2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题26两角和与差的正弦、余弦和正切（Word版附解析）

专题26两角和与差的正弦、余弦和正切知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：和差公式的直接应用题型二：三角函数公式的逆用与变形应用题型三：三角函数公式中变“角”题型四：三角函数公式中变“名”培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).【考点预测】1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan2α＝.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).【常用结论】1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.【方法技巧】1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．3.常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．二、【题型归类】【题型一】和差公式的直接应用【典例1】已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(　　)A.B.C.D.【解析】因为3cos2α－8cosα＝5，所以3(2cos2α－1)－8cosα＝5，所以6cos2α－8cosα－8＝0，所以3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝2(舍去)或cosα＝－，因为α∈(0，π)，所以sinα＝＝.故选A. 【典例2】已知sinα＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)A．－B.C.D．－【解析】因为sinα＝，α∈，所以cosα＝－＝－，所以tanα＝＝－.因为tan(π－β)＝＝－tanβ，所以tanβ＝－，则tan(α－β)＝＝－.故选A.【典例3】已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．【解析】(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－，故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝ ，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.【题型二】三角函数公式的逆用与变形应用【典例1】在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为(　　)A．－B．C．D．－【解析】由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝.故选B.【典例2】已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．【解析】因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1　①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0　②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－.【典例3】已知sin2α＝，则cos2＝(　　)A．－B．C．－D．【解析】cos2＝＝＋sin2α＝＋×＝.故选D.【题型三】三角函数公式中变“角”【典例1】(多选)若tan＝2，则(　　)A．tanα＝B．tanα＝ C．tan2α＝D．tan2α＝【解析】tanα＝tan＝＝＝，tan2α＝＝.故选BD.【典例2】已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则cos2α＝________．【解析】因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－<α－β<，又因为cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－.【题型四】三角函数公式中变“名”【典例1】求值：－sin10°.【解析】原式＝－sin10°＝－sin10°·＝－sin10°·＝－2cos10°＝＝ ＝＝＝.【典例2】求4sin20°＋tan20°的值．【解析】原式＝4sin20°＋＝＝＝＝.三、【培优训练】【训练一】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值.【解析】(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，因为S△OAM＝|OA|·|OM|sinα＝，所以sinα＝，又α为锐角，所以cosα＝.因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sinβ＝，cosβ＝－，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.(2)因为sinα＝，cosα＝，cos(α－β)＝－，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝× －×＝－，所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sinαcos(α－β)＋cosαsin(α－β)＝－，因为α为锐角，sinα＝＞，所以α∈，所以2α∈，又β∈，所以2α－β∈，所以2α－β＝－.【训练二】已知x，y∈，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为(　　)A.B.C.D.【解析】由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得sinxcosy＋cosxsiny＝2sinxcosy－2cosxsiny，则tanx＝3tany，所以tan(x－y)＝＝＝≤，当且仅当tany＝时等号成立，由于f(x)＝tanx在x∈上单调递增，又x，y∈，则x－y的最大值为.【训练三】已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为(　　)A.＋B.－ C.＋D.－【解析】由tanα－tanβ＝3，得－＝3，即＝3.∴sin(α－β)＝3cosαcosβ.又知α－β＝，∴cosαcosβ＝.而cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，∴sinαsinβ＝－.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－＝－.故选D.【训练四】已知函数f(x)＝sin，x∈R.(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f的值．【解析】(1)f＝sin＝sin＝－.(2)f＝sin＝sin＝(sin2θ－cos2θ)．因为cosθ＝，θ∈，所以sinθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝，所以f＝(sin2θ－cos2θ)＝×＝. 【训练五】已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．【解析】(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，所以sin2α＝.又2α∈，所以cos2α＝＝，所以tan2α＝＝.(2)因为β∈，所以β－∈，又sin＝，所以cos＝，于是sin2＝2sin·cos＝.又sin2＝－cos2β，所以cos2β＝－，又2β∈，所以sin2β＝，又cos2α＝＝，α∈，所以cosα＝，sinα＝.所以cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－.【训练六】设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．【解析】由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，所以即≤α≤π，所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝sin.因为≤α≤π，所以≤α＋≤，所以－1≤sin≤1，即取值范围为[－1，1]．四、【强化测试】【单选题】1.若sinθ＝cos(2π－θ)，则tan2θ＝(　　)A．－B.C．－D.