专题03 圆锥曲线中的中点弦问题(教师版)

专题03圆锥曲线中的中点弦问题一、单选题1．已知椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解.【详解】设这条弦与椭圆交于，，由在椭圆内，由中点坐标公式知，，把，代入，可得，①②可得，，这条弦所在的直线方程为，即为.则所求直线方程为.故选：A34 2．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】设出的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解.【详解】设，则，则，，两式相减得，所以，即直线斜率是.故选：C【点睛】方法点睛：一般涉及到弦的中点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.3．直线与椭圆相交于两点，若中点的横坐标为，则=（）A．B．C．D．【答案】C【分析】代入消元得关于一元二次方程，再用韦达定理即可.【详解】设34 把代入得，，因为中点的横坐标为，所以，解得.故选:C【点睛】用韦达定理解决直线与圆锥曲线交点问题是常用的方法，需要注意直线与圆锥曲线是否有交点，可用判断.4．已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设过点的直线交抛物线于、两点，可得出，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】设过点的直线交抛物线于、两点.若直线垂直于轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，由于点为线段的中点，则，由于点、在抛物线上，可得，两式作差得，所以，直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.34 故选：A.【点睛】本题考查抛物线的中点弦问题，考查点差法的应用，同时也可以利用直线与抛物线方程联立，结合韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.5．已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先设，，代入椭圆方程，两式作差整理，得到，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到，根据且，即可求出结果.【详解】设，，则，两式相减并化简得，又过点的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为，所以，，即，由于且，由此可解得，，故椭圆的方程为.34 故选：D.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.6．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．2【答案】B【分析】本题先设，两点，并判断线段AB的中点到y轴的距离为，再求，最后求解.【详解】解：设，，则线段AB的中点到y轴的距离为：，根据抛物线的定义：，整理得：，故线段AB的中点到y轴的距离为：，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义，是基础题.7．过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】34 设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.【详解】设，则的中点，所以，又，所以，即，而，，所以，又，所以，所以椭圆方程为：.故选：A.【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.8．已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（）A．B．C．D．【答案】D34 【分析】设出两点的坐标，利用点差法求得的关系式，结合求得，进而求得椭圆的方程.【详解】设，则，两式相减并化简得，即,由于且，由此可解得，故椭圆的方程为.故选：D.【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.9．直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用点差法，两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.【详解】设，，两式相减得，34 即，当时，，因为点是的中点，所以，，解得：故选：A【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.10．已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（）A．2B．C．D．【答案】C【分析】先根据已知得到，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得.设，由题得，所以，两式相减得，所以，所以，所以.故选：C34 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.11．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.【详解】设，的中点，所以，又，所以，即，而，，所以，又，∴，即椭圆方程为：.故选：D.【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.12．已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M，则M的坐标为（）A．B．C．D．34 【答案】C【分析】由题意知：斜率为3的弦中点，设弦所在直线方程，结合椭圆方程可得即可求，进而求M的坐标.【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为，，则将代入椭圆方程，整理得：，∴，而，故，∴，又在上，则，故选：C【点睛】本题考查了求椭圆的弦中点坐标，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.13．已知椭圆：，过点的直线交椭圆于，两点.