2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题30正弦定理和余弦定理（Word版附解析）

专题30正弦定理和余弦定理知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：利用正弦定理、余弦定理解三角形题型二：判断三角形的形状题型三：与三角形面积有关的问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．【考点预测】1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝2.三角形中常用的面积公式(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解【常用结论】1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC． (2)cos(A＋B)＝－cosC．(3)sin＝cos.(4)cos＝sin.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．【方法技巧】1.正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.2.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.3.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.4.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.5.与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.二、【题型归类】【题型一】利用正弦定理、余弦定理解三角形【典例1】(2021·北京)已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝.(1)求B的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝. 【解析】(1)∵c＝2bcosB，则由正弦定理可得sinC＝2sinBcosB，∴sin2B＝sin ＝，∵C＝，∴B∈，2B∈，∴2B＝，解得B＝.(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得＝＝＝，与c＝b矛盾，故这样的△ABC不存在；若选择②：由(1)可得A＝，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a＝b＝2Rsin ＝R，c＝2Rsin ＝R，则周长为a＋b＋c＝2R＋R＝4＋2，解得R＝2，则a＝2，c＝2，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为＝；若选择③：由(1)可得A＝，即a＝b，则S△ABC＝absinC＝a2×＝，解得a＝，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为 ＝＝.【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.【解析】(1)证明　因为BDsin∠ABC＝asinC，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b>0，所以BD＝b.(2)解　法一　如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，因为AD＝2DC，所以＝＝2，＝，所以BE＝，DE＝a.在△BDE中，cos∠BED＝＝＝＝.在△ABC中，cos∠ABC＝＝＝.因为∠BED＝π－∠ABC， 所以cos∠BED＝－cos∠ABC，所以＝－，化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除以a2，得3－11＋6＝0，解得＝或＝3.当＝，即c＝a时，cos∠ABC＝＝＝；当＝3，即c＝3a时，cos∠ABC＝＝＝>1(舍).综上，cos∠ABC＝.法二　因为＝2，所以＝＋，所以2＝2＋·＋2.因为BD＝b，所以b2＝a2＋accos∠ABC＋c2，所以9b2＝4a2＋4accos∠ABC＋c2.①又b2＝ac＝a2＋c2－2accos∠ABC，②所以①－②，得8ac＝3a2＋6accos∠ABC，所以cos∠ABC＝＝－. 由①②知所以11＝＋，所以6－11×＋3＝0，解得＝或＝.当＝时，cos∠ABC＝－＝；当＝时，cos∠ABC＝－＝(不合题意，舍去).所以cos∠ABC＝.【典例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋asinA＝bsinB＋csinC.(1)求A；(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a.【解析】(1)根据正弦定理，由bsinC＋asinA＝bsinB＋csinC，可得bc＋a2＝b2＋c2，即bc＝b2＋c2－a2，由余弦定理可得，cosA＝＝，因为A为三角形内角，所以A＝.(2)因为D是线段BC的中点，c＝2，AD＝，所以∠ADB＋∠ADC＝π，则cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，所以＋＝0， 即＋＝0，整理得a2＝2b2－44，又a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4－2b，所以b2＋4－2b＝2b2－44，解得b＝6或b＝－8(舍)，因此a2＝2b2－44＝28，所以a＝2.【题型二】判断三角形的形状【典例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形．故选B.【典例2】(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)A．若tanA＋tanB＋tanC>0，则△ABC是锐角三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形D．若＝＝，则△ABC是等边三角形【解析】∵tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC>0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确； 由acosA＝bcosB及正弦定理，可得sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；由bcosC＋ccosB＝b及正弦定理，可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，∴选项C正确；由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，∴选项D正确．故选ACD.【典例3】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是(　　)A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．非钝角三角形【解析】因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得cosC＝＝－，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形.故选B．【题型三】与三角形面积有关的问题【典例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．【解析】法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsinB＝×4×2×sin＝6.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S ＝×2×6＝6.【典例2】在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsinB＝2sinC，则△ABC的面积为________．【解析】因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cosC＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsinB＝2sinC，结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absinC＝×2sin＝.