【解析】因为sinθ＝cos(2π－θ)＝cosθ，所以tanθ＝，所以tan2θ＝＝＝－.故选C.2.的值为(　　)A．B．C．－D．－【解析】原式＝＝＝tan(45°＋15°)＝.故选B. 3.已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin2θ＝(　　)A.B.C.D.【解析】因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cosθ.又|θ|<，故sinθ＝，cosθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝，故选C.4.若α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝(　　)A.B.C.或D.或【解析】因为α，β都是锐角，且cosα＝<，所以<α<，sinα＝＝，又sin(α＋β)＝<，所以<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－＝－.cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝.故选A.5.已知cos＝，则sin2α＝(　　)A．B．－ C．D．－【解析】法一：因为cos＝，所以sin2α＝sin＝cos2＝2cos2－1＝2×－1＝.故选C．法二：因为cos＝，所以(cosα＋sinα)＝，所以cosα＋sinα＝，平方得1＋sin2α＝，得sin2α＝.故选C．6.已知cos＝，则cosx＋cos＝(　　)A．B．－C．D．±【解析】因为cos＝，所以cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝＝cos＝×＝.故选A．7.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log等于(　　)A．2B．3C．4D．5【解析】因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故选C．8.已知α为第二象限角，且tanα＋tan＝2tanαtan－2，则sin等于(　　)A．－B． C．－D．【解析】tanα＋tan＝2tanαtan－2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin－sincos＝－.故选C.【多选题】9.下面各式中，正确的是(　　)A．sin＝sincos＋cosB．cos ＝sin－coscosC．cos＝coscos＋D．cos＝cos－cos【解析】∵sin＝sincos＋cossin＝sincos＋cos，∴A正确；∵cos ＝－cos ＝－cos＝sin －coscos ，∴B正确；∵cos＝cos＝coscos＋，∴C正确；∵cos ＝cos≠cos－cos，∴D不正确．故选ABC.10.下列四个选项中，化简正确的是(　　)A．cos(－15°)＝B．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝cos(15°－105°)＝0 C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝D．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝【解析】对于A　方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos30°·cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝，A错误．方法二　原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝，C正确．对于D，原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝，D正确．故选BCD.11.已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)的最大值为2C．f(x)的值域为(－2,2)D．f(x)的图象关于对称【解析】∵f(x)＝＝－2sin，其中cos≠0，∴≠1，∴f(x)的值域为(－2,2)；由T＝＝π，得f(x)的最小正周期为π；令2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，即f(x)的图象关于对称．故选ACD.12.下列结论正确的是(　　)A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ) B．3sinx＋3cosx＝3sinC．f(x)＝sin＋cos的最大值为2D．tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1【解析】对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A正确；对于B，3sinx＋3cosx＝6＝6sin，故B错误；对于C，f(x)＝sin＋cos＝sin，所以f(x)的最大值为，故C错误；对于D，tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan12°tan33°)＋tan12°tan33°＝1，故D正确．故选AD.【填空题】13.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.【解析】sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).14.已知sin＝，α∈，则cos的值为________.【解析】由已知得cosα＝，sinα＝－，所以cos＝cosα＋sinα＝－.15.tan25°－tan70°＋tan70°tan25°＝________.【解析】∵tan25°－tan70°＝tan(25°－70°)(1＋tan25°tan70°)＝tan(－45°)(1＋tan25°tan70°) ＝－1－tan25°tan70°∴tan25°－tan70°＋tan70°tan25°＝－1.16.已知sin10°＋mcos10°＝2cos140°，则m＝________.【解析】由题意可得m＝＝＝＝＝－.【解答题】17.已知α∈，tanα＝，求tan2α和sin的值．【解析】因为tanα＝，所以tan2α＝＝＝.且＝，即cosα＝2sinα.又sin2α＋cos2α＝1，所以5sin2α＝1.又α∈，所以sinα＝，cosα＝.所以sin＝sinαcos－cosαsin＝×－×＝－.18.已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．【解析】(1)因为α，β∈，所以－<α－β<.又因为tan(α－β)＝－<0， 所以－<α－β<0，即sin(α－β)＝－cos(α－β)，又sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝，因为α为锐角，且sinα＝，所以cosα＝.所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝×＋×＝.19.已知tanα＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．【解析】(1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝1.20.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．【解析】(1)由角α的终边过点P，得sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.21.已知A，B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，求A＋B的值．【解析】因为A，B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，所以cosA＝－＝－，cosB＝－＝－，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－×－×＝.又因为<A<π，<B<π，所以π<A＋B<2π，所以A＋B＝.22.已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．【解析】(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.又∵tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.∵α为锐角，且sinα＝，∴cosα＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.