若中点坐标为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，代入椭圆方程，利用点差法得到，然后根据中点坐标为，求出斜率代入上式，得到a，b的关系求解.【详解】34 设，则，两式相减得：，因为中点坐标为，所以，所以，又，所以，即，所以，故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由椭圆的离心率可得，的关系，得到椭圆方程为，设出，的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线的斜率．34 【详解】解：由，得，，则椭圆方程为，设，，，，则，，把，的坐标代入椭圆方程得：，①②得：，．直线的斜率为．故选：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．二、多选题15．已知椭圆C：内一点M(1，2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（）A．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）B．椭圆C的长轴长为C．直线的方程为D．【答案】CD【分析】由椭圆方程可得焦点在轴上，且，即可判断AB；利用点差法可求出直线斜率，即可得出方程，判断C；联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长即可判断D.【详解】34 由椭圆方程可得焦点在轴上，且，椭圆的焦点坐标为，故A错误；椭圆C的长轴长为，故B错误；可知直线的斜率存在，设斜率为，，则，两式相减得，，解得，则直线的方程为，即，故C正确；联立直线与椭圆，整理得，，,故D正确.故选：CD.【点睛】易错点睛：已知椭圆方程，在求解当中，一定要注意焦点的位置，本题的焦点在轴上，在做题时容易忽略焦点位置，判断错误.三、填空题16．ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC边所在直线的方程为________．【答案】4x＋4y＋5＝0【分析】设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，先求出点的坐标，再求出直线的斜率，即得解.【详解】34 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知，则从而，即，又，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率故直线BC的方程为y－(－1)＝，即4x＋4y＋5＝0.故答案为：4x＋4y＋5＝0【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与弦有关的问题常用点差法：先设出弦的端点坐标，再代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点坐标和弦的斜率的关系.17．设A､B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，直线AB的的方程为__________.【答案】【分析】设出，点坐标，根据两点在椭圆上，代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，即可化简，求出直线的斜率，再根据斜率和直线上的定点坐标，写出点斜式方程．【详解】设，，，，则依题意，．34 是的中点，，，从而.所以直线的方程为，即．故答案为：【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与中心弦有关的问题，常用点差法：首先设弦的端点坐标，，，，再把点的坐标代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点和直线的斜率的关系式.18．已知椭圆，过点（4，0）的直线交椭圆于两点.若中点坐标为（2，﹣1），则椭圆的离心率为_______【答案】【分析】设，代入椭圆方程，两式作差，利用离心率公式即可求解.【详解】设，则，①，②①②可得，因为中点坐标为（2，﹣1），则，，所以，所以，因为，34 所以，所以.故答案为：19．已知双曲线方程是，过定点作直线交双曲线于两点，并使为的中点，则此直线方程是__________________．【答案】【分析】设得，两式相减化简得直线的斜率，即得直线的方程.【详解】由题得，设所以，两式相减得，由题得，所以，因为，所以，所以直线的方程为即.故答案为：【点睛】方法点睛：点差法：圆锥曲线里遇到与弦的中点有关的问题，常用点差法.先设弦的端点再代点的坐标到圆锥曲线的方程，再两式相减得到直线的斜率和弦的中点的关系式.再化简解题.20．已知椭圆E：过椭圆内部点的直线交椭圆于M，N两点，且则直线MN的方程为_____________.34 【答案】【分析】由已知条件得到为的中点，利用中点坐标公式得到，设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理得到即可得出结果.【详解】由，可知为的中点，又,不妨设直线MN的方程为：，设点，则，①将直线MN的方程代入椭圆的方程消得：，化简整理得：，由韦达定理得：，②由①②得：，所以直线MN的方程为：，即直线MN的方程为：.故答案为：.【点睛】关键点睛：确定为的中点以及直线与椭圆的方程联立利用韦达定理求解是解决本题的关键.21．已知双曲线和点，直线经过点且与双曲线相交于、两点，当恰好为线段的中点时，的方程为______．【答案】34 【分析】设点、，利用点差法可求得直线的方程，进而可得出直线的方程.【详解】设点、，若直线轴，则、两点关于轴对称，则点在轴上，不合乎题意.由于为线段的中点，则，可得，将点、的坐标代入双曲线的方程可得，上述两式相减得，可得，即，所以，，所以，直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故答案为：.【点睛】利用弦的中点求直线的方程，一般利用以下两种方法求解：（1）点差法：设弦的两个端点坐标分别为、，代点作差求得直线的斜率，进而利用点斜式可求得直线的方程；（2）设直线的点斜式方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理求得直线的斜率，进而可求得直线的方程.22．