【典例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin－asinC＝0.(1)求角A的值；(2)若△ABC的面积为，周长为6，求a的值．【解析】(1)因为csin－asinC＝0，所以由正弦定理得sinC－sinA·sinC＝0.因为sinC>0，所以cosA－sinA＝0，即tanA＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)因为△ABC的面积为，所以bcsinA＝，得bc＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－12，因为△ABC的周长为6，即a＋b＋c＝6，所以a2＝(6－a)2－12，所以a＝2.三、【培优训练】【训练一】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为 S＝.若a2sinC＝2sinA，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得的△ABC的面积为(　　)A．B．1C．D．【解析】因为a2sinC＝2sinA，所以a2c＝2a.又a＞0，所以ac＝2.因为(a＋c)2＝6＋b2，所以a2＋c2＋2ac＝6＋b2，所以a2＋c2－b2＝6－2ac＝6－4＝2.所以△ABC的面积为S＝＝.故选C.【训练二】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是(　　)A．a，b，c依次成等差数列B.，，依次成等差数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a3，b3，c3依次成等差数列【解析】在△ABC中，若，，依次成等差数列，则＝＋.所以＝＋.利用正弦定理和余弦定理得，2·＝＋，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列．此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或，，或a3，b3，c3，这些数列一般都不可能是等差数列，除非a＝b＝c.故都不一定成立．故选ABD.【训练三】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accosB，且sinA＝3sinC．(1)求角B的大小；(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长． 【解析】(1)因为S△ABC＝acsinB＝accosB，所以tanB＝.又0＜B＜π，所以B＝.(2)sinA＝3sinC，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos60°＝28，所以b＝2.所以cosA＝＝＝－.因为D是AC的中点，所以AD＝.所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋()2－2×2××＝13.所以BD＝.【训练四】如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?【解析】设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)·cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4 ＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°)，0°<θ<120°.当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．【训练五】(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)因为2sinC＝3sinA，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cosC＝＝，所以C为锐角，则sinC＝＝，因此，S△ABC＝absinC＝×4×5×＝.(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC＝＝＝<0，则0<a<3，由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，因为a∈N*，故a＝2.四、【强化测试】【单选题】 1.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝且b<c，则b＝(　　)A．3　　　　　　　　　　B．2C．2D．【解析】由余弦定理b2＋c2－2bccosA＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b<c＝2，所以b＝2.选C.2.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cosA＝，则△ABC的面积为(　　)A．3　　　　　　　　　　B．C．9D．【解析】因为cosA＝，则sinA＝，所以S△ABC＝×bcsinA＝。故选B.3.在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)A．2B．C．2D．2【解析】由S＝absinC＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2.故选D.4.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝sinB，则其最小内角的余弦值为(　　)A．－B．C．D． 【解析】由sinC＝sinB及正弦定理，得c＝b.又b2＝ac，所以b＝a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，知cosA＝＝＝.故选C．5.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于(　　)A.B.C.D.【解析】由bsin2A＝asinB，得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，得cosA＝.又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于(　　)A.B.C.D.【解析】由余弦定理，得cosA＝＝＝＝，则sinA＝＝＝＝，则h＝ACsinA＝bsinA＝3×＝.故选D.7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C等于(　　) A.B.C.D.【解析】根据题意及三角形的面积公式知absinC＝，所以sinC＝＝cosC，所以在△ABC中，C＝.故选C.8.已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝4，cos2A＝－，则△ABC外接圆半径为(　　)A．5B．3C.D.【解析】因为cos2A＝－，所以1－2sin2A＝－，解得sinA＝±，因为A∈(0，π)，所以sinA＝，又a＝4，所以2R＝＝＝5，所以R＝.故选C. 【多选题】9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　)A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝3，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°【解析】对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sinB＝＝＝＞1，无解；对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sinC＝＝＝＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝3，B＝60°，所以由正弦定理可得sinA＝＝＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sinB＝＝＝＜1，且b＞a，所以B有两解.故选BC.10.下列命题中，正确的是(　　)A．在△ABC中，若A>B，则sinA>sinBB．