2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题13函数与方程（Word版附解析）

专题13函数与方程知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：函数零点所在区间的判定题型二：函数零点个数的判定题型三：根据函数零点个数求参数题型四：根据函数零点的范围求参数培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.【考点预测】1.函数的零点(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 2.函数零点存在定理(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.【常用结论】1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.【方法技巧】1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.2.函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.3.已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合； ③分离参数，转化为求函数的最值.4.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.5.函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.二、【题型归类】【题型一】函数零点所在区间的判定【典例1】已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)【解析】f(x)在(0，＋∞)为减函数，又f(1)＝6＞0，f(2)＝2＞0，f(4)＝－2＝－＜0.故选C.【典例2】函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　)A．(1，2)B．(2，3)C．(1，e)和(3，4)D．(e，＋∞)【解析】∵f′(x)＝＋＞0(x＞0)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln3－＞0，f(2)＝ln2－1＜0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.【典例3】(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)【解析】f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．故选AD.【题型二】函数零点个数的判定 【典例1】已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．【解析】由题意知，方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数即为函数y＝f(x)与y＝1－g(x)交点个数及函数y＝f(x)与y＝－1－g(x)交点个数之和，而y＝1－g(x)＝作图易知函数y＝f(x)与y＝1－g(x)有两个交点，又y＝－1－g(x)＝作图易知函数y＝f(x)与y＝－1－g(x)有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【典例2】函数f(x)＝的零点个数是________．【解析】当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝(舍)或x＝－，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x>0时，f(x)＝2x－6＋lnx，解法一：令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝6－2x.作出函数y＝lnx与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋lnx(x>0)只有一个零点．解法二：f′(x)＝2＋，由x＞0知f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(1)＝－4＜0，f(e)＝2e－5＞0，f(1)f(e)＜0，从而f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f(x)的零点个数是2.故填2.【典例3】函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3【解析】由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝lnx(x>0)的图象，如图所示． 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.【题型三】根据函数零点个数求参数【典例1】已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－a(x＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，4－2)B．(4＋2，＋∞)C．[0,4－2]D．(0,4－2)【解析】画出f(x)的函数图象，设y＝a(x＋3)，该直线恒过点(－3,0)，结合函数图象，若y＝a(x＋3)与y＝－x2－2x相切，联立得x2＋(a＋2)x＋3a＝0，Δ＝(a＋2)2－12a＝0，得a＝4－2(a＝4＋2舍)，若f(x)＝a(x＋3)有四个不同的实数根，则0<a<4－2.故选D.【典例2】若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C.D.【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.故选D. 【典例3】已知函数若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是______．【解析】关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y＝f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．【题型四】根据函数零点的范围求参数【典例1】已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)A.B.C．(－∞，0)D.【解析】由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－<3－1＋1＝，又g(x)＝3x－>0， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.因此实数a的取值范围是.故选B.【典例2】若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________．【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足即解得<m<.【典例3】若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)A．a>B．a>或a<－1C．－1<a<D．a<－1【解析】由题可知函数f(x)的图象是一条直线，所以f(x)在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f(－1)f(1)＜0，即(1－5a)(a＋1)＜0.解得a＞或a＜－1.故选B.三、【培优训练】【训练一】若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为(　　)A．(0,1)B.C.D．(1，＋∞)【解析】因为＝kx2有四个实数解，显然，x＝0是方程的一个解，下面只考虑x≠0时有三个实数解即可．若x>0，原方程等价于1＝kx(x＋4)，显然k≠0，则＝x(x＋4)． 要使该方程有解，必须k>0，则＋4＝(x＋2)2，此时x>0，方程有且必有一解；所以当x<0时必须有两解，当x<0时，原方程等价于－1＝kx(x＋4)，即－＝x(x＋4)(x<0且x≠－4)，要使该方程有两解，必须－4<－<0，所以k>.所以实数k的取值范围为.故选C.【训练二】已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”．若f(x)＝32－x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________．【解析】由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1,3)上存在零点．由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝.令h(x)＝，则h′(x)＝＝，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h(1)＝，h(2)＝，h(3)＝>，要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，只需a∈.【训练三】设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为(　　)A．5B．6C．7D．8【解析】原问题可转化为函数f(x)与g(x)的图象在[－，]上的交点个数问题． 由题意知函数f(x)为偶函数，且周期为2.当x＝，，0，－时，g(x)＝0，当x＝1时，g(x)＝1，且g(x)是偶函数，g(x)≥0，由此可画出函数y＝g(x)和函数y＝f(x)的大致图象如图所示，由图可知在上两函数图象有6个交点，故选B【训练四】已知函数f(x)是偶函数，f(0)＝0，且x>0时，f(x)是增函数，f(3)＝0，则函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点个数为________．【解析】画出函数y＝f(x)和y＝－lg|x＋1|的大致图象，如图所示．∴由图象知，函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为3.【训练五】已知函数f(x)＝若f(x)＝m有四个零点a，b，c，d，求abcd的取值范围．【解析】作出函数f(x)的图象，不妨设a<b<c<d，则－log2a＝log2b，∴ab＝1.又根据二次函数的对称性，可知c＋d＝7，∴cd＝c(7－c)＝7c－c2(2<c<3)，∴10<cd<12，∴abcd的取值范围是(10,12)．【训练六】已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.