按年龄分成5组,其中第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有10人.(1)根据频率分布直方图,估计这m人的第80百分位数;(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人,担任“党章党史”的宣传使者.①若有甲(年龄36),乙(年龄42)两人已确定入选宣传使者,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,再随机抽取2名作为组长,求甲、乙两人至少有一人被选上的概率;②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1,据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】(1)(2)①;②10【解析】【分析】(1)根据百分位数的定义结合频率分布直方图中的数据,计算即可;(2)①由列举法结合古典概型的概率公式计算即可;②由方差的计算公式求解即可. 【小问1详解】设这人的平均年龄为,则(岁.设第80百分位数为,方法一:由,解得.方法二:由,解得.【小问2详解】①由题意得,第四组应抽取4人,记为,,,甲,第五组抽取2人,记为,乙.对应的样本空间为:,,(,甲),(,乙),,,(,甲),(,乙),,(,甲),(,乙),,(甲,乙),(甲,),(乙,),共15个样本点.设事件“甲、乙两人至少一人被选上”,则,甲),(,乙),(,甲),(,乙),(,甲),(,乙),(甲,乙),(甲,),(乙,,共有9个样本点.所以,.②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为,,方差分别为,,则,,,,设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为,方差为.则,.因此,第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.据此,可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10.22.如图,在梯形中,,,,四边形为矩形,平面平面,.(1)求证:平面; (2)求二面角的平面角的余弦值;(3)若点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的平面角为,试求的范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3),.【解析】【分析】(1)通过证明结合平面平面可证明结论;(2)取中点,连接,,通过说明,可得为二面角的平面角,后由题目条件结合余弦定理可得答案;(3)当点M在F点时,由(2)可知答案;当M在点E时,过B作,且使,连接,,则由题目条件可得;当与,都不重合时,令,延长交的延长线于,连接,过作交于,连接,通过说明,可得.后综合三种情况可得答案.【小问1详解】证明:在梯形中,,,,,,,,平面平面,平面平面,平面,平面.【小问2详解】解:取中点,连接,,,,,,,为二面角的平面角.,,,,. 【小问3详解】由(2)知:①当与重合时,;②当与重合时,过作,且使,连接,,则平面平面,,,平面ABC,平面ABC,,平面,平面,,,;③当与,都不重合时,令,,延长交的延长线于,连接,在平面与平面的交线上,在平面与平面的交线上,平面平面,过作交于,连接,由(1)知,,又,平面,,平面,平面,.又,平面ACH,,平面,,.在中,,从而在中,,,,.,. 综上所述,,.【点睛】方法点睛:本题涉及利用几何方法求二面角的平面角大小,对于此类问题可在两半平面内过交线上一点作交线的垂线;也可找到与交线垂直的平面,则垂面与半平面交线所形成的角即为所求平面角.
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