已知抛物线为过焦点的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列结论正确的有________．①若直线的斜率为-1，则弦；②若直线的斜率为-1，则；34 ③点恒在平行于轴的直线上；④若点是弦的中点，则．【答案】①③④【分析】设PA的方程与抛物线方程联立，利用判别式求出，可得PA的方程，同理可得PB的方程,联立与的方程求出点的坐标，可知④正确；设直线的方程为，与抛物线方程联立，当时，利用韦达定理求出与可知②错误，③正确；当时，利用抛物线的定义和韦达定理可得弦长，可知①正确．【详解】设PA方程与抛物线方程联立得，由得，方程为，同理得PB方程，联立，解得，所以交点P，即，所以④正确；根据题意直线的斜率必存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，所以③正确；当t=-1时，，所以②错误，当t=-1时，根据抛物线的定义可得34 ，所以①正确．故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：设出切线方程，利用判别式等于0，求出切线方程，联立切线方程求出交点的坐标是解题关键.23．已知椭圆的半焦距为，且，若椭圆经过两点，且是圆的一条直径，则直线的方程为_________.【答案】【分析】设，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB的中点M，求出直线斜率，即可得到直线方程.【详解】设,代入椭圆方程可得：①，②，②①得：，由可得，即，又AB的中点M，所以所以直线的方程为，即.故答案为：34 【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.24．椭圆的弦中点为，则直线的方程___________【答案】【分析】设出的坐标，利用点差法求解出直线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线的方程，最后转化为一般式方程.【详解】设，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，即，故答案为：.【点睛】思路点睛：已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程的思路：（1）可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差；（2）得到中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.25．已知点P(1，2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_____.【答案】【分析】设出直线与椭圆的交点，采用点差法进行分析，由此可求得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程则直线的方程可求.【详解】设直线与椭圆交于两点，，34 所以，所以，所以，且，所以，所以即，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中点弦所在直线方程的求法，难度一般.已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.四、解答题26．已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线与椭圆交于、两点．（1）点的坐标为，若，求直线的方程；（2）若直线过椭圆的右焦点，且点在第一象限，求、分别为直线、的斜率）的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用点差法，求直线的斜率，再求直线方程；（2）直线的斜率不存在时，求点的坐标，得到的值，以及当斜率存在时，直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系求的值，并将表示为的二次函数，并求取值范围.34 【详解】解：（1）设，，，，由题意可得为线段的中点，由两式相减可得，而，即有，，则，可得，故直线的方程为，即；（2）由题意可得，，，当直线的斜率不存在时，，，，．当直线的斜率存在时，则的斜率不为0，设直线的方程为，，与椭圆方程联立，可得，则，，所以，所以，34 因为在第一象限，所以，所以，．【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题.27．已知动圆过点，且与直线相切．（Ⅰ）求圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线经过点，且直线与轨迹交于点，求线段的垂直平分线方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由题意得圆心M到点等于圆心到直线的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.（Ⅱ）求得直线的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得的值，即可求得中点的坐标，根据直线与直线垂直平分线垂直，可求得直线垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程.【详解】（Ⅰ）设动点，则，化简得轨迹E的方程：；（Ⅱ）由题意得：直线的方程为：，由，得，，设，中点则，所以，，又垂直平分线的斜率为-1，34 所以垂直平分线方程为.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.28．已知椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，且线段的中点在圆，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据条件解关于的方程组即可得结果；（2）设，，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理，可求得中点坐标，代入圆方程解得的值.【详解】（1）由题意，得，解得，故椭圆的标准方程为．（2）设，，线段的中点为．联立，消去y得，，，即，．又因为点M在圆上，所以，34 解得，满足题意．