【解析】令f(x)＝t(t＜1)，则原方程化为g(t)＝a有4个不同的实数根，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的实数根等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点， 如图，画出函数g(t)的图象，结合图象可知，1≤a＜，即a的取值范围是.四、【强化测试】【单选题】1.函数f(x)＝lnx－的零点所在的区间是(　　)A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)【解析】函数f(x)＝lnx－在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，所以f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．故选B.2.已知x＝a是函数的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足(　　)A．f(x0)＝0B．f(x0)>0C．f(x0)<0D．f(x0)的符号不确定【解析】在(0，＋∞)上单调递增，且f(a)＝0，又0<x0<a，∴f(x0)<f(a)＝0，即f(x0)<0.故选C.3.函数f(x)＝x·cos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(　　)A．2B．3C．4D．5【解析】借助余弦函数的图象求解．f(x)＝x·cos2x＝0⇒x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点．故选D.4.若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2) 【解析】由条件可知f(1)·f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.故选C.5.已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　)A．(－1，0)B．{－1}∪(0，＋∞)C．[－1，0)∪(0，＋∞)D．(0，1)【解析】在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．故选B．6.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a<b<c，故选A．7.函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．D．【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x ∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.故选D.8.若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内【解析】因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A．【多选题】9.若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值可能为(　　)A．－1B.C．1D．2【解析】当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以BC正确．故选BC.10.已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝k，则下列结论正确的是(　　)A．x1＋x2＝－1B．x3x4＝1C．1<x4<2D．0<k<1【解析】由函数f(x)＝作出其函数图象如图所示：由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1； 当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝，2，所以<x3<1<x4<2；由f(x3)＝f(x4)，得|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1，由图可知0<k<1，故选BCD.11.已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　)A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点【解析】对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上是增函数，故A正确；对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确；对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象关于x＝1不对称，故C错误；对于选项D，如图，a2－b－2＞0，即为b－a2＜－2，即a2－b＞2，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故D错误．故选AB.12.下列说法中正确的是(　　)A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标【解析】根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误． 故选BD.【填空题】13.函数f(x)＝的零点个数是________．【解析】当x>0时，作出函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，当x>0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－.综上，f(x)有3个零点．答案：314.若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【解析】当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1]．答案：(0，1]15.已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．【解析】函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.【答案】　(1)D　(2)[－1，＋∞)16.函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．　【解析】设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝ f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．【答案】　[－1，＋∞)【解答题】17.设函数f(x)＝(x>0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．【解析】(1)如图所示．(2)因为f(x)＝＝故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，且－1＝1－，所以＋＝2.(3)由(1)中函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是(0，1)． 18.已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝(1)求g[f(1)]的值；(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．【解析】(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.19.已知函数f(x)＝求函数y＝f(f(x))＋1的所有零点构成的集合．【解析】先解方程f(t)＝－1，即或得t＝－2或t＝.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝.即或和或得x＝－3或x＝和x＝－或x＝.故所求为.20.若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a的取值范围．【解析】f(x)在(0，1)上恰有一个零点，显然a≠0.∴有两种情形：①f(0)f(1)＜0，得(－1)·(2a－2)＜0⇒a＞1；②Δ＝0且方程f(x)＝0的根在(0，1)内， 令Δ＝0⇒1＋8a＝0⇒a＝－，得f(x)＝－(x2＋4x＋4)，此时f(x)＝0的根x0＝－2∉(0，1)．综上知a＞1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)．21.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；(2)若对任意x1，x2∈R，且x1<x2，f(x1)≠f(x2)，试证明存在x0∈(x1，x2)，使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立．【解析】(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋c＝0，b＝a＋c.∵Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2，当a＝c时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；当a≠c时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．(2)证明：令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝，g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝，∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2.∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)<0，即g(x)＝0在(x1，x2)内必有一个实根．即存在x0∈(x1，x2)，使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立．22.设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>1)在区间[－2，6]内恰有三个零点，求实数a的取值范围．【解析】根据题意得f((x＋2)－2)＝f((x＋2)＋2)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)的周期为4.若方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)在区间[－2,6]内恰有三个不同的实根，则函数y＝f(x)和y＝loga(x＋2)的图象在区间[－2,6]内恰有三个不同的交点，根据图象可知，loga(6＋2)>3且loga(2＋2)<3，解得<a<2.