2023年新高考一轮复习讲义第38讲 数列的综合应用（解析版）

第38讲　数列的综合应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（       ）A．2192B．C．D．【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，设张华第个月的还款金额为元，则，故选：D2．（2022·山东泰安·一模）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（       ）A．，B．C．，D．【答案】D【分析】由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由于数列满足，所以对任意的都成立，故数列单调递增，且满足，，所以，解得．故选：．3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项"，则数列的所有“和谐项”的平方和为（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据，得到，两式相减得到，从而得到数列的通项公式，根据“和谐项"的定义可得，再利用等比数列的前项和可得答案.【详解】①，②，①-②得，即，，，故，，所以数列的所有“和谐项”的平方和为.故选：D.4．（2022·北京朝阳·一模）已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期.若四个数列分别满足：①，；②，；③，，；④，.试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 则上述数列中，8为其周期的个数是（       ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用数列的周期的定义逐项分析即得.【详解】①∵，∴数列的周期为，故8也是数列的周期；②由，，可得故数列的周期为；③由，，可得，，故数列的周期为；④由，可得，，故数列的周期为，所以8也是数列的周期.故8为其周期的数列个数为2.故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（       ）A．5B．6C．7D．8【答案】D试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【分析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.【详解】设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，由等差数列前n项和公式得：，∴，∵,∴n为264的因数，且为偶数，把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.故选：D6．（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（       ）A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】根据之间的关系证明为等比数列，然后再证明也是等比数列，由此求解出.根据不等式结合指数函数单调性求解出的取值范围，从而确定出的最小整数值.【详解】解析：由，可知，∴，即.时，，∴，∴，∴，∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列.∴.又，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列.∴.试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 又，∴，即，∴.又，∴的最小值为7.故选：C.7．（2022·山东·聊城二中高三开学考试）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（       ）A．3974B．3976C．3978D．3980【答案】D【分析】由题意可得，找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第次的最后一个数为，据此即可求解.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次共取了个数，且第次的最后一个数为，当时，，故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为，∴时，依次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，∴第2022个数为3980.故选：D.8．（2022·江苏·高三专题练习）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，求得，进而求得数列的通项公式为，结合裂项法求得数列的前和试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，得出不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，当时，；当时，，也满足，所以，所以，所以，又对一切恒成立，所以，整理得，解得或.即实数的取值范围为.故选：D.9．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正项数列满足，，则下列说法正确的是（       ）A．是等比数列B．对任意的，C．对任意都成立D．【答案】BCD【分析】根据所给数列性质利用判断A，由函数不等式推导出可判断B,利用B中结论递推可判断C，由对数运算及数列求和后放缩可判断D.【详解】由，显然，则不是等比数列，A；由当且仅当时等号成立，由为正项数列，得，故，故B正确；试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由B知，故C正确；则，故D正确.故选：BCD10．（多选）（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）在数列中，若（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（       ）A．是等方差数列B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则C．等比数列不可能为等方差数列D．存在数列既是等方差数列，又是等差数列【答案】BC【分析】根据等方差数列定义判断A，由等方差数列定义及等比数列求判断B，根据等方差数列定义及等比数列的通项公式判断C，由等差数列及等方差数列定义，利用反证法判断D.【详解】设，则，不满足为非零常数，所以不是等方差数列，故A错误；由题意，则，即，解得或（舍去），当时，满足题意，故B正确；设数列为等比数列，不妨设，则，所以，若为常数，则，但此时，不满足题意，故C正确；若数列既是等方差数列，又是等差数列，不妨设，（为非零常数），，所以，即，所以，即，所以为常数列，这与，矛盾，故D错误.故选：BC试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 11．（2022·浙江·高三专题练习）已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水．现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；若如此继续操作下去，则桶中的水比桶中的水多_______升．【答案】．【分析】根据题意，得到，之间的关系，然后用数列知识求解．