【点睛】关键点睛：本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程，解题的关键是熟悉中点坐标公式，本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，求出中点坐标，再将其代入圆中求解，考查了学生的基本分析转化求解能力，属中档题.30．已知直线l与抛物线交于两点．（1）若l的方程为，求；（2）若弦的中点为，求l的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解；（2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程.【详解】设两点的坐标分别为．（1）联立得，因此，故．（2）因为两点在C上，所以两式相减，得，因为，所以，因此l的方程为，即．【点睛】34 方法点睛：解决中点弦问题常用点差法求解，即将两交点设点代入曲线方程，两式相减利用平方差公式化简，将中点坐标代入即可得出弦所在直线斜率.31．坐标平面内的动圆与圆外切，与圆内切，设动圆的圆心的轨迹是曲线，直线.（1）求曲线的方程；（2）当点在曲线上运动时，它到直线的距离最小？最小值距离是多少？（3）一组平行于直线的直线，当它们与曲线相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？【答案】（1）；（2）点到直线的距离最小，距离最小为；（3）在同一直线，直线为：.【分析】（1）利用两个圆外切与内切的性质可得，再利用椭圆的定义即可求得曲线的方程；（2）设与平行的直线的方程为，代入，整理可得，当，直线与曲线相切，此时点到直线的距离最小，利用点到线距离公式求得最小值.（3）设两个交点为，利用点差法化简得，即，整理得.【详解】解：（1）设动圆的半径为，由题意可知，则，根据椭圆的定义可知曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆，其中，即所以曲线的方程为：.34 （2）设与平行的直线的方程为，即，代入，可得，整理得，，当时，此时直线与曲线相切，根据图形可知当时，点到直线的距离最小，.（3）这些直线被椭圆所截得的线段的中点在同一条直线上设与平行的直线与曲线的两交点坐标为，中点，，两式作差得，整理可得：，即，整理得，即所有弦的中点均在直线上.【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，椭圆上点到直线的最近距离，点差法的应用，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．32．已知椭圆的长轴长为8，一条准线方程为与椭圆共焦点的双曲线其离心率是椭圆的离心率的2倍.（1）分别求椭圆和双曲线的标准方程；（2）过点M(4，1)的直线l与双曲线交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程.34 【答案】（1）；；（2）【分析】（1）根据椭圆的长轴长以及准线方程求出，，进而求出，即求椭圆的方程，求出椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，结合与椭圆共焦点即可求出双曲线的标准方程.（2）设，，利用点差法求出直线的斜率即可求解.【详解】（1）椭圆的长轴长为，则，一条准线方程为，则，解得，所以，所以椭圆的标准方程为，离心率设双曲线的标准方程为，则，又离心率为，则，解得，所以，所以双曲线的标准方程为.（2）设，，34 ，两式作差可得，，即，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.【点睛】关键点点睛：根据中点弦求直线方程，关键是利用“点差法”求出直线的斜率，考查了计算求解能力.33．椭圆：，直线过点，交椭圆于､两点，且为的中点.（1）求直线的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）设，，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式，求的值.【详解】（1），，点在椭圆里面，设，，则，两式相减可得，34 变形为，①点是线段的中点，，并且有椭圆对称性可知，由①式两边同时除以，可得，，设直线的斜率为，，解得：，所以直线的方程；（2），，，可得，，，化简为，且解得：【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.34．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求线段长度.【答案】（1）；（2）.34 【分析】（1）根据双曲线的定义，，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线的焦点为、，实轴长为，则，，而，双曲线的标准方程；（2）设点，，，，点恰好为线段的中点，即有，，又，两式相减可得，，直线的斜率为，其方程为，即，由，即，可得，则.【点睛】本题考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.35．已知双曲线.（1）倾斜角45°且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M，N两点，求.（2）过点的直线l与此双曲线交于，两点，求线段中点P的轨迹方程；（3）过点能否作直线m，使m与此双曲线交于，两点，且点B是线段的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.34 【答案】（1）8（2）（3）不存在，理由见解析【分析】（1）直线斜率为1，写出直线方程与双曲线联立，由韦达定理即弦长公式求解；（2）设，，，，，则，，两式相减，利用是中点及斜率相等可求得轨迹方程，从而得到其轨迹；（3）假设直线存在．由已知条件利用点差法求出直线的方程为，联立方程组，得，由，推导出直线不存在．【详解】（1）由双曲线知，右焦点为，由直线倾斜角45°可知直线斜率为1，所以直线方程为：，联立可得，设，则且，，所以（2）设，，，，，则，，，，，直线的斜率，34 ，，，，共线，，，即线段的中点的轨迹方程是．（3）假设直线存在．设是弦的中点，且，，，，则，．，在双曲线上，，，，，直线的方程为，即，联立方程组，得△，直线与双曲线无交点，直线不存在．【点睛】关键点点睛：在直线与双曲线相交问题中，涉及弦及弦中点的问题，可以采用“点差法”，可以简化运算，降低运算难度.34