在锐角三角形ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形【解析】对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sinA>sin＝cosB，故B正确；对于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得sin2A＝sin2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD．11.某人向正东走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走3km，结果离出发点恰好km，那么x的值是(　　)A.B．2C．3D．6【解析】如图，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°.由余弦定理得3＝x2＋9－2×3×x×cos30°.解得x＝2或x＝，故选AB.12.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是(　　)A．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形B．若△ABC为锐角三角形，有A＋B>，则sinA>cosBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形【解析】对于A，若cosA＝cosB，则A＝B，∴△ABC为等腰三角形，故正确；对于B，若A＋B>，则>A>－B>0，∴sinA>cosB，故正确；对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故错误；对于D，若sin2A＋sin2B<sin2C，则根据正弦定理得a2＋b2<c2，cosC＝<0，∴C为钝角，∴△ABC是钝角三角形，故正确；综上，正确的判断为ABD. 故选ABD.【填空题】13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则c＝.【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去)．14.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为________．【解析】因为＝，所以sinB＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.15.在△ABC中，C＝60°，且＝2，则△ABC的面积S的最大值为．【解析】由C＝60°及＝＝2，可得c＝.由余弦定理得3＝b2＋a2－ab≥ab(当且仅当a＝b时取等号)，∴S＝absinC≤×3×＝，∴△ABC的面积S的最大值为.16.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝.【解析】由题意得S△ABC＝acsinB＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝12－2×4×＝8，则b＝2(负值舍去)．【解答题】17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝bc.(1)求sinA的值；(2)若△ABC的面积为，且sinB＝3sinC，求△ABC的周长．【解析】(1)因为b2＋c2－a2＝2bccosA， 所以2bccosA＝bc，所以cosA＝，所以在△ABC中，sinA＝＝.(2)因为△ABC的面积为，所以bcsinA＝bc＝，所以bc＝6.因为sinB＝3sinC，所以由正弦定理得b＝3c，所以b＝3，c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝6，所以a＝.所以△ABC的周长为2＋3＋.18.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＋bcosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求边c的长．【解析】(1)因为asinB＋bcosA＝0，所以sinAsinB＋sinBcosA＝0，即sinB(sinA＋cosA)＝0，由于B为三角形的内角，所以sinA＋cosA＝0，所以sin＝0，而A为三角形的内角，所以A＝.(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcosA，即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2.19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC＝(2b－c)cosA．(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得，sinAcosC＝2sinBcosA－sinCcosA， 从而sin(A＋C)＝2sinBcosA，即sinB＝2sinBcosA．又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是cosA＝，又A为三角形的内角，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsinA≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋.20.在①(a－c)(sinA＋sinC)＝b(sinA－sinB)；②2ccosC＝acosB＋bcosA；③△ABC的面积为c(asinA＋bsinB－csinC)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)若D为AB的中点，且c＝2，CD＝，求a，b的值．【解析】(1)选择①，根据正弦定理得＝b，整理得a2－c2＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝＝.因为C∈，所以C＝.选择②，根据正弦定理有sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，所以sin(A＋B)＝2sinCcosC，即sinC＝2sinCcosC.因为C∈，所以sinC≠0，从而有cosC＝，故C＝.选择③， 因为casinB＝c(asinA＋bsinB－csinC)，所以asinB＝asinA＋bsinB－csinC，即ab＝a2＋b2－c2，由余弦定理，得cosC＝＝＝，又因为C∈，所以C＝.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC，即b2＝1＋3－2cos∠ADC.在△BCD中，BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC，即a2＝1＋3－2cos∠BDC.因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠BDC，所以a2＋b2＝8.由C＝及c＝2，得a2＋b2－4＝ab，所以ab＝4，从而a2＋b2－2ab＝0，所以a＝b＝2.21.如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，点D在BC上，且cos∠ADC＝.(1)求BD；(2)若cos∠CAD＝，求△ABC的面积．【解析】(1)∵cos∠ADB＝cos(π－∠ADC)＝－cos∠ADC＝－.在△ABD中，由余弦定理得 82＝BD2＋72－2·BD·7·cos∠ADB，解得BD＝3或BD＝－5(舍)．(2)由已知sin∠ADC＝，sin∠CAD＝，∴sinC＝sin(∠ADC＋∠CAD)＝×＋×＝.由正弦定理得CD＝＝＝，∴BC＝3＋＝，∴S△ABC＝×8××＝.22.(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；(2)若sinA＋sinC＝，求C.【解析】(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos150°，解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2.因此△ABC的面积为×2×2×sin150°＝.(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，所以sinA＋sinC＝sin(30°－C)＋sinC＝sin(30°＋C)，故sin(30°＋C)＝.而0°<C<30°，所以30°<30°＋C<60°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.