【详解】根据题意可得，，，，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，，．故答案为：12．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）数列通项公式.若等差数列满足：，都有，则数列的通项公式___________.【答案】【分析】根据题意求出，进而求出；当时设，根据列出关于的不等式，进而得出，利用不等式的性质求得，结合等差数列的通项公式即可得出结果.【详解】当时，，当时，，由，当时，，又，所以，故；试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当时，，即，整理，得，又为等差数列，设，即，整理，得，对恒成立由，知，则，所以，即是以2为公差，以1为首项的等差数列，故.故答案为：.13．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）数列满足：，，，.若，对，不等式恒成立，则实数的最大值为___________.【答案】【分析】应用构造法求的通项公式，即得通项公式，进而讨论、研究题设不等式恒成立，在时构造并研究单调性，即可求的最大值.【详解】由，可得，∴数列是首项，公差的等差数列，则，∴，由已知有：，当时，显然符合题意，当时，由已知得：.试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 设，则，∴数列递增，则的最小值为，故只需.故答案为：.14．（2022·江苏省响水中学高三阶段练习）已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】试题分析：由，得；当时，，若为偶数，则，∴（为正奇数）；若为奇数，则，∴（为正偶数）．函数（为正奇数）为减函数，最大值为，函数（为正偶数）为增函数，最小值为．若恒成立，则，即．故答案为．15．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知数列对任意的，都有，且．①当时，_________．②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则P＝_________．【答案】    2    1【分析】根据通项公式确定的周期性即可求，由题设可得，讨论的奇偶性确定后续数列出现奇数项与相等，列方程求P的值.【详解】由题设通项公式，可得，故从第二项开始形成周期为3的数列，而，故．当时，为奇数时为偶数，故；试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 若为奇数，由，故，不满足；若为偶数，则直到为奇教，有，故，当时满足条件，此时，即，故答案为：2，116．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．（Ⅰ）求的通项公式；        （Ⅱ）求数列的前n项和．【解】（1）由题意得，，故，所以的通项公式为．（2）设数列的前项和为，则，，两式相减得，                      所以．17．（2022·山东日照·高三开学考试）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．【解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以（）.试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，又，符合，故.（II）依题意设，由于，所以，故.又，而，故所以.由于，所以，所以.即，.18．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知数列满足，．(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，，．证明：当时，．【解】(1)当时，，当时，；相除得整理为：，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 即，为等差数列，公差，首项为；所以，整理为：，经检验，符合要求.(2)由（1）得：．，，，所以，当时，．【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）已知成等比数列，且．若，则A．B．C．D．【答案】B【分析】先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 2．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的范围.【详解】由，则当时，得，两式相减得，变形可得：，又，，所以，，∴数列是以为首项、为公比的等比数列，故，所以，所以，当且仅当时等号成立，故.故选：C.3．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）已知数列满足（），，则当时，下列判断不一定正确的是（       ）A．B．C．D．存在正整数k，当时，恒成立【答案】C试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【分析】对于A，由已知可得，有基本不等式可得当时，，从而可判断；对于B，利用放缩法可得，即可得，再根据，即可判断；对于C，利用放缩法举出反例即可判断；对于D，由，得，再利用放缩法可得，从而可求得得范围，即可判断.【详解】解：对于A，因为（），所以，当时，，所以与同号，因为，所以，所以当时，，故A正确；对于B，由，得，因为，所以，所以，所以，对任意都成立，故B正确；对于C，由，得，，，，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 命题可化为，所以，即，当，时，成立，考虑较小时，若此时较大，则不成立，比如，，，故C错误；对于D，由，得，所以，要使，只需保证，所以只需，所以存在正整数k，当时，恒成立，故D正确.故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【详解】设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.5．（2022·福建厦门·模拟预测）已知数列与数列的前n项和分别为，则_________；若对于恒成立，则实数的取值范围是___________．【答案】        【分析】设，，可得出，由裂项相消法可求出，不等式可化为恒成立，求出的最小值即可.【详解】设，，则，所以，所以，由，得，即对于恒成立，设，因为，当且仅当，即时等号成立，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 又，且，则，所以，所以，即实数的取值范围是.故答案为：；.6．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）设函数，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若为正整数，设的解集为，求及数列的前项和；（3）对于（2）中的数列，设，求数列的前项和的最大值.【解】（1）∵即，∴即，或∴；（2）由即的解集为，∴，∴时，，时，，∴，；（3），时，，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 为奇数时，，即，，，…，，…，为偶数时，，即，，，…，…，∴的最大值必为的偶数项，故当为偶数时（）时，，∴为偶数时，为递减数